中考数学广西练习中考数学广西跟踪突破练习题.docx
- 文档编号:4072861
- 上传时间:2022-11-27
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:140.01KB
中考数学广西练习中考数学广西跟踪突破练习题.docx
《中考数学广西练习中考数学广西跟踪突破练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学广西练习中考数学广西跟踪突破练习题.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中考数学广西练习中考数学广西跟踪突破练习题
题型四 二次函数与几何图形动态探究题
类型一 探究最值问题
1.如图,直线y=-x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B、C和点A(-1,0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?
如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
解:
(1)二次函数的关系式为y=-x2+x+2;
(2)如解图所示,
抛物线的对称轴为x=-=,∴OD=.
又∵OC=2,∴DC==.
当PD=DC时,
P(,).
当P′D=CD时,P′(,-).
过点C作CE⊥对称轴,垂足为E.
∵CP″=CD,∴DE=EP″.
∵DE=CO=2,∴DP″=4,∴P″(,4).
∴综上所述,当点P的坐标为P(,)或P′(,-)或P″(,4)时,△PCD是以CD为腰的等腰三角形;
(3)E(2,1),∴S四边形CDBF最大=.
2.(2017·苏州)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
解:
(1)b=-2,c=-3;
(2)设点F的坐标为(0,m).
∵对称轴为直线x=1,
∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2,m).
由
(1)可知抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴E(1,-4),
∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4),
∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6.
∵点F在BE上,
∴m=2×2-6=-2,即点F的坐标为(0,-2);
(3)存在点Q满足题意.
设点P坐标为(n,0),则PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.
作QR⊥PN,垂足为R,
∵S△PQN=S△APM,
∴(n+1)(3-n)=(-n2+2n+3)·QR,∴QR=1.
①点Q在直线PN的左侧时,Q点的坐标为(n-1,n2-4n),R点的坐标为(n,n2-4n),N点的坐标为(n,n2-2n-3).
∴在Rt△QRN中,NQ2=1+(2n-3)2,
∴当n=时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(,-);
②点Q在直线PN的右侧时,Q点的坐标为(n+1,n2-4).
同理,NQ2=1+(2n-1)2,
∴当n=时,NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(,-).
综上可知存在满足题意的点Q,其坐标为(,-)或(,-).
3.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)存在.
Q(-1,2);
(3)存在.
理由如下:
如解图,设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),
∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-,
若S四边形BPCO有最大值,
则S△BPC就最大,
∴S四边形BPCO=S△BPE+S四边形PEOC,
=BE·PE+OE(PE+OC)
=(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3)
=-(x+)2++,
当x=-时,S四边形BPCO最大值=+,
∴S△BPC最大=+-=,
当x=-时,-x2-2x+3=,
∴点P坐标为(-,).
4.(2017·泸州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;
(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC,y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1-S2的最大值.
解:
(1)二次函数解析式为y=-x2+x+2;
(2)满足条件的点D的坐标为(3,2)或(-5,-18);
(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,如解图,
设P(t,-t2+t+2),
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为
y=-x+2,
∴H(t,-t+2),
∴PH=yP-yH=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t,
设直线AP的解析式为y=px+q,
∴,解得,
∴直线AP的解析式为y=(-t+2)(x+1),
令x=0可得y=2-t,∴F(0,2-t),
∴CF=2-(2-t)=t,
联立直线AP和直线BC解析式可得
,
解得x=,即E点的横坐标为,
∴S1=PH(xB-xE)=(-t2+2t)(4-),S2=××,
∴S1-S2=(-t2+2t)(4-)-××=-t2+4t=-(t-)2+,
∴当t=时,S1-S2有最大值,最大值为.
类型二 探究特殊三角形的存在性问题
1.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0),C(0,3),点M是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D.若OD=m,△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?
并说明理由;
(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?
如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(2)S有最大值.理由如下:
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴M(1,4),
设直线BM的解析式为y=kx+n,
把B(3,0),M(1,4)代入得,
解得,
∴直线BM的解析式为y=-2x+6,
∵OD=m,∴P(m,-2m+6)(1≤m<3),
∴S=m(-2m+6)=-m2+3m=-(m-)2+,
∵1≤m<3,
∴当m=时,S有最大值,最大值为;
(3)当P点坐标为(,3)或(-3+3,12-6)时,△PCD为直角三角形.
2.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形?
若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.(导学号 40894133)
解:
(1)抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),设直线BC的解析式为y=kx+3,
把点B(3,0)代入y=kx+3中,
得0=3k+3,解得k=-1,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵MN∥y轴,∴点N的坐标为(m,-m+3).
∵抛物线的解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的对称轴为x=2,
∴点(1,0)在抛物线的图象上,∴1<m<3.
∵线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-(m-)2+,
∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为;
(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).
当m=时,点N的坐标为(,),
∴PB==,
PN=,
BN==.
