第一章 矩阵与线性方程组.docx

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第一章矩阵与线性方程组

第一章矩阵与线性方程组

在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。

一次方程又称为线性方程。

在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去。

矩阵是解决这类问题的重要工具之一。

1.1矩阵及其运算

1.1.1线性方程组及其矩阵表示

线性方程组（systemoflinearequations）的一般形式为

（1.1）

显见，二元一次方程组是其特款。

方程组（1.1）中有m个方程、n个未知量。

ij代表第i个方程中未知量xj的系数，bi是第i个方程的常数项。

当常数项b1，b2，…，bm全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组。

当m、n较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。

因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表

如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得到m行n+1列矩形数表

对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。

将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义。

定义1.1将m×n个数

（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成一个矩形数表

A=

（1.2）

称为一个m行n列矩阵（matrix），简称为m×n矩阵。

其中横向各排称为行，纵向各排称为列，m×n个数叫作矩阵A的元或元素；aij叫做矩阵A的第i行第j列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。

元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。

式（1.2）也简记为：

A=（aij）m×n或A=（aij）

一般情况下，我们用大写字母A，B，C，…表示矩阵。

本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。

定义1.2如果两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。

即如果A=（aij）m×n,B=（bij）m×n,且aij=bij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）,则A=B

我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。

为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。

定义1.3设矩阵A=（aik）m×l的列数与B=（bkj）l×n行数相同，则由元素

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ailblj=

（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）

构成的m行n列矩阵C=（cij）m×n=（

）m×n称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为C=AB

如果记

A=

x=

b=

则线性方程组（1.1）可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程

Ax=b（1.3）

1.1.2矩阵的基本运算及性质

需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。

矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具。

矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算。

定义1.4设有两个m×n矩阵A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，那么A与B的和记作A+B，规定为

A+B=

应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是m×n矩阵）

（1）A+B=B+A

（2）（A+B）+C=A+（B+C）

设矩阵A=（aij）,记

－A=（－aij）

－A称为矩阵A的负矩阵,显然有

A+（－A）=O

由此规定矩阵的减法为

A－B=A+（－B）

定义1.5数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,规定为

λA=Aλ=

设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，数乘矩阵满足下列运算规律

（1）（λμ）A=λ（μA）

（2）（λ+μ）A=λA+μA

（3）λ（A+B）=λA+λB

这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。

下面给出一些矩阵基本运算的例子。

例1.1设A=

B=

则A+B=

例1.23

=

例1.3矩阵乘法

＝

＝

例1.4矩阵乘法

=

例1.5给定矩阵A=

B=

则有

AB=

=

=O

BA=

=

≠O

由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别：

（1）矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致，否则乘法无意义。

（2）矩阵的乘法一般是不可交换的，即在一般情况下，AB≠BA。

实际上，AB有意义时，BA不一定有意义，即使有意义，两者也不一定相等。

（3）两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵。

因而，由AB=O并不能推出A=O或B=O。

随之而来的是：

由AB=AC，且A≠O，并不能推出B=C。

可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律（假设运算都是可行的）

（1）结合律A（BC）=（AB）C

（2）分配律（A+B）C=AC+BCA（B+C）=AB+AC

（3）对任一数k，有k（AB）=（kA）B=A（kB）

矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数。

对于矩阵，还可以定义转置运算。

定义1.6把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为A的转置（transpose），记作AT（或At，或

