机械能守恒定律典型题剖析.docx
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机械能守恒定律典型题剖析
机械振动知识点应用
一、掌握简谐振动的判断;正确理解简谐振动的特征和规律
【例1】物体作简谐振动时,下列叙述正确的是 [ ]
A.平衡位置就是回复力为零的位置
B.处于平衡位置的物体,一定处于平衡状态
C.物体到达平衡位置,合力一定为零
D.物体到达平衡位置,回复力一定为零
解析 单摆在摆角小于5°时的摆动是简谐振动,当摆球摆动到悬点正下方(平衡位置)时,摆球受重力mg及细绳拉力T,因摆球在平衡
球在平衡位置不是处于平衡状态(合力不为零).正确答案为A,D.
【例2】如图7-9所示,弹簧振子的质量为M,在光滑水平面上以振幅A作简谐振动,在振子上放一质量m的砝码,砝码随滑块M一起作简谐振动,已知弹簧的劲度系数为k.①使砝码随滑块一起作简谐振动的回复力是什么力提供的?
其回复系数多大?
(回复力跟位移成正比的比例系数为回复系数.)②砝码与滑块的动摩擦因数为μ,砝码与滑块不发生相对滑动的最大振幅多大?
解 依题意,以砝码与滑块组成系统为研究对象,使它们一起作简谐振动的回复力是弹簧弹力提供,根据判别物体作简谐振动的条件方程为
F=-kx=(M+m)a ①
以砝码为研究对象,滑块对砝码摩擦力提供回复力
f=-k′x=ma′ ②
砝码所受的摩擦力约束滑块的运动,依题意它们一起振动,即具有相同的加速度,②式改写为
f=-k′x=ma ③
将①式代入③式得
依题意,设砝码所受的最大静摩擦力恰好等于滑动摩擦力.砝码约束滑块的运动.
∵k′A最大=μmg
把④代入⑤式得
为所求.
说明 砝码受滑块作用的摩擦力提供使砝码往复运动的回复力.但这摩擦力(回复力)却限制了滑块的运动状态的变化.
【例3】如图7-10所示,在一倾角为θ的光滑斜板上,固定着一根原长l0的轻质弹簧,弹簧另一端连接着质量为m的滑块,此时弹簧被拉长为l1,现把滑块沿斜板向上推至弹簧恰好为原长,然后突然释放,求证滑块的运动为简谐振动.
解 松手释放,滑块沿斜板往复运动——振动.而振动的平衡位置即滑块开始时静止(合外力为零)的位置.
滑块离开平衡位置受力如图7-11所示,滑块受三个力作用,其合力为
∑F=k(l1-l0-x)-mgsinθ
∑F=-kx
由此可证得滑块的振动为简谐振动.
【例4】木块质量为m,放在水面上静止(平衡),如图7-12所示;今用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力,木块在水面上下振动,试判别木块的振动是否为简谐振动.
解 以木块为研究对象,设静止时木块浸入水中Δx深,当木块压入水中x后所受力如图7-13所示,则
F回=mg-F浮 ①
又 ∵F浮=ρgs(Δx+x) ②
由①式和②式得
F回=mg-ρgs(Δx+x)
=mg-ρgsΔx-ρgsx
∵mg=ρgsΔx
∴F回=-ρgsx
即 F回=-kx (k=ρgs)
所以木块的振动为简谐振动.
二、熟练应用简谐振动的周期公式
【例5】通常把振动周期是2s的单摆叫做秒摆.下述说法中正确的是 [ ]
A.摆长缩短为原来的四分之一时,频率是1Hz;
B.摆球质量减小到原来的四分之一时,周期是4s;
C.振幅减为原来的四分之一时,周期是2s;
D.如果重力加速度减为原来的四分之一时,频率为0.25赫兹.
正确答案:
A,C,D.
平方根成反比;频率与重力加速度的平方根成正比.单摆的周期与振幅大小无关,这是单摆等时性的特点.
【例6】如图7-14,为一双线摆,它是在一天花板上用两根等长细绳悬挂一小球而构成的.摆线长为l′,摆线与天花板夹角为θ,当小球垂直纸面作简谐振动时,其振动周期应为多大?
解 双线摆可等效视为摆长为l的单摆,利用单摆的周期公式
等效摆长 l=l′·sinθ ②
将②式代入①式得
【例7】如图7-15所示,在光滑导轨上有一个滚轮甲,其质量为2m,轴上系一根长为l0的细绳,绳下端挂一质量为m的摆球乙,放手后摆球作小幅度振动,其简谐振动周期T多大?