△PBN为以BN为腰的等腰三角形,分两种情况:
①当PB=BN时,即=,
解得n=±,
此时点P的坐标为(2,-)或(2,).
②当PN=BN时,即=,解得n=,
此时点P的坐标为(2,)或(2,).
综上可知:
在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是等腰三角形,此时点P的坐标为(2,-)或(2,)或(2,)或(2,).
3.如图所示,将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中,其顶点A、B均落在坐标轴上,一抛物线过点A、B,且顶点为P(1,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线上一点,恰使△MOA≌△MOB,求点M的坐标;
(3)y轴上是否存在一点N,恰好使得△PNB为直角三角形?
若存在,直接写出满足条件的所有点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵正方形的边长为3,∴A(0,3),B(3,0).
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4.
∵把A(0,3)代入得a+4=3,解得a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3;
(2)如解图①所示,
图①
∵△MOA≌△MOB,∴AM=BM.
∴点M在AB的垂直平分线上.
∵四边形OACB为正方形,
∴OC为AB的垂直平分线.
设OC的解析式为y=kx,
将C(3,3)代入得3k=3,解得k=1,
∴直线OC的解析式为y=x.
由y=x与y=-x2+2x+3得x=-x2+2x+3,
解得:
x1=,x2=.
∴点M的坐标为(,)或(,);
(3)点N的坐标为(0,1)、(0,3)、(0,)、(0,-).
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(14,0)和C(0,-8),对称轴为x=4.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点N以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PN被直线CD垂直平分?
若存在,请求出此时的时间t(秒)和点N的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使△MPN为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵抛物线过C(0,-8),
∴c=-8,即y=ax2+bx-8,
由函数经过点(14,0)及对称轴为x=4
可得
,
解得,
∴该抛物线的解析式为y=x2-x-8;
(2)存在直线CD垂直平分PN.
由函数解析式为y=x2-x-8,可求出点A坐标为(-6,0),
在Rt△AOC中,AC===10=AD,
故可得OD=AD-OA=4,点D在函数的对称轴上,
∵线段CD垂直平分PN,
∴∠PDC=∠NDC,PD=DN,
由AD=AC可得,∠PDC=∠ACD,
∴∠NDC=∠ACD,∴DN∥AC,
∵点D是AB中点,∴DN为△ABC的中位线,
∴DN=AC=5,
∴AP=AD-PD=AD-DN=10-5=5,
∴t=5÷1=5(秒),
∴存在t=5(秒)时,线段PN被直线CD垂直平分.
在Rt△BOC中,BC===2,
而DN为△ABC的中位线,N是BC中点,
∴CN=,
∴点N的运动速度为每秒个单位长度;
(3)存在这样的五个点:
M1(1,-6),M2(1,2),M3(1,-2),M4(1,-4+2),M5(1,-4-2),使△MPN为等腰三角形.
类型三 探究特殊四边形的存在性问题
1.(2017·宜宾)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,连接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在
(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:
在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)抛物线的解析式为y=-x2+4x+5;
(2)∵AD=5,且OA=1,∴OD=6,
又∵CD=8,∴C(-6,8),
设平移后的点C的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可得8=-x2+4x+5,解得x=1或x=3,
∴C′点的坐标为(1,8)或(3,8),
∵C(-6,8),
∴当点C落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,
∴m的值为7或9;
(3)∵y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴抛物线对称轴为x=2,
∴可设P(2,t),
由
(2)可知E点坐标为(1,8),
①当BE为平行四边形的边时,连接BE交对称轴于点M,过E作EF⊥x轴于点F,过Q作对称轴的垂线,垂足为N,如解图,
则∠BEF=∠BMP=∠QPN,
在△PQN和△EFB中,
,
∴△PQN≌△EFB(AAS),
∴NQ=BF=OB-OF=5-1=4,
设Q(x,y),则QN=|x-2|,
∴|x-2|=4,解得x=-2或x=6,
当x=-2或x=6时,代入抛物线解析式可求得y=-7,
∴Q点坐标为(-2,-7)或(6,-7);
②当BE为对角线时,∵B(5,0),E(1,8),
∴线段BE的中点坐标为(3,4),则线段PQ的中点坐标为(3,4),
设Q(x,y),且P(2,t),∴x+2=3×2,解得x=4,
把x=4代入抛物线解析式可求得y=5,
∴Q(4,5);
综上可知,Q点的坐标为(-2,-7)或(6,-7)或(4,5)时,以点B、E、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形.
2.(2017·营口)如图,抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P在第一象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;
(3)在
(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?
