小升初数学必备专题之数论模块.docx
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小升初数学必备专题之数论模块
目录
整除5
奇数与偶数及奇偶性的应用9
质数、合数与分解质因数12
因数与倍数17
余数21
数论综合一24
进位制与取整符号27
数论综合二30
数论综合三32
数论知识网络
整除
考试要求:
知识模块:
一.整除——约数和倍数
一般地,如a、b、c为整数,b≠0且a÷b=c,即整数a除以b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数为0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a),记作b︱a.否则,称之为a不能被b整除(或者说b不能整除a),记作b
a.
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b叫做a的约数。
相关知识衔接
整除——在自然数范围内两个数相除,除的商是整数而没有余数的情形。
除尽——两个数相除,所得的商是整数或有限小数。
整除是除尽的一种特殊情况。
除不尽——一个整数除以另一个非零自然数,得到一个无限小数时的情形。
二.数的整除性质
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
[和/差的整除性]
即:
如果c︱a,c︱b,那么c︱(a+b)或c︱(a-b)。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.[积的整除性]
即:
如果bc︱a,那么b︱a,c︱a。
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b︱a,c︱a,且(b,c)=1,那么bc︱a。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
[整除的传递性]
即:
如果c︱b,b︱a,那么c︱a。
三.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.
②能被5整除的数的特征:
个位数字是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
⑤能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字
之和的差(大减小)是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字
所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
教学一对一:
1.下面有9个自然数:
14,35,80,152,650,434,4375,9064,24125。
在这些自然数中,请问:
(1)有哪些数能被2整除?
哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
(2)有哪些数能被5整除?
哪些能被25整除?
哪些能被125整除?
2.有如下9个三位数:
452,387,228,975,525,882,715,775,837。
这些数中哪些能被3整除?
哪些能被9整除?
哪些能同时被2和3整除?
3.一个三位数
的十位数字未知。
请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值:
(1)如果要求这个三位数能被3整除,“□”可能等于多少?
(2)如果要求这个三位数能被4整除,“□”可能等于多少?
(3)这个三位数有没有可能同时被3和4整除,如果有可能,“□”可能等于多少?
4.新学年开始了,同学们要改穿新的校服。
小悦收了9位同学的校服费(每人交的钱一样多)交给老师。
老师给了小悦一张纸条,上面写着“交来校服费
元”,其中有一滴墨水,把方格处的数字污染得看不清楚了。
冬冬看了看,很快就算出了方格处的数字。
聪明的读者们,你们能算出这个数字是多少吗?
5.四位数
能同时被3和5整除,求出所有满足要求的四位数.
6.四位偶数
能被11整除,求出所有满足要求的四位数.
7.多位数
能被11整除,满足条件的n最小是多少?
8.一天,王经理去电信营业厅为公司安装一部电话,服务人员告诉他,目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请,也就是说,在申请号码时,方框内的两个数字可以随意选择,而其余数字不得改动,王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问:
他申请的号码可能是多少?
9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除,把它的个位数字去掉后剩下一个三位数,这个三位数能被4整除,这个四位数最大是多少?
10.
(1)一个多位数(两位及两位以上),它的各位数字互不相同,并且含有数字0.如果它能被11整除,那么这个多位数最小是多少?
(2)一个多位数,它的各位数字之和为13,如果它能被11整除,那么这个多位数最小是多少?
11.判断下面11个数的整除性:
(1)这些数中,有哪些数能被4整除?
哪些数能被8整除?
(2)哪些数能被25整除?
哪些数能被125整除?
(3)哪些数能被3整除?
哪些数能被9整除?
(4)哪些数能被11整除?
12.
是一个四位数.数学老师说:
“我在其中的方框内先后填入3个数字,得到3个四位数,依次能被9、11、8整除,”问:
数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少?
13.五位数
能同时被11和25整除,这个五位数是多少?
14.牛叔叔给45名工人发完工资后,将总钱数记在一张纸上,但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞,上面只剩下“
”,其中方框表示被烧出的洞.牛叔叔记得每名工人的工资都一样,并且都是整数元,请问:
这45名工人的总工资有可能是多少元呢?
15.六位数
能同时被9和11整除.这个六位数是多少?
16.请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数,使它是99的倍数.这个五位数最大是多少?
17.小悦写了一个两位数59,冬冬写了一个两位数89,他们让阿奇写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数
,使得这个五位数能被7整除,请问:
阿奇写的数是多少?
18.已知
能被13整除,中间方格内的数字是多少?
19.用数字6、7、8各两个,要组成能同时被6、7、8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.
20.冬冬和阿奇玩一个数字游戏,冬冬先将一个三位数的百位与个位填好,然后阿奇来填写这个三位数的十位,如果最后这个三位数能被11整除,那么阿奇获胜,否则冬冬获胜.冬冬想了一会,想到了一个必胜的办法,请问:
冬冬想到的办法是什么?
