导数大题经典练习及答案.docx
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导数大题经典练习及答案
1.已知f(x)=xlnx—ax,g(x)=—x2—2,
(I)对一切x€(0,+a),f(x)>g恒成立,求实数a的取值范围;
(n)当a=—1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值;(川)证明:
对一切x€(0,+^),都有
12
lnx+1>=—eex
成立.
2_
2、已知函数f(x)alnx2(a0).(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线与直线
x
函数y=f(x)的单调区间;(n)若对于x(0,)都有f(x)>2(a—1)成立,试求a的取值范围;
y=x+2垂直,求
(出)记g(x)=f
(x)+x—b(b€R)•当a=1时,函数g(x)在区间[e—1,e]上有两个零点,求实数b的取值范围
3.设函数f(x)=Inx+(x—a)2,a€R.(I)若a=0,求函数f(x)在[1,e]上的最小值;
1
(n)若函数f(x)在[-2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围;
2'
(川)求函数f(x)的极值点.
12
4、已知函数f(x)ax(2a1)x2lnx(aR).
2
(i)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行,求a的值;(n)求f(x)的单调区间;
2
g(x)x2x,若对任意X!
(0,2],均存在X2(0,2],使得f(xjg(X2),求a的取值范围
2
5、已知函数fxalnx2(a0)
x
(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f
(1))处的切线与直线y=x+2垂直,求函数y=f(x)的单调区间;
(n)若对于任意x0,都有fx2(a1)成立,试求a的取值范围;
1
(川)记g(x)=f(x)+x-b(b€R).当a=1时,函数g(x)在区间e,e上有两个零点,求实数b的取值范围
6、已知函数f(x)
1Inx
(1)若函数在区间(a,a
)(其中a0)上存在极值,求实数
a的取值范围;
⑵如果当x1时,不等式f(x)
恒成立,求实数
k的取值范围.
1.解:
(I)对一切x(0,),f(x)g(x)恒成立,即xlnx
ax
x2恒成立.也就是alnxx
x(0,)恒成立;令F(x)
lnxx2
x
,则F(x)11
x
2
2xx2(x2)(x1)
~22,
xxx
在(0,1)上F(x)0,在(1,
)上F(x)
0,因此,
F(x)在x
1处取极小值,也是最小值,
即Fmin(x)F
(1)3,所以a
3.
(n)当a1时,f(x)xlnx
x,f(x)
Inx2,
由f(x)
①当0m—时,在x[m,2)上f(x)
ee
(A,m
e
3]上f(x)
1
因此,f(x)在x2处取得极小值,也是最小值
e
fmin(x)
由于f(m)0,f(m3)
(m3)[ln(m3)1]
0因此,
max(x)
f(m
3)(m3)[ln(m3)
1]
②当m时,f'(x)
e
0,因此f(x)在[m,m
3]上单调递增,所以
fmin(x)f(m)
m(lnm1),
fmax(x)f(m3)(m
3)[ln(m
3)1]……9分
(川)证明:
问题等价于证明
xlnxx
x2
-(x(0,))
ee
由(n)知a
1时,f(x)
xlnxx的最小值是
设G(x)
2
2(x(0,
e
1x
)),则G(x)r
e
但-2
e
2、解:
1.
—,当且仅当x—时取得,e-
,易知
Gmax(X)G
(1)
1
—,当且仅当
e
x1时取到,
从而可知对一切x(0,),都有lnx1e
2、
成立•
ex
(I)直线y=x+2的斜率为1•函数f(x)的定义域为(0,
+m)
,因为
f'(x)
-,所以
x
x2亠
2•由f'(x)x
0,2)
2a
121
1,所以a=1所以f(x)-lnx2.f'(x)x
解得0vxv2.所以f(x)的单调增区间是(2,+s),单调减区间是(
f'
(1)
0解得x>0;由f'(x)0
(n)f'(x)
(2
a
)上单调递增,在区间
ax22
2,由f'(x)0解得x—;由f'(x)0解得0
xa
22
(0,—)上单调递减.所以当x—时,函数
aa
x—.所以f(x)在区间a
(0,)都有f(x)
2(a1)成立,
所以
f
(2)2(a1)即可.
a
则2aln?