解 将2m的甲球和m的乙球组成系统为研究对象,系统的重心为O点可视为单摆的悬点,利用单摆的周期公式
说明 依动量守恒条件,2m在A位置时,m在B位置,当2m运动到A′时,m运动到B′.
【例8】单摆摆长为l,置于水平向右作匀加速直线运动的车厢中,其加速度为a,如图7-16所示,求此种单摆的周期.
解法一 以小车为系统,系统以a向右作匀加速直线运动,设单摆的平衡位置偏离竖直方向θ角,当摆球在平衡位置时,受到重力和摆线张力的作用,这两个力的合力∑F产生加速度a,如图7-17(a)所
系统中摆球超重时的视重)记作∑F=T,由于a和g都不变,所以视重不变.
设单摆从平衡位置偏离α角(α<5°),则单摆回复力如图7-17(b)所示.
F=-T·sinα=-∑F·sinα
根据简谐振动周期公式
解法二 依简谐振动周期公式的变形,有
式中l为摆长,m为摆球质量,∑F为除线张力之外的恒力.它在数值上等于单摆在平衡位置(动态平衡)时的线的张力.
解法三 以小车系统为研究对象,根据运动合成,小球相对小车的加速度如图7-17(c)所示,
说明 此题是加速系统中的单摆问题,虽然难度较大,但对培养同学的分析综合能力有益;加深理解单摆的周期变化的因素,能够从不同的单摆和类似单摆中找出等效摆长和等效的重力加速度g′.
【例9】如图7-18所示BOC为一光滑圆弧形轨道,其半径为R,且R远大于
弧长.若同时从圆O′和轨道B点无初速度释放一小球P和Q,则
A.Q球先到达O点
B.P球先到达O点
C.P、Q同时到达O点
D.无法比较
解 小球P由O′到O为自由落体运动,根据自由落体运动规律
由于R远大于
弧长,所以Q球在BOC的运动是简谐振动(证明从略)其周期可参照单摆来计算.
比较tQ>tp,P球先到达O点.
本题选B.
【例10】甲、乙两只相同的摆钟同时计时,当甲钟指示45分钟时,乙钟已指示1小时,则甲、乙两钟的摆长之比为L甲∶L乙=______.
解 本题两钟所用时间相同,但显示的时间各不相同,无法判断哪只表准确,也可能都不准确.但表是相同的,即设计是一样的,摆每振动一次所显示的时间是一样的.表所显示的时间就是摆的振动次数与标准钟的周期的乘积.
设甲、乙钟经过的时间为t,周期分别为T1、T2,标准钟的周期为T0,则两钟显示的时间为
①式、②式相除得
【例11】如图7-19所示,质量为m的木块放在竖直的弹簧上,m在竖直方向做简谐振动,当振幅为A时,物体对弹簧的压力最小值为物体自重的0.5倍,则物体对弹簧压力的最大值为______,欲使物体在振动中不离开弹簧,其振幅不能超过______.
解 物体m放在弹簧上让其缓慢下落,当重力mg与弹力kx相等时,物体处于平衡.在此位置对物体施加向下的压力,使物体下移位移A时,撤去外力F,物体m将在竖直方向做简谐振动.在振动过程中物体受重力和弹力作用,当压缩最小时,物体和弹簧的相互作用最小,应在平衡位置上方;当压缩量最大时,物体和弹簧的相互作用力最大,此位置应在平衡位置下方,且最小作用力和最大作用力的位置关于O点对称,离开平衡位置的距离均为A.
如图7-20所示,物体m在最高点时弹力为N1,最低点时弹力为N2,则
kA=mg-N1 ①
kA=N2-mg ②
由①、②式联立解得
N2=2mg-N1=1.5mg
由牛顿第三定律知
N′2=N2=1.5mg
即物体对弹簧的最大压力为1.5mg.
若要m在振动过程中不脱离弹簧,则物体m与弹簧的相互作用力达最小,即N=0,所以最大振幅即为物体m平衡时的压缩量.
设m能达到的最大振幅为A′,则
kA′=mg ③
由①、③式联立得
A′=2A
【例12】如图7-21所示,两单摆摆长相同,平衡时两摆球刚好接触.现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放,碰撞后,两摆球分开各自作简谐振动,以mA、mB分别表示摆球A、B的质量,则(1998年高考题) [ ]
A.如果mA>mB,下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.如果mA<mB,下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
平衡位置再与B相撞,如此交替下去.
当mA>mB时,A球摆到平衡位置时与B球相撞,vA<vB,但vA
同,因此同时摆到各自最高点,同时回到平衡位置,这时vB>vA,方向都向左,则B球撞A球.但不论撞后A、B球速度怎样变化,由于A、
以只能在平衡位置再次相撞.