21.对于一个自然数N,如果具有以下的性质就称为“破坏数”:
把它添加到任何一个自然数的右端,形成的新数都不能被N+1整除.请问:
一共有多少个不大于10的破坏数?
22.一个五位数,它的末三位为999.如果这个数能被23整除,那么这个五位数最小是多少?
奇数与偶数及奇偶性的应用
考试要求:
知识模块:
教学一对一:
1.设
,那么A从个位数字向左数,共会出现______个连续的零。
2.五位数3□6□5没有重复数字,如果它可以被75整除,求这个五位数。
3.某个数可以被11整除,而且它的各位数字和为13,那么这样的数中最小的是___________。
4.已知七位数
是72的倍数,求这样的七位数。
5.在523的后面写三个数字,使得形成的六位数可以被7、8、9整除,求这三个数字的和。
6.3□□7aa能被99整除,那么一共有______种不同的写法。
7.要使乘积
□□的末五位都是零,方框中应填入的两个数字分别是____、____。
8.如果四位数6□□8能被73整除,那么商是_______。
9.一个四位数“
”加上36后能够被99整除,减去32后能被8整除,那么满足条件的最大数是_____。
10.某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除。
它的末三位组成的三位数是_____。
11.各位数字之和为43且能被11整除的五位数有多少个?
12.数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…的前2007项中有多少个偶数?
13.能否在下式中填入加号和减号,使得等式成立?
9□8□7□6□5□4□3□2□1=10.
14.桌子上放着7个杯子,杯口都朝上。
每次同时翻转任意两个杯子。
是否能在一定次数的翻转之后使得所有杯子的杯口都朝下?
如果每次翻转6个杯子呢?
15.学生们参加数学竞赛,一共50道题。
答对得5分,不答得1分,答错减3分。
已经知道大家都得到比零分多的分数,问学生最后得到的分数是奇数还是偶数?
16.在黑板上写出下1、3、5三个数,然后任意擦去其中的一个,换成剩下两个数的和。
这样进行100次之后,黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何?
它们的乘积是奇数还是偶数?
17.一个班的教室座位恰好是7行7列的方格点阵共49名学生。
现在要调换座位,让每个学生都与自己前后左右相邻的某一名同学交换座位,这样的换位是否可以实现?
18.在一个19×19的正方表格中放置棋子,每格至多放1枚棋子。
所有棋子关于它右上角到左下角的对角线呈对称分布,而且每行恰好有9枚棋子,那么这条对角线上至少有1枚棋子。
为什么?
19.任意给出一个五位数,将组成这个五位数的5个数字顺序改变一下,组成一个新的五位数。
问能不能使得这两个五位数加起来等于99999?
20.平面上有9个点,任意三点不共线,那么过这些点最多可以画几条线?
能否恰好从每个点都只引出3条线与其他某三个点相连?
21.有1005颗红豆和1004颗绿豆,每次取走两颗。
如果取走的两颗同色,就补回一颗绿豆;如果取走的两颗不同色,就把其中的红豆放回。
经过2007次取放之后,还剩下几颗豆?
它们是什么颜色的?
22.把1、1、2、2、3、3、4、4、5、5这十个数字排成一列,使两个1之间有一个数,两个2之间有两个数,两个3之间有三个数,两个4之间有四个数,两个5之间有五个数。
如果可以,给出排列,如果不能,给出理由。
质数、合数与分解质因数
考试要求:
知识模块:
教学一对一:
1.
(1)如果两个质数相加等于16,这两个质数有可能等于多少?
(2)如果两个质数相加等于25,这两个质数有可能等于多少?
(3)如果两个质数相加等于29,这样的两个质数存在吗?
2.有人说:
“任何7个连续整数中一定有质数.”请你举一个例子,说明这句话是错的.
3.请写出5个质数,使得它们正好构成一个公差为12的等差数列.
4.请把下面的数分解质因数:
(1)160;
(2)598;(3)211.
5.三个自然数的乘积为84,其中两个数的和正好等于第三个数,请求出这三个数.
6.用一个两位数除330,结果正好能整除,请写出所有可能的两位数.
7.三个连续自然数的乘积等于39270.这三个连续自然数的和等于多少?
8.请将2、5、14、24、27、55、56、99这8个数分成两组,使得这两组数的乘积相等.
9.请问:
算式lx2x3×…×15的计算结果的末尾有几个连续的0?
10.请问:
连续两个两位数乘积的末尾最多有几个连续的0?
11.一个两位质数的两个数字交换位置后,仍然是一个质数,请写出所有这样的质数.
12.9个连续的自然数中,最多有多少个质数?
13.
(1)两个质数的和是39,这两个质数的差是多少?
