11氦原子基态能级要点.docx
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11氦原子基态能级要点
第一童绪论
对氮原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法,本文重点讨论变分法对氮原子基态能级
的求解。
变分法是解决氨原子和类氮离子基态问题的强有力工具,到目前为止,国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数干,在忽略核质量的情况下,它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到
10J。
和1019,这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。
在量子力学教科书中,—般介绍的近似求解法是微扰法和变分法,而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的,例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氮原子体系基态能级。
1.2选题的依据和意义
1.2.1选题的依据
在量子力学中,对于具体物理问题的薛定谴方程,可以精确求解的问题是很少的。
在经常遇见的许多问题中,由于体系的哈密顿算符比较复杂,往往不能求得精确的解,而只能求近似解。
微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。
用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的,但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氮原子时,微扰法就不及变分法容易和求解精确。
用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数,这种波函数形式简单,其物理意义清晰,物理模型简单,适用于教育教学,但精确度比较低。
选用含二参数的尝试波函数,这样的模型相对于更多参数的波函数要简单,又比一参变分法求解精确度高很多,这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级,可适用于教学,又能求得比一参法更为精确的数值,因而具有重要的物理意义。
1.2.2选题的意义
氨原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子,研究氮原子这种简单的多粒子体系,对于硏究更复杂的多粒子体系具有重要
的意义。
变分法是解决氨原子和类氮原子的强有力工具z只要选择合适的试探波函数,对于提高
求解能级近似值有很大的帮助。
1.3本文的主要硏究内容
本文主要硏究氮原子的基态能级,通过应用双参数变分法,选择适当的试探波函数,求岀氨
原子基态能级的能量,并将计算值与试验值进行比较,再与用微扰法求出的氮原子基态能量结果进行对比,通过对比体现岀用变分法求氮原子基态能级的优越性。
第二章变分法介绍
2.1变分法原理
AA
已知量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系的哈密顿算符H可以分为H和
A
H两部分:
AAA
H二Fk+H,
AA
其中H。
的本征值与本征函数是已知的,而H•很小。
如果这些条件不能满足,微扰法就
A
不能应用。
因而在遇到H•不是很小的情况下,就需要寻找另外的求解方法,量子力学中求解问题的又一种简单方便的方法一一变分法的应用不受上述条件的限制。
A
设体系哈密顿算符H的本征值由小到大的顺序扫咧为:
EsEi,E2厂伍
(1)
与这些本征值对应的本征函数是:
E和10是基态能量和基态波函数。
为简单起见,我们假定H的本征值En是分立的,本
征函数tn组成正交归一系。
于是有
A
Hn=E?
;n⑶
设•是任意一个归一化的波函数,将■按n展开:
'■Aa/-n⑷
n
在屮所描写的状态中,体系能量的平均值是
将(4)式代入⑸式,得
H八ama
m,n
应用(3)式有
n二送a;3EAVdT
mfn
En:
•
mn
mrn
代替En/则
由于E。
是基态能量,所以Eo:
:
:
En(n二12…),在上式中用Eo
H—E°'|a*•|2
n最后一步用了・的归一化条件'TkI2二
n
⑹式和⑺式给出:
A
Eor-*H'-d.
⑻
这个不等式说明,用任意波函数算出H的平均值总是大于体系基态能量,而只有当
恰好是体系的基态波函数
A
5时,H的平均值才等于能量EOo
上面讨论中曾假定是归一化的,如果-
:
不是归一化的,那么(5)式应该写为:
A
*H-d.
H
*
(9)
⑻式应写为
A
Eo-
严H屮di
•
■
(10)
0
■_Ad
A
A
根据波函数算出H的平均值总是不小于Eo,我们可以选取很多的■-并算出H的
平均值,这些平均值中最小的一个最接近于Eoo
2.2变分法求体系基态能量的步骤
2.2.1选取一个参量的尝试波函数
选取含有一个参量,的尝试波函数'
「C)代入⑸式和(9)式,算出平均能量H(.)z
dH(・)
d,
然后由
(11)
求岀H(•)的最小值。
所得结果就是E。
的近似值2.2.2选取两个参量的尝试波函数
选取含有两个参量:
、1的尝试波函数(二J代入(5)式和(9)式,算出平均能量
dH(aB)
dH?
