电大经济数学基础期末复习指导版.docx
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电大经济数学基础期末复习指导版
经济数学基础
第一部分微分学
一、单项选择题
1.函数yx的定义域是(lgx1x1且x0)
f(x)的定义域是[0,1],则函数f(2x)的定义域是((,0]).
223.下列各函数对中,(f(x)sinxcosx,g(x)1)中的两个函数相等.
111,则f(f(x))=(4.设f(x)).x1x
x1yln5.下列函数中为奇函数的是().x1
6.下列函数中,(yln(x1)不是基本初等函数.2.若函数
7.下列结论中,(奇函数的图形关于坐标原点对称)是正确的.
8.当x
9.已知0时,下列变量中(12x)是无穷大量.xf(x)
10.函数x1,当(x0)时,f(x)为无穷小量.tanxsinx,x0在x=0处连续,则k=
(1).f(x)xk,x0
1,x011.函数f(x)在x=0处(右连续).1,x0
1112.曲线y在点(0,1)处的切线斜率为().2x1
13.曲线ysinx在点(0,0)处的切线方程为(y=x).
1114.若函数f()x,则f(x)=
(2).xx
15.若f(x)xcosx,则f(x)(2sinxxcosx).
16.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是(e).x
17.下列结论正确的有(x0是f(x)的极值点).
18.设需求量q对价格p的函数为q(p)
二、填空题32p,则需求弹性为E=(pp32p).
x2,5x0f(x)2的定义域是[-5,2]
x1,0x2
12.函数f(x)ln(x5)的定义域是(-5,2)2x
223.若函数f(x1)x2x5,则f(x)x6
1324.设函数f(u)u1,u(x),则f(u
(2))x4
10x10x
5.设f(x),则函数的图形关于y轴对称.21.函数
6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50时,该产品的平均成本为3.61
7.已知某商品的需求函数为q=180–4p,其中p为该商品的价格,则该商品的收入函数R(q)=45q–0.25q2
xsinx1.xx
sinx9.已知f(x)1,当x0时,f(x)为无穷小量.x
x21x110.已知f(x)x1,若f(x)在(,)+1的单调增加区间为(0,+)
15.已知f(x)ln2x,则[f
(2)]=013
.曲线2
16.函数y3(x1)2的驻点是x1
p的函数为q(p)100ep
217.需求量q对价格,则需求弹性为Ep
18.已知需求函数为q202p,其中p为价格,则需求弹性Ep33p2pp10
三、极限与微分计算题
1x23x2(x2)(x1)x1limlim1.解lim===x2x2(x2)(x2)x2(x2)4x24
x1x1=limx1x23x2x1(x1)(x2)(x1)
11=limx12(x2)(x1)2.解:
lim
=x0x0
sin2x=lim(x11)lim=22=4x0x0x3.解
(x3)(x1)x24x34.解lim=limx3sin(x3)x3sin(x3)
x3lim(x1)=2=limx3sin(x3)x3
5.解limx1tan(x1)tan(x1)lim2x1xx2(x2)(x1)
lim1tan(x1)11lim1x1x2x1x133
112
(2)5(32)52(12x)(3xx2)xx)6.解lim=lim)xx13(x1)(2x3)6
(1)
(2)6
xx
2
(2)533=226
cosxxsinxcosxx)=2xln27.解:
y(x)=(2xx2
=2
8.解xsinxcosxx21f(x)2xln2sinx2xcosxxxln2
9.解因为y(52cosx)52cosxln5(2cosx)2sinx52cosxln5所以y(π
2)2sinπ
252cosπ
2ln52ln5
10.解因为y21
3(lnx)3(lnx)21
3x(lnx)32
3xx
所以dy2
3xlnxdx
11.解因为yesinx(sinx)5cos4x(cosx)
esinxcosx5cos4xsinx
所以dy(esinxcosx5cos4xsinx)dx
12.解因为y1
cos2x3(x3)2xln2(x)3x2
cos2x32xln2
所以dy(3x2
cos2x32xln2)dx
13.解y(x)sin2x(2x)cosx2(x2)
2xsin2xln22xcosx2
14.解:
y(x)3ln2x(lnx)e5x(5x)3ln2x
x5e5x
15.解在方程等号两边对x求导,得
[yln(1x)](exy)(e2)yln(1x)y
1xexy(yxy)0[ln(1x)xexy]yy
xyexy
1
故yy(1x)yexy
(1x)[ln(1x)xexy]
16.解对方程两边同时求导,得
3
ycosyeyxeyy0
yy(cosyxe)ye
ey
y(x)=cosyxey
17.解:
方程两边对x求导,得
.yeyxeyy1xe
当x0时,y1
dy所以,dxyeyy
x0e110e1e
18.解在方程等号两边对x求导,得
[cos(xy)](ey)(x)
y)[1y]eyy1sin(x
[e
ysin(xy)]y1sin(xy)1sin(xy)yesin(xy)
1sin(xy)dxyesin(xy)y故dy
四、应用题
1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为:
C(x)
求:
(1)当x
(2)当产量x为多少时,平均成本最小?