(2)三个互不相同的质数相加,和为40,这三个质数分别是多少?
14.一请把下面的数分解质因数:
(1)360;
(2)539;(3)373;(4)12660.
15.有一些最简真分数,它们的分子与分母的乘积都等于140.把所有这样的分数从小到大排列,其中第三个分数是多少?
16.冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时,把一个乘数中的数字5看成了8,由此得乘积为1104.正确的乘积是多少?
17.甲、乙、丙三人打靶,每人打三枪.三人各自中靶的环数之积都是60,且环数是不超过10的自然数.把三个人按个人总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙.请问:
靶子上4环的那一枪是谁打的?
18.975×935×972×□,要使这个连乘积的最后4个数字都是0,方框内最小应填什么数?
19.
(1)算式1×2×3×…×29×30的计算结果的末尾有几个连续的0?
(2)算式31×32×33×…×150的计算结果的末尾有几个连续的0?
20.把从l开始的若干个连续的自然数1,2,3,…,乘到一起.已知这个乘积的末尾13位恰好都是0.请问:
在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少?
21.168乘以一个大于0的整数后正好是一个平方数.乘的这个整数至少是多少?
所得乘积又是多少的平方?
22.
(1)60乘以一个三位数后,正好得到一个平方数.这个三位数至少是多少?
(2)72乘以一个三位数后,正好得到一个立方数.这样的三位数一共有多少个?
因数与倍数
考试要求:
知识模块:
教学一对一:
1.
(1)请写出105的所有约数;
(2)请写出72的所有约数.
2.
(1)20000的约数有多少个?
(2)720的约数有多少个?
3.计算:
(1)(28,72),[28,72];
(2)(28,44,260),[28,44,260].
4.两个数的差是6,它们的最大公约数可能是多少?
5.
(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数;
(2)求3553,3910和1411的最大公约数.
6.教师节到了,校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工.请问:
用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?
在每份礼物中,苹果、桔子、香蕉各有多少个?
7.一块长方形草地,长120米,宽90米,现在在它的四周种树,要求四个角和各边中点都要求种树,且相邻两棵树之间的距离都相等,请问:
最少要种多少棵树?
8.甲数和乙数的最大公约数是6,最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少?
9.有甲、乙两个数,它们的最小公倍数是甲数的27倍.已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数,但不是18的倍数;乙数是两位数.乙数是多少?
10.小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数,这三个自然数的最大公约数是35,最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少?
11.72共有多少个约数?
其中有多少个约数是3的倍数?
12.5400共有多少个约数?
并求出所有约数乘积的质因数分解形式.
13.两数乘积为2800,已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1.这两个数分别是多少?
14.计算:
(1)(391,357),[391,357];
(2)(18,24,36),[18,24,36].
15.1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少?
最小公倍数是多少?
16.张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们,最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去,请问:
每个小朋友分了多少个苹果?
17.一个数和16的最大公约数是8,最小公倍数是80.这个数是多少?
18.两个自然数不成倍数关系,它们的最大公约数是18,最小公倍数是216.这两个数分别是多少?
19.两个数的最大公约数是6,最小公倍数是420,如果这两个数相差18,那么较小的数是多少?
20.有4个不同的正整数,它们的和是1111.请问:
它们的最大公约数最大能是多少?
21.甲、乙两个数的最小公倍数是90,乙、丙两个数的最小公倍数是105,甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问:
甲数是多少?
22.甲、乙是两个不同的自然数,它们都只含有质因数2和3,并且都有12个约数,它们的最大公约数是12.请问:
甲、乙两数之和是多少?
余数
考试要求:
知识模块:
教学一对一:
1.72除以一个数,余数是7.商可能是多少?
2.100和84除以同一个数,得到的余数相同,但余数不为0.这个除数可能是多少?
3.20080808除以9的余数是多少?
除以8和25的余数分别是多少?
除以11的余数是多少?
4.4个运动员进行乒乓球比赛,他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问:
比赛盘数最多的运动员打了多少盘?
5.某工厂有128名工人生产零件,他们每个月工作23天,在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包,发现最后一包不够17个.请问:
最后一包有多少个零件?
6.
(1)220除以7的余数是多少?
(2)1414除以11的余数是多少?
(3)28121除以13的余数是多少?
7.
除以5的余数是多少?
8.一个三位数除以21余17,除以20也余17.这个数最小是多少?
9.有一个数,除以3的余数是2,除以4的余数是1.请问:
这个数除以12余数是几?
10.100多名小朋友站成一列,从第一人开始依次按1,2,3,…,11的顺序循环报数,最后一名同学报的数是9;如果按1,2,3,…,13的顺序循环报数,那么最后一名同学报的数是11.请问:
一共有多少名小朋友?
11.1111除以一个两位数,余数是66.求这个两位数.
12.