22(a1).由aln-a解得0
2aa
f(x)取得最小值,
ymin
(■2).因为对
a
a?
.所以a的取值范围是(0,二).
ee
(川)依题得g(x)lnxx
x2x2
x2b,则g'(x)2.由g'(x)0解得x>1;由g'(x)0解得0vx
x
V1•所以函数g(x)在区间(0,
1)为减函数,
在区间(1,+8)为增函数.又因为函数g(x)在区间[e一1,e]上有
g(e1)0
两个零点,所以g(e)0.解得1b
eg
(1)0
e1.所以b的取值范围是(1,e1].e
3•解:
(I)f(x)的定义域为(0,+8)
②当a>0时,
1
因为f'(x)—2x0,所以f(x)在[1,e]上是增函数,
x
当x=1时,f(x)取得最小值f
(1)=1.所以f(x)在[1,e]上的最小值为1.
2
2x22ax11
2(xa)设g(x)=2x2—2ax+1,依题意,在区间[㊁,2]上存在子区间
当0x
a
a2
2
2或x
a、a2
2
2
时,h(x)>0,这时f
'(x)>0;
所以,当
.2时,
a
、a22
aVO2~2
a
x
2
是函数f(x)的极大值点;
x是函数f(x)的极小值点
2
综上,当
a
、2时,
函数f(x)没有极值点;
2时,
a
,a2
2
,亠a
a22
当a
x一
是函数
f(x)的极大值点;x
是函数f(x)的极小值点.
22
22
4•解:
f(x)ax(2a1)(x0).(i)f
(1)f(3),解得a.
x3
(ax1)(x2)/
(n)f(x)(x0).
x
①当a0时,x0,ax10,在区间(0,2)上,f(x)0;在区间(2,)上f(x)0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,).
111
②当0a时,2,在区间(0,2)和(一
2aa
1
2,在区间(0,—)和(2,)上,f(x)0;在区间
a
11
故f(x)的单调递增区间是(0,—)和(2,),单调递减区间是(一,2).
aa
(川)由已知,在(0,2]上有f(x)maxg(X)max・由已知,g(x)max0,由(n)可知,
1
①当a时,f(x)在(0,2]上单调递增,故f(x)maxf
(2)2a2(2a1)2ln22a22ln2,
1
所以,2a22ln20,解得aIn21,故In21a.
2
综上所述,aIn21.
5、解:
(I)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为0,因为f'(x)
x2
2~x
2'
所以a=1,所以fxInx2,fx
x
0解得
x>2
由fx0解得0vxv2所以f(x)得单调增区间是
单调减区间是
0,2
2
(x)—
x
2
所以f(x)在区间(2,
a
x-时,
a
(n)f
所以当
因为对于任意x
ax2'
2,由fx
x
2
0解得x;由f
a
x0解得0
)上单调递增,在区间
函数f(x)取得最小值ymin
2
(0,—)上单调递减
'a
f(-)
a
0,都有fx2(a1)成立,所以
f
(2)
a
2(a
1)即可
2(a
2
1),由aIn—a解得0
a
所以
a得取值范围是
(0,-)
e
(川)依题意得g(x)
Inx
b,则
g(x)
2
x
—
x
x0解得
x>1,
0解得
0vxv1
所以函数g(x)在区间e1,e上有两个零点,
g(e)0
g(e)0g
(1)0
所以
b得取值范围是
6、解:
(1)因为f(x)
(1,2e
e
1Inx
1]
则f(x)
Inx
~—,
x
当0x1时,f(x)
0;当x
1时,
•-f(x)在(0,1)上单调递增;在(1,)上单调递减,
•••函数
(2)不等式f(x)
上,即为(x1)(1Inx)k
x1'
记g(x)(X1)(1Inx)•g(x)
[(x1)(1Inx)]x(x1)(1Inx)
1,•h'(x)0,•h(x)在[1,)上递增,
1
令h(x)xInx,则h'(x)1-
•••[h(X)]minh
(1)10,从而g(X)0,故g(X)在[1,)上也单调递增,
•••[g(X)]ming
(1)2,•••k2•
2
1,
11,
2
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