1000.25x26x(万元),10时的总成本、平均成本和边际成本;
1.解
(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为:
C(x)1000.25x26x
100C(x)0.25x6,C(x)0.5x6x
2所以,C(10)1000.25106101851000.2510618.5,C(10)10
C(10)0.510611
100
(2)令C(x)20.250,得x20(x20舍去)x
因为x20是其在定义域
(1)成本函数C(q)=60q+2000.
1q,因为q100010p,即p10010
4
11q)q=100qq2.1010
12q-(60q+2000)
(2)因为利润函数L(q)=R(q)-C(q)=100q10
12qq-2000=40-10
12q-2000)=40-0.2q且L(q)=(40q-10
令L(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200,它是L(q)在其定义域所以收入函数R(q)=pq=(100
3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数q
中20004p,其p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求:
(1)价格为多少时利润最大?
(2)最大利润是多少?
3.解
(1)C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)
=250000-400p
R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p
利润函数L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p-250000,且令
L(p)=2400–8p=0
得p=300,该问题确实存在最大值.所以,当价格为p=300元时,利润最大.
(2)最大利润L(300)
4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4q+0.01q(元),单位销售价格为p=14-0.01q(元/件),试求:
(1)产量为多少时可使利润达到最大?
(2)最大利润是多少?
22224003004300225000011000(元).
qpq(140.01q)14q0.01q2
利润函数LRC14q0.01q2204q0.01q210q200.02q2
则L100.04q,令L100.04q0,解出唯一驻点q250.4.解
(1)由已知R
因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,
(2)最大利润为
10250200.02250225002012501230(元)
5.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)0.5q236q9800(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少?
此时,L(250)每件产品平均成本为多少?
5.解因为C(q)=C(q)9800=0.5q36(q0)qq
98009800)=0.52qqC(q)=(0.5q36
令C(q)=0,即0.59800=0,得q1=140,q2=-140(舍去).q2
q1=140是C(q)在其定义域(元/件)140
q2
6.已知某厂生产q件产品的成本为C(q)25020q(万元).问:
要使平均成本最少,应生产多少件产品?
10
C(q)250q6.解
(1)因为(q)==20qq10C(140)=0.514036
5
250q250120)=2q10q10
2501令C(q)=0,即20,得q1=50,q2=-50(舍去),q10C(q)=(
q1=50是C(q)在其定义域积分学
一、单项选择题
1.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(y=x+3).
2.若2(2xk)dx=2,则k=
(1).01
3.下列等式不成立的是(ln
4.若
5.f(x)dxe
1
xx2xxxd(e)xe(1xdxd()).xx12c,则f(x)=(e).4exc).1
x2).
x6.若f(x)edxec,则f(x)=(1x7.若F(x)是f(x)的一个原函数,则下列等式成立的是(f(x)dxF(x)F(a)).a
1exex
x)8.下列定积分中积分值为0的是(12
1dx).9.下列无穷积分中收敛的是(1x2
10.设R(q)=100-4q,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R的改变量是(350).
2x11.下列微分方程中,(yyxye)是线性微分方程.