）。

例如矩阵A=

的转置矩阵为AT=

矩阵的转置满足如下运算规律（假设其中所涉及的运算都是有意义的）

（1）（AT）T=A

（2）（A+B）T=AT+BT

（3）（λA）T=λAT

（4）（AB）T=BTAT

前三个规律是显然的，现在证明（４）：

设A=（aij）是m×n矩阵，B=（bij）是n×p矩阵。

于是　AT=（

）n×m　，BT=（

）p×n，其中

＝aji，

＝bji

BTAT中第i行第j列元为

而（AB

中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元，即

所以（AB

＝BTAT　　　　　　　　　　　　证毕

设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即

aij=aji（i,j=1,2,…，n）

那么A称为对称阵。

对称阵的特点是：

它的元以主对角线为对称轴而对应相等。

　　1.1.3几种特殊形式的矩阵

如果矩阵A=（aij）行数与列数等于n，则称A为n阶矩阵（或称n阶方阵）。

在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元称为对角元。

主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵。

三角形矩阵有两种，分别称

或

为上三角形矩阵或下三角形矩阵。

主对角线以外全为零的n阶方阵

Λ=

称为对角线矩阵（diagonalmatrix），简称对角阵，也可以记为

Λ=diag（λ1,λ2,…,λn）

主对角线上元都为1的n阶对角阵

称为n阶单位矩阵（identitymatrix），记为E或En。

在矩阵的乘法运算中，单位矩阵具有如下性质：

对任意矩阵A，B，有EA=A，BE=B

这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。

1.1.4逆矩阵

　　定义1.7设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得

AB=BA=E

则称A为可逆阵，B是A的逆矩阵（inverse），简称逆阵；可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵。

性质1.1如果方阵A可逆，则A有唯一的逆阵。

证明设矩阵B、C都是A的逆阵，则有

B=EB=（CA）B=C（AB）=CE=C

所以A的逆阵是唯一的。

证毕

由于可逆阵A的逆阵为唯一确定，所以可以用符号A－1表示，有

AA－1＝A－1A＝E

利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解。

考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组：

其系数矩阵是方阵

A=

假设A可逆，则可对如上方程组的矩阵表示形式

　　　　　　　　　　　　Ax=b

两端同时左乘A－1，得到

　　　　　　　　　A－1Ax=A－1b

即　　　　　　　　Ex=A－1b

从而解得　　　　　x=A－1b

这说明，只要能够求得A－1，则利用矩阵的乘法，就可以求出方程组的解。

为了能求得A－1，需要进一步探讨逆矩阵的性质。

性质1.2如果矩阵A可逆，且AB=E，则必有BA=E；如果矩阵A可逆，且BA=E，则必有AB=E。

证明由A可逆，必有A-1A=AA-1=E又已知AB=E

于是有BA=E（BA）=（A-1A）（BA）=A-1（AB）A=A-1EA=A-1A=E

同理可以证明后一结论。

证毕

性质1.3如果n阶方阵A，B都可逆，则AB也可逆，并且

（AB）-1=B-1A-1

证明由于（AB）（B-1A-1）=A（BB-1）A-1=AEA-1=AA-1=E

利用性质1.2直接可得

（B-1A-1）（AB）=E

所以A可逆，由逆阵的唯一性得:

（AB）-1=B-1A-1证毕

这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即

（A1A2…An）-1=An-1…A2-1A1-1

性质1.4如果方阵A可逆，则A-1可逆，而且（A-1）-1=A.

证明直接利用逆阵的定义即可证明。

性质1.5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。

证明假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义可知AA-1的第i行全为零，这与AA-1=E矛盾。

所以A的每一行都不能全为零。

同理，A的每一列也都不能全为零。

证毕

性质1.6如果方阵A可逆，则AT，kA（k为任一非零常数）都可逆，且

（AT）-1=（A-1）T及（kA）-1=

A-1

证明因为AT（A-1）T=（A-1A）T=ET=E以及（kA）（

A-1）=（k

）（AA-1）=E

由性质1.2及定义即得结论。

1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法

1.2.1线性方程组的同解变换

对于（1.1）所示的线性方程组，可以做如下的三种变换：

（1）互换两个方程的位置；

（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；

（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。

这三种变换都称为初等变换。

应当指出，如上的变换是可逆的。

也就是，如果经过一次变换把方程组（1.1）变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组（1.1）。

具体讨论如下：

（1）如果互换方程组（1.1）中第i,j两方程的位置，则对新方程再互换第i,j两方程的位置就变回原方程组（1.1）；

（2）如果将方程组（1.1）的第i个方程乘以非零常数c，那么，只要将新方程组的第i个方程乘以非零常数1/c就变回方程组（1.1）；

（3）如果将方程组（1.1）的第j个方程加上第i个方程的k倍，那么，只要将新方程组的第j个方程加上第i个方程的－k倍就变回原方程组（1.1）。

因此，如果将方程组（1.1）经过若干次变换化为一个新方程组，那么，新方程组也可以经过若干次变换化为一个原方程组（1.1）。

另外，在做变换的过程中，方程组中方程的个数既不增加也不减少。

定理1.1设方程组（1.1）经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。

证明设方程组（1.1）有一组解

x1=k1，x2=k2，…，xn=kn，（1.4