(1)
除以4和125的余数分别是多少?
(2)
除以9和11的余数分别是多少?
13.一年有365天,轮船制造厂每天都可以生产零件1234个,年终将这些零件按19个一包的规格打包,最后一包不够19个.请问:
最后一包有多少个零件?
14.自然数
的个位数字是多少?
15.算式
计算结果的个位数是多少?
16.一个自然数除以49余23,除以48也余23.这个自然数被14除的余数是多少?
17.一个自然数除以19余9,除以23余7.这个自然数最小是多少?
18.刘叔叔养了400多只兔子,如果每3只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有2只;如果每5只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有4只;如果每7只兔子关在一个笼子里,那么最后一个笼子里有5只.请问:
刘叔叔一共养了多少只兔子?
19.
除以99的余数是多少?
20.把63个苹果,90个橘子,130个梨平均分给一些同学,最后一共剩下25个水果没有分出去.请问:
剩下个数最多的水果剩下多少个?
21.有一个大于l的整数,用它除300、262、205得到相同的余数,求这个数.
22.用61和90分别除以某一个数,除完后发现两次除法都除不尽,而且前一次所得的余数是后一次的2倍,如果这个数大于1,那么这个数是多少?
数论综合一
内容概述:
运用已学过的数论知识,解决综合性较强的各类数论问题;学会利用简单代数式处理数论问题.
教学一对一:
1.如果某整数同时具备如下三条性质:
①这个数与1的差是质数;
②这个数除以2所得的商也是质数;
③这个数除以9所得的余数是5.
那么我们称这个整数为“幸运数”,求出所有的两位幸运数.
2.一个五位数
,空格中的数未知,请问:
(1)如果该数能被72整除,这个五位数是多少?
(2)如果该数能被55整除,这个五位数是多少?
3.在小于5000的自然数中,能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个?
4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24).已知这些两位数中一个是5的倍数,另一个是6的倍数,还有一个是7的倍数.原来的三位数是多少?
5.26460的所有约数中,6的倍数有多少个?
与6互质的有多少个?
6.一个自然数N共有9个约数,而N-1恰有8个约数,满足条件的自然数中,最小的和第二小的分别是多少?
7.一个自然数,它最大的约数和次大的约数之和是111,这个自然数是多少?
8.有一个算式6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”,计算结果还是自然数,那么这个自然数最小是多少?
9.一个两位数分别除以7、8、9,所得余数的和为20.问:
这个两位数是多少?
10.信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送.对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:
A3788421C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件:
①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.
你能破解此密文吗?
11.已知
×
是495的倍数,其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:
三位数
是多少?
12.11个连续两位数乘积的末4位都是0,那么这11个数的总和最小是多少?
13.有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l.小明在上式中把一些“×”换成“÷”,计算结果还是自然数,那么这个自然数最小是多少?
14.有15位同学,每位同学都有个编号,他们的编号是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2号说:
“这个数能被2整除”,3号接着说:
“这个数能被3整除”……依此下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除.1号一一作了验证:
只有两个同学(他们的编号是连续的)说得不对,其余同学都对.问:
(1)说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数?
(2)如果1号同学写的自然数是一个五位数,那么这个自然数为多少?
15.有2008盏灯,分别对应编号为1至2008的2008个开关.现在有编号为1至2008的2008个人来按动这些开关.已知第1个人按的开关的编号是1的倍数(也就是说他把所有开关都按了一遍),第2个人按的开关的编号是2的倍数,第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去,第2008个人按的开关的编号是2008的倍数,如果刚开始的时候,灯全是亮着的,那么这2008个人按完后,还有多少盏灯是亮着的?
16.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳
米,黄鼠狼每次跳
米,它们每秒钟都只跳一次,在比赛道路上,从起点开始每隔
米设有一个陷阱.请问:
当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?
17.一个偶数恰有6个约数不是3的倍数,恰有8个约数不是5的倍数.请问:
这个偶数是多少?
18.一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数.
19.已知a与b是两个正整数,且a>b.请问:
(1)如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况?
(2)如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况?
20.已知a与b的最大公约数是14,a与c的最小公倍数是350,b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组?
21.已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5,除以6的余数之和是5,除以7的余数之和是1.求这两个两位数.
22.如图8-1,在一个圆圈上有几十个孔(不到100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向,每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔,他先试着每隔2个孔跳一步,结果只能跳到B孔,他又试着每隔4个孔跳一步,也只能跳到B孔.最后他每隔6个孔跳一步,正好回到A孔.问:
这个圆圈上共有多少个孔?
进位制与取整符号
内容概述:
掌握进位制的概念及相关计算,掌握自然数在不同进位制之间的转化方法,并学会恰当利用进位制解决一些数论问题.掌握取
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- 小升初 数学 必备 专题 数论 模块