)
(「)二。
U
求岀H的最小值z所得结果就是E。
的近似值。
第三章氮原子基态能量的变分计算
根据第二童变分法原理可知,氮原子的基态能量可由下式计算得到:
A
(13)
Eo{min'*Hd}
其中,H为哈密顿算符,屮为归一化的试探波函数。
若波函数未归一化,氮原子的基态能量可由下式计算得到:
(13.1)
Eomin
胖屮dwj
I啓*H屮dj
氨原子有一个原子核和两个电子,它们都处于运动状态。
由于原子核的质量相对于电子非常大,核的运动比电子的运动要慢的多,因此近似把核看成是固定的,氨原子的哈密顿算符可写为:
H—二。
2、2)■施抄
2®A
(14)
其中,J是电子质量,★与〃分别代表第一、第二个电子到核的距离;L为两个电子之
间的距离。
2
为方便计算,米用原子单位(其中能量单位为哈特利,即一213.6eV),氮原子体
系的非相对论哈密顿算符可写为:
a122221
(14.1)
H二C212)
2
3.1尝试波函数的选择
用变分法求近似解的关键在于选择合适的尝试波函数”尝试波函数选得好,可以在很大程度上提高计算结果的精度。
对类氢离子,电子的基态波函数为(取原子单位,以下暂不考虑归一化常数)e习,它
所表示的状态有这样一个特点:
电子的最概然半径为1乙电子在半径为1z的球壳附近
分布的概率较大。
对于类氮离子,如果不考虑两个电子相互排斥作用,则基态波函数为
e"宀二电子的最概然半径皆为1乙但若考虑两电子的相互作用,利用单参数变分法求得基态近似
波函数为叭
(15)
(15)式中匚二516•在这种模型下,由于排斥作用,两个电子的最概然半径増长到
1z-二.我们认为这个模型仍然比较粗糙z二电子之间的关系考虑得不够,现将试探波函数改进为如下形式:
假如二电子可以区分即存在某种差别,我们设想由于二电子的径
向排斥作用,电子1的最概然半径为1:
且处于形式为e®的波函数描述的状态,电子2的最概然半径为1「且处于形式为$的波函数描述的状态,则两个电子的基态波函数可写作:
(16)
才怙”乂心5
:
-1为变分参数。
显然,上述说法不满足全同粒子波函数交换对称性的要求,事实上我们不能说清某
个电子处于哪个状态•由于基态为态波函数的自旋部分是反对称的,空间部分要求是对称的,因此,满足交换对称性要求的波函数为:
■(rirr2AA[eA:
^e^叨](17)
值得强调,如果:
•二1,则式(17)退化为单参数的.它们究竟会不会相等不是由想象而是由变分原理一
能量平均值取极小值条件来决定•在计算时,需注意以上波函数是未归_化的。
3.2氮原子能量平均值的计算
A
利用(14.1)式和(16)式z我们先计算严★戒山,然后计算胖也。
有:
A
■-*Hd
二A&:
“飞)T)]—丄(、2辽)_2_2•丄A[e«i「2)/匚)0•心2
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2-?
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(18.1)
(18.2)
A[e】:
宀)eJ:
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^mjd.id.2
(18.3)
(18.1-2)
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首先,求解(18)式中的(18.1)式,有
A[e—eS・)](丄、2j)A[e':
“e%]did.2Z2n
叨飞心”d-id-2
-2A2[eH®e"%He"®e”i)]dk.2
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先求解(18.1)式中的(1841)式,有
JA2
2
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然后,求解(18)式中的(18.2)式,有
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先求解(18.2)式中的(1821)式,有
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(18.2-1.1)
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(1)S'6
接着求解(18.2)式中的(18.2-2)式,有
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2.1)
最后,求解(18)式中的(18.3)式,这里根据参考文献⑴,有
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(18.3-
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A
计算完了严*屮”,接着计算胖*屮心。
有:
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A
O\Ob■J
22
A(19)
由于波函数WC-J是未归一化的波函数z因此由(9)式、(18)式各个计算结果、
心卄Ta4-P16
ot+Bot'+B,ot'+P'
5
160303(a+B)64a303(a+0)5
16a3B316©+B)316(a+B)22(a+B)5
8AsGJ
(20)
将(20)式右边分子分母同乘16〉八)可得:
(?
-2-5^-3-)(JL>T28:
…辽(、;
I>T28:
3-3
-(2:
汀—?
订、一卩〃、:
|・:
・》
2(、;.FM28a:
3
p8
a8+6a7a+1少6B2+26g5B3+158,Ch+26口+16a^
?
617e51.^0•4121fiR33RD•2•41?
5?
・6
4/+2&(沖+72(沖2+33g4B3+333沖4+72/阳+2&P&+4旷
2ri2「_:
30:
11683门30:
2”12厂辽〃
根据(12)式汁仔.宀二0,十呻€44•二o,以及(21)式的结果,有:
ca丽
[(8?