当mA<mB时的情况也如此,只能在平衡位置A、B球相撞,其他位置不可能相撞.
综上所述,选项C、D正确.
【例13】如图7-22所示,AB为半径为R=7.50m的光滑的圆弧形导轨,BC为长s=0.90m的光滑水平导轨,在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h=1.80m,一质量m1=0.10kg的小球置于C点,另一质量m2=0.20kg的小球置于B点,现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90m/s的水平速度,当m1运动到B时与m2发生弹性正碰,g取10m/s2,求
1)两球落地的时间差Δt;
2)两球落地点之间的距离Δs;
解 1)小球m1以v1=0.90m/s匀速运动s后与m2弹性正碰,设m1、m2碰后的速度分别为v1和v2,以v1方向为正方向,由动量守恒和机械能守恒有
m1v1=m1v1+m2v2 ①
由①、②式联立解得
即m1以0.3m/s的速率反弹回.
设m2与圆心O连线最大偏角为θ,由机械能守恒有
解得 cosθ=0.9976
θ≈4°(<5°)
所以m2在圆弧导轨上的运动可等效为摆长为R的单摆,其周期T=2
2)两球落地点之间距离为两球分别以速率v′1与v′2做平抛运动下落h高的水平位移之差,即
=0.3×0.6=0.18(m)
三、深入理解振动图像的物理意义
【例14】图7-23所示为质点P在0~4秒内的振动图象,下列叙述正确的是 [ ]
A.再过1s,该质点的位移是正的最大
B.再过1s,该质点的速度方向向上
C.再过1s,该质点的加速度方向向上
D.再过1s,该质点加速度最大
正确答案:
A,D.
说明 必须掌握,振动图象是描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况.依题意,再经过1秒钟,将振动图象延伸到正y最大处,这时质点的位移为正的最大,因为回复力方向与位移方向相反,且回复力与位移成正比,所以回复力的方向为负向且最大,故振动物体的加速度最大且方向为负向.此时振动物体的速度为零,无方向.所以正确选项为A、D项.
【例15】图7-24(a)为单摆的振动图象,图7-24(b)为单摆作简谐振动的实际振动图象.试在(b)图中标出t时刻摆球所在的实际位置及振动方向.
解 如图7-24(b)中所示C点.
说明 此题形象地揭示了振动图像的物理意义.通过振动图象加深对简谐振动规律的理解,从而提高应用数学工具处理物理问题的能力.同学们可自行思考在t时刻振动物体的回复力的大小、方向及变化.特别注意,振动图象不是质点振动的轨迹.
【例16】如图7-25所示是一单摆的振动图象,在t1、t2时刻相同的物理量为 [ ]
A.位移 B.速度
C.加速度 D.势能
解 由图知,在t1和t2时刻摆球的位移大小均为1厘米,但方向相反,故位移不同.
由于位移大小相等,因此势能相等,由机械能守恒知:
t1和t2时刻的动能相等,所以速率相等,由图象可知t1时刻速度方向为x轴负方向,而t2时刻速度方向也是x轴负方向.所以t1和t2时刻摆球的速度大小和方向都相同.
t1和t2时刻位移大小相等,方向相反,由回复力和位移的关系,知回复力大小相等,但方向相反,都指向平衡位置,根据加速度和回复力的关系,知加速度大小相等,方向相反,所以在t1和t2时刻位移、回复力、加速度都不相同.
综上所述应选B、D.
四、掌握受迫振动与共振现象
【例17】如图7-26所示,A球振动后,通过水平细绳迫使B、C振动,下面说法中,正确的是 [ ]
A.只有A球、C球振动周期相等
B.A球的振幅比B球小
C.C球的振幅比B球的振幅大
D.A球、B球、C球的振动周期相等
正确答案:
C,D.
使B球、C球作受迫振动,受迫振动的频率等于施加的策动力的频率.所
【例18】火车在铁轨上行驶时,每经铁轨连接处,便迫使车厢在弹簧上发生上下振动.如弹簧受到每吨的压力将压缩20毫米,车厢下每个弹簧的实际负荷为5吨,火车在行驶时,车速的最大值为多少?
(铁轨每段长为12.5m.)
解 根据胡克定律的计算公式,有
F=kx
车厢在弹簧上振动的固有频率为
避免车厢共振,设车轮撞击铁轨连接处的频率为f′,使f′≤f0,而
为使车厢避免共振现象发生,行驶车速不能等于19.9m/s.车速越接近19.9m/s,车厢振动越激烈,车厢的破碎的可能性就越大.
