届高考理科数学课时拓展检测试题62.docx
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届高考理科数学课时拓展检测试题62
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于( )
A.(-15,12)B.0
C.-3D.-11
解:
由已知,得a+2b=(-5,6),
∴(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.故选C.
2.(
)设a,b为向量,则“|a·b|=|a|·|b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解:
设a与b的夹角为θ,则|a·b|=||a|·|b|cosθ|=|a|·|b||cosθ|=|a|·|b|,则向量a,b夹角为0或π或者两个向量a,b,至少有一个为0,故a∥b,充分性成立;反之,若a∥b,则|a·b|=|a|·|b|,必要性成立.故选C.
3.已知A,B,C是圆x2+y2=1上的三点,
+
=
,则
·
=( )
A.0B.1C.-1D.
解:
=
-
,则
·
=(
-
)·(
+
)=
2-
2=0.故选A.
4.(
)设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则
=( )
A.
B.
C.2
D.10
解:
∵a⊥c,b∥c,∴2x-4=0,2y+4=0,则x=2,y=-2.∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1).∴
=
=
.故选B.
5.(
)设a,b是两个非零向量,下列说法正确的是( )
A.若
=
-
,则a⊥b
B.若a⊥b,则
=
-
C.若
=
-
,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则
=
-
解:
对
=
-
两边平方得a·b=-
,故选项A、B错,C正确;至于选项D,当a,b为方向相同的向量时,显然
=
-
不成立.故选C.
6.已知O为原点,点A,B的坐标分别为(a,0),(0,a),a是正的常数,点P在线段AB上,则
·
的最大值是( )
A.aB.2aC.a2D.3a
解:
·
=|
||
|cos∠POA=a|
|cos∠POA.
据图可知,当P与A重合时,取得最大值,即
·
≤a2(亦可设出P点坐标求解).故选C.
7.已知向量a,b是平面α内的一组基底,向量c=a+2b,对于平面α内异于a,b的不共线的向量m,n有下列命题:
①当m,n分别与a,b对应共线时,满足c=m+2n的向量m,n有无数组;
②当m,n与a,b均不共线时,满足c=m+2n的向量m,n有无数组;
③当m与a共线,但向量n与b不共线时,满足c=m+2n的向量m,n有无数组.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解:
如图,将c沿
和
方向分解时,只有一种分解方式,故①错误;当m,n与a,b均不共线时,m,n的变化会引起分解的变化,故②正确;同理,③正确.故选C.
8.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若
·
=-4,则点A的坐标为( )
A.(2,±2
)B.(1,±2)
C.(1,2)D.(2,2
)
解法一:
设点A坐标为(x,y),F(1,0),则
·
=(x,y)·(1-x,-y)=x-x2-y2=x-x2-4x=-x2-3x=-4,解之得x=1或x=-4(舍去).代入抛物线可得点A的坐标为(1,±2).
解法二:
由题意设A
,F(1,0),则
·
=
·
=-4,即
-y
=-4,y
+12y
-64=0,求得y0=±2,所以点A的坐标为(1,±2),故选B.
9.(
)若向量a,b,c两两所成角相等,且|a|=1,|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|等于( )
A.2B.5
C.2或5D.
或
解:
若a,b,c两两所成角相等,则所成角为0°或120°,当它们两两所成角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+1+3=5;当它们两两所成角是120°时,则a·b=1×1×cos120°=-
,同理a·c=-
,b·c=-
,
∴|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c
=1+1+9-1-3-3=4.
∴|a+b+c|=2.故选C.
10.(
)如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且AM=
AB,则
·
等于( )
A.-1B.1C.-
D.
解:
=
+
,
=
+
,∴
·
=
2+
·
+
2=1,故选B.
11.已知a=(-1,
),
=a-b,
=a+b,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积为( )
A.
B.2C.2
D.4
解:
由三角形AOB为等腰直角三角形可得:
=
=2且a⊥b,故S△AOB=
=
(
+
-2a·b)=4.故选D.