42:
6196:
5:
213(h—「6323——782—门3人-6^)
-(286156人360:
21320:
“990:
2,144“26:
6)]
(2-12si30-2168:
®-30:
1-12如辽一二)
-[(:
«6卄16人226
3158A^26Asl66
,8)
-(4:
7264
72sL330
:
4.3.330:
3—:
472:
2—:
J6门647)]
(12—60:
4
120:
3-
:
25042“60如42n)二0
(22)
[(8「42汽963:
2130:
4:
<632I3:
门8:
2:
W2—66了)
-(28s156s-九360r21320汽4902:
。
144—:
:
--26s)]
(2茲12:
5:
:
:
30:
r2168:
3:
a30:
2「12宀▽6)
_[卜6:
7二「1616:
2265:
3158:
4:
26-:
』6:
2:
6.6心?
:
:
;心8
_(4-26p:
;:
725:
2330:
-3330:
3:
472-26『:
:
64:
)]
(123604二壮20:
3:
504:
2「60二412J二0(23)
联立(22)、(23)可解得有用的:
•和一:
,有:
(24)
:
=2.1832,1=1.1885
将(24)式的结果代入(20)式可解得:
严2+P28邯]o+B16|o+Ba・+p・a~+P〜
一【16a3B3+(口+閃6】_4口3呂3_(口+甘)5+需邛且■似口#)3飞仪十"+?
©3?
5H=1「§
:
:
亠〉)6
0.02210612749710.0141282750151O0482514988418・0.0367176901797
・0.0071553665572+0.005449817866
0.01206286971045-0.0014964375639-0.00380312421480.0057371390906
0.0071553665572+0.005449817866
=-2.876058145316
:
-2.876058
(25)
上面所求H采用的是原子单位制,因此在国际单位制中z最后求得的h,亦即氮原子
的基态能量为:
2e
(26)
H=-2.876058—
ao
第四童结果比较
4.1氮原子基态能量的计算值与实验值比较
由参考文献⑴可知用实验方法得出氮原子基态能量为
2
-2.904「而用变分法算岀
_2
来的结果由(26)式可知为E。
:
-心2.876056—。
其相对误差为:
-2.904(-2.876058)
a°s”00%二0.962%(27)
-2.904-
a。
4.2—参变分法与二参变分法比较
由参考文献⑴可知用一参变分法计算能量,准确到第一级近似的结果为
2
而用实验方法得岀氨原子基态能量为・2.904』,可算出其相对误差为:
a。
-2.85蛍,
a0
22
-2.904邑-(-2.85鱼)
302a°100%二1.859%
-2.904电
(28)
从(2刀式和(28)式可以看出,用二参变分法计算氮原子基态能量比用一参变分法计算氮
百罕其衣台g畐X7亜焙确侗劣ftaibkHT^n耒劣炜罕休云的其衣台E•&时亦令洼的參魏的
多少对求解结果的影响也是很大的
4.3变分法与微扰法比较
2由参考文献⑴可知用微扰法计算能量,准确到第一级近似的结果为
-2.75亘,
而用
实验方法得出氮原子基态能量为-2.904冬,可算岀其相对误差为:
a。
22
-2.904邑-(-2.75鱼)
(29)-2.904ss
-230100%=5.303%
a。
比较(27)式、(28)式和(29)式可以看出,用变分法计算氮原子基态能量比用微扰法
计算氮原子基态能量要精确很多。
由此可知,求多粒子体系的基态能量时,变分法有
着微扰法无法比拟的优越性。
参考文献
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致谢
本人承蒙苏卡林教授的悉心指导,才能顺利完成此论文。
老师严谨的治学态度,务实的工作作风,孜孜不倦的学习精神令我敬佩至深,受益非浅。
苏院长从繁忙的工作中一次又一次抽出宝贵的时间来给我们的论文写作做精心的指导,不厌其烦地为我们解答
各种问题,我内心对苏老师充满了感激。
在此,我对他致以最诚挚的谢意。
同时,在本论文的写作过程中,吴琴琴等老师也给我提出了许多修改意见,给予了我极大的关心与帮助,在此,我也对他们表示深深的感谢。
其次我要感谢我的同学和朋友,他们给予了我无私的帮助和无穷的精神动九在我遇到知识上的或技术上的难点时,他们总是能给我及时的援助,对他们的帮助我特别感谢。
最后,对关心、支持我的亲人和老师致以最衷心的感谢。
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- 关 键 词:
- 11 原子 基态 能级 要点