五、正确理解机械波,掌握波长λ,频率(周期)、波速及它们的关系.v=λ·f=λ/T;提高在波传播实际问题中的应用能力,掌握波动图像变化规律
【例19】关于机械波的说法中,下列叙述正确的是 [ ]
A.要产生机械波,必须同时具有振源和传播振动的媒质
B.波动过程是振源质点由近向远移动的过程
C.波是振动形式的传播,物质(质点)本身没有沿波的传播方向迁移
D.媒质质点每完成一次全振动,波就向前传播一个波长的距离
正确答案:
A,C,D.
【例20】一列横波(简谐波),在t=0时刻的波形图如图7-27所示,自右向左传播,已知在t1=0.7秒时,P点出现第二次波峰,Q点坐标为(-7,0)则以下判断中正确的是 [ ]
A.质点A和质点B在t=0时刻位移是相等的
B.在t=0时刻,质点C向上振动
C.在t=0.9秒末时,Q点第一次出现波峰
D.在t3=1.26秒末时,Q点第一次出现波峰
正确答案:
B,C.
说明:
由波形图可知t=0时,质点A和质点B分别处于波峰和波谷,其质点振动位移的大小虽然都是最大值,但方向相反;由于波向左传播,∴t=0时刻,质点P向y轴负向(下)运动,质点C向y轴正向(上)运动,再依已知条件,t=0.7s时P点出现第二次波峰,根据P点运动方
×0.7=0.4s,当A点的t=0时运动状态(波峰)刚传到Q点时,Q点第
【例21】如图7-28所示,一列简谐横波,已知质点P经0.3秒第一次到达波谷,求波速(Δt<T内).
解 若波向右传播,有
由①、②式得
若波向左传播,有
由③、④式得
【例22】图7-29为一列简谐横波上两质点P、Q的振动图象,P、Q相距30m.a)若P质点距振源近,则横波波速多大?
b)若Q质点距振源近,则横波波速多大.
解 a)P质点距振源近,就表明P质点先振,由图7-29所示,
8=8n+2
(n=0,1,2,3,…)
b)若Q质点距振源近,就表明质点Q先振,由图7-29所示,Q质点运动状态在Δt左时间内传到P点,则
∴波速
(n=0,1,2,3,…)
形图像的变化规律,熟练掌握画某时刻的前后若干时刻的波形图,从而提高图像变化的应变能力.应掌握波传播方向与质点振动方向的联系.通过训练,要掌握媒质质点周期性振动和波周期性变化的规律.
【例23】简谐横波某时刻的波形图线如图7-30所示,由此图可知 [ ]
A.若质点a向下运动,则波是从左向右传播的
B.若质点b向上运动,则波是从左向右传播的
C.若波从右向左传播,则质点c向下运动
D.若波从右向左传播,则质点d向上运动
正确答案:
B,D.
该题是1997年高考试题,分值5分,区分度适中.该题主要考查考生对波的形成是否能正确理解.
【例24】一列简谐波,波速为0.5m/s,某一时刻的波形如图7-31中实线所示,经过时间t后的波形图为图中虚线所示,那么所经过的时间t可能是 [ ]
A.1s B.3s
C.5s D.8s
解 由于在题中没有说明波的传播方向,因此波可能向右传播,也可能向左传播.由于周期性变化的原因,向右传播时形成虚线的时间:
和从图象中观察出波长为2米,由T=λ/v得出T=4秒.这样向右传播
1,2,3…时对应的时间为:
3s、7s、11s、15s、….
综上所述应选A、B、C.
【例25】如图7-32所示为某一时刻横渡的部分波形,该波的频率为2赫,已知此时A点的速度方向向上,那么
1)该波波长为多少?
向什么方向传播?
波速多大?
解 1)在图中找一点C,由A点向上振动,可知C点也向上振动,而A先振,所以波向右传播.
由频率为2Hz,波长为8cm,所以有
v=f·λ=2×8=16(cm/s)
【例26】如图7-33所示,在y轴上的Q、P两点住置上有两个频率相同,振动方向相同的振源,它们激起的机械波的波长为2米,Q、P两点的纵坐标分别为yQ=6米,yP=1米,那么在x轴上从+∞到-∞的位置上,会出现振动减弱区有几个?
解 P、Q两波源具有相同频率,P、Q是相干波源,在空间P、Q波能产生干涉.
P、Q到x轴上任一点M的距离之差Δr满足三角形两边之差小于(等于)第三边的关系,即Δr≤5m.
由相干条件中减弱区的条件得
将λ=2m代入
∴(2k+1)≤5,则k≤2
∴k取值为0、1、2.当k=2即为O点,由x轴正、负方向对称,故x轴减弱区域共5个.
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