12.(
)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=
AB,且对于边AB上任一点P,恒有
·
≥
·
,则( )
A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°
C.AB=ACD.AC=BC
解:
设AB=4,以AB所在直线为x轴,
的方向为x轴正方向,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),则P0(1,0),设C(a,b),P(x,0),x∈[-2,2].∴
=(2-x,0),
=(a-x,b),
=(1,0),
=(a-1,b),则由
·
≥
·
得(2-x)·(a-x)≥a-1在x∈[-2,2]上恒成立.令f(x)=x2-(2+a)x+a+1,则f(x)≥0在x∈[-2,2]上恒成立.而Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2,则有
Δ≤0或
或
解得a=0或a∈∅或a∈∅.
综上知a=0.即点C在线段AB的中垂线上,∴AC=BC.故选D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.(
)已知向量a,b夹角为45°,且
=1,
=
,则
=____________.
解:
=
⇔(2a-b)2=10⇔
4+
-4
cos45°=10⇔
=3
.故填3
.
14.已知F=(2,3)作用一物体,使物体从A(2,0)移动到B(4,0),则力F对物体作的功为________.
解:
设F与
的夹角为θ,则力F对物体所作的功为
cosθ
=
cosθ
=F·
=4.故填4.
15.(
)在△ABC中,AB=2,AC=3,
·
=1,则BC=____________.
解:
如图知
·
=
cos(π-B)=2×
×(-cosB)=1.∴cosB=-
.又由余弦定理知cosB=
,解得BC=
.故填
.
16.(
)已知向量
与
的夹角为120°,且
=3,
=2.若
=λ
+
,且
⊥
,则实数λ的值为____________.
解:
∵
=
-
,
⊥
,则(λ
+
)·(
-
)=λ
·
-λ
2+
2-
·
=-12λ+7=0,∴λ=
.故填
.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(
)已知向量a,b不共线:
(1)若
=a+b,
=2a+8b,
=3(a-b),求证:
A,B,D三点共线;
(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.
解:
(1)证明:
∵
=
+
=5a+5b=5(a+b)=5
,∴
与
为共线向量,且二者有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)要使ka+b与2a+kb共线,则ka+b=λ(2a+kb),
所以
∴k=±
.
18.(12分)设a=(x2+6x,5x),b=
,x∈[0,9].
(1)求f(x)=a·b的表达式;
(2)求f(x)的单调区间.
解:
(1)∵a·b=(x2+6x,5x)·
=
x3-3x2+5x.∴f(x)=
x3-3x2+5x,x∈[0,9].
(2)f′(x)=x2-6x+5,令f′(x)=0,得x=1或x=5,
∴x∈[0,1)或x∈(5,9]时,f′(x)>0.
∴f(x)在[0,1)上单调递增,在(1,5)上单调递减,在(5,9]上单调递增.
19.(12分)(
)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=
,求证:
a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
解:
(1)证明:
由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2,又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1.所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
所以
即
两边分别平方再相加得1=2-2sinβ,∴sinβ=
,sinα=
,又∵0<β<α<π,∴α=
,β=
.
20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在常数k,使得向量
+
与
共线?
如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,
∴圆心Q(6,0),过点P(0,2),且斜率为k的直线方程为y=kx+2.代入圆方程得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
∵直线与圆交于两个不同的点A,B,
∴Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,
解得-
. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =(x1+x2,y1+y2), 由方程①,得x1+x2=- ,② 又y1+y2=k(x1+x2)+4,③ 而P(0,2),Q(6,0), =(6,-2). ∴ + 与 共线⇔x1+x2=-3(y1+y2), 将②③代入上式,解得k=- . 由 (1)知,k∈ , 故不存在符合题意的常数k. 21.(12分)设平面内的向量 =(-1,-3), =(5,3), =(2,2),点P在直线OM上,且 · =-16. (1)求 的坐标; (2)求∠APB的余弦值; (3)设t∈R,求| +t |的最小值. 解: (1)设 =(x,y).由点P在直线OM上,可知 与 共线. 而 =(2,2),所以2x-2y=0,即x=y,有 =(x,x). 由 = - =(-1-x,-3-x), = - =(5-x,3-x), 所以 · =(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x), 即 · =2x2-4x-14. 又 · =-16,所以2x2-4x-14=-16. 可得x=1.所以 =(1,1). (2)由 =(-2,-4), =(4,2),可得| |=2 ,| |=2 .又 · =-16. 所以cos∠APB= = =- . (3) +t =(-1+t,-3+t),|
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- 高考 理科 数学 课时 拓展 检测 试题 62