若存在上,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.(导学号 40894134)
解:
(1)抛物线解析式为y=x2-x-2;
(2)令y=x2-x-2=0,解得x1=-2,x2=4,当x=0时,y=-2,
∴B(4,0),C(0,-2),设BC的解析式为y=kx+b,则,解得,
∴BC的解析式为y=x-2,
设D(m,0),∵DP∥y轴,
∴E(m,m-2),P(m,m2-m-2),
∵OD=4PE,∴m=4(m2-m-2-m+2),
解得m1=5,m2=0(舍去),
∴D(5,0),P(5,),E(5,),
∴S四边形POBE=S△OPD-S△EBD=×5×-×1×=;
(3)当N点的坐标为(,-)或(,)或(5-,)或(5+,)时,以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形.
3.(2017·成都)如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:
y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=4,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′.
(1)求抛物线C的函数表达式;
(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围.
(3)如图②,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形?
若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
解:
(1)抛物线C的函数表达式为y=-x2+4;
(2)满足条件的m的取值范围为2<m<2;
(3)结论:
四边形PMP′N能成为正方形.
理由:
情形1,如解图①,作PE⊥x轴于E,MH⊥x轴于H.
图①
由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时,四边形PMP′N是正方形,
∴PF=FM,∠PFM=90°,
易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m,
∴M(m+2,m-2),
∵点M在y=-x2+4上,
∴m-2=-(m+2)2+4,解得m=-3或m=--3(舍弃),
∴当m=-3时,四边形PMP′N是正方形.
情形2,如解图②,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m-2,2-m),
图②
把M(m-2,2-m)代入y=-x2+4中,2-m=-(m-2)2+4,解得m=6或m=0(舍弃),
∴当m=6时,四边形PMP′N是正方形.
∴当m=-3或m=6时,四边形PMP′N是正方形.
类型四 探究相似三角形的存在性问题
1.已知在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.
解:
(1)抛物线的解析式为y=-x2-x+4;
(2)∵PQ=2AO=8,PQ∥AO,∴P、Q关于对称轴x=-1对称,
PQ=8,-1-4=-5,
当x=-5时,y=-×(-5)2-(-5)+4=-,即P(-5,-);-1+4=3,即Q(3,-);
∴P点坐标为(-5,-),Q点坐标为(3,-);
(3)∠MCO=∠CAB=45°,
①当△MCO∽△CAB时,=,即=,
解得CM=.
如解图,过M作MH⊥y轴于H,
MH=CH=CM=,
当x=-时,y=-+4=,
∴M(-,);
当△OCM∽△CAB时,=,即=,解得CM=3,
图②
如解图②,过M作MH⊥y轴于H,MH=CH=CM=3,
当x=-3时,y=-3+4=1,∴M(-3,1),
综上所述:
M点的坐标为(-,)或(-3,1).
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-,且经过A,C两点,与x轴的另一个交点为点B.
(1)求抛物线解析式;
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求四边形PAOC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN⊥x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)y=(x+4)(x-1)=-x2-x+2;
(2)设P(m,-m2-m+2).
如解图①,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,
图①
∴Q(m,m+2),
∴PQ=-m2-m+2-(m+2)=-m2-2m,
∵S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=×4×2+×PQ×4=2PQ+4=-m2-4m+4=-(m+2)2+8,∴当m=-2时,△PAC的面积最大,最大值是8,此时P(-2,3);
(3)如解图②,
图②
在Rt△AOC中,AC==2,
在Rt△BOC中,BC==,
∵AC2+BC2=20+5=25=AB2,
∴∠ACB=90°,∵CO⊥AB,
∴△ABC∽△ACO
∽△CBO,
①若点M在x轴上方时,当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC.
根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;
②若点M在x轴的下方时,设N(n,0),则M(n,-n2-n+2),
∴MN=n2+n-2,AN=n+4,
当=,即===时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4),
化简,得n2+2n-8=0,
解得n1=-4(舍),n2=2,∴M(2,-3);
当=,即===2时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),
化简,得n2-n-20=0,解得n3=-4(舍去),n4=5,
∴M(5,-18),
综上所述:
存在点M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
3.(2017·日照)如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
(1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立?
若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)CD=,P(2,-1);
(2)∵抛物线的顶点为P(2,-1),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2-1,
∵抛物线过N(0,3),
∴3=a(0-2)2-1,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3;
(3)在y=x2-4x+3中,令y=0,
可得0=x2-4x+3,解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),∴AB=3-1=2,
∵ON=3,OM=4,PD=1,
∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM·PD+OM·ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB,
∴S△QAB=1,
设Q点纵坐标为y,则×2×|y|=1,解得y=1或y=-1,
当y=1时,则△QAB为钝角三角形,而△OBN为直角三角形,不合题意,舍去,
当y=-1时,可知P点即为所求的Q点,
∵D为AB的中点,∴AD=BD=QD,
∴△QAB为等腰直角三角形,
∵ON=OB=3,
∴△OBN为等腰直角三角形,
∴△QAB∽△OBN,
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,-1).
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 数学 广西 练习 跟踪 突破 练习题