12.微分方程(y)
二、填空题
1.dxxedxedx22y(y)3xy40的阶是
(1).2
2.函数
3.若
4.若f(x)dxF(x)c,则e
5.1cos2x+c(c是任意常数)2f(x)dx(x1)2c,则f(x)2(x1)f(x)sin2x的原函数是-xf(ex)dx=F(ex)cde2ln(x1)dx01dx
1xdx06.1(x21)2
17.无穷积分dx是收敛的(判别其敛散性)0(x1)2
8.设边际收入函数为R(q)=2+3q,且R(0)=0,则平均收入函数为2+
9.(y)
33q.2e2xy0是2阶微分方程.6
x3
c10.微分方程yx的通解是y32
三、计算题
1dxsin1d
(1)cos1c⒈解x2xxx
2xdx2x2.解22d(x)2xcxln2
3.解xsinxdxxcosxcosxdxxcosxsinxcsin
11(x1)22dx4.解(x1)lnxdx=(x1)lnx22x
12x2
xc=(x2x)lnx24
5.解ln3
e
1e(1e)dxlnxxexx2=ln30(1e)d(1e)ex2x=1(1ex)33e1ln30=5636.解xlnxd(2x)2xlnx2xd(lnx)11
2e2e
7.解e1e12x2xx2e4xx42ee1e21
xlnx1x=e21lnx
1lnx)=2lnxe21=2(31)1112122sin2xdx=cos2x=xcos2xdx=-xsin2x0224200
e1e1e1x1e1x=e1
(1)dx9.解法一ln(x1)dxxln(x1)0000x1x1
e1=e1[xln(x1)]0=lne=18.解20
解法二令u
x1,则e1
0ee1eeee11ln(x1)dxlnuduulnu1uu=eu111u
10.解因为P(x)
112,Q(x)x1x
[(x1)e2用公式yexdxxdx1
dxc]elnx[(x21)elnxdxc]
1x4x2x3xcc][x4242x131c7,得c1由y
(1)4214
7
x3x1所以,特解为y42x
11.解将方程分离变量:
yeydye3xdx2
1y21e3xc等式两端积分得e23
将初始条件111y
(1)代入,得e3e3c,c=e3236
y2所以,特解为:
3e2e3xe3
12.解:
方程两端乘以1,得x
yylnxxx2x
即ylnx)xx
ylnxln2xdxlnxd(lnx)c两边求积分,得xx2
xln2xcx通解为:
y2
由y1,得c1x1(
xln2xx所以,满足初始条件的特解为:
y2
13.解将原方程分离变量dycotxdxylny
两端积分得lnlny=lnCsinx
通解为y=eCsinx
11y,它是一阶线性微分方程,xlnx
11P(x),Q(x)xlnx
11dxdxP(x)dxP(x)dx1用公式yeexdxc][Q(x)edxc]ex[lnx
1lnx1lnxedxc]x[dxc]e[lnxxlnx
x(lnlnxc)
15.解在微分方程y2xy中,P(x)1,Q(x)2x14.解将原方程化为:
y
由通解公式yedx(2xedxc)ex(2xexdxc)dx
ex(2xex2exdxc)ex(2xex2exc)
(2x2cex)
116.解:
因为P(x),Q(x)sinx,由通解公式得x
8
y1dxex(
lnxsinxexdx1dxc)=e1(sinxelnxdxc)=(xsinxdxc)x
1=(xcosxsinxc)x
四、应用题
1.投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为C(x)=2x+40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增
量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低.
1.解当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为
662C(2x40)dx=(x40x)=100(万元)44
C(x)dxc又C(x)0x0
x
360,解得x6.令C(x)12x
36x240x36==x40xxx=6是惟一的驻点,而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.
2.已知某产品的边际成本C(x)=2(元/件),固定成本为0,边际收益R(x)=12-0.02x,问产量为多少时利润最大?
在最大利
润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?
2.解因为边际利润
L(x)R(x)C(x)=12-0.02x–2=10-0.02x
令L(x)=0,得x=500
x=500是惟一驻点,而该问题确实存在最大值.所以,当产量为500件时,利润最大.
当产量由500件增加至550件时,利润改变量为L(100.02x)dx(10x0.01x2)500550550500=500-525=-25(元)
即利润将减少25元.
3.生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台),边际收入为R(x)=100-2x(万元/百台),其中x为产量,问产量为多少时,利润最大?
从利润最大时的产量再生产2百台,利润有什么变化?
3.解L(x)=R(x)-C(x)=(100–2x)–8x=100–10x
令L(x)=0,得x=10(百台)
又x=10是L(x)的唯一驻点,该问题确实存在最大值,故x=10是L(x)的最大值点,即当产量为10(百台)时,利润最大.又LL(x)dx(10010x)dx(100x5x2)10201010121212
即从利润最大时的产量再生产2百台,利润将减少20万元.
4.已知某产品的边际成本为C(x)
4.解:
因为总成本函数为
C(x)4x3(万元/百台),x为产量(百台),固定成本为18(万元),求最低平均成本.(4x3)dx=2x23xc
2当x=0时,C(0)=18,得c=18即C(x)=2x3x18
9
又平均成本函数为
令A(x)C(x)182x3xxA(x)2180,解得x=3(百台)x2
189(万元/百台)3
其中x为产量,单位:
百吨.销售x百吨时的边际收入为R(x)152x3x(万元),该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当x=3时,平均成本最低.最底平均成本为5.设生产某产品的总成本函数为C(x)
(万元/百吨),求:
(1)利润最大时的产量;
(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨,利润会发生什么变化?
5.解:
(1)因为边际成本为C(x)
令L(x)A(3)2331,边际利润L(x)R(x)C(x)=14–2x0,得x=7
由该题实际意义可知,x=7为利润函数L(x)的极大值点,也是最大值点.因此,当产量为7百吨时利润最大.
(2)当产量由7百吨增加至8百吨时,利润改变量为L88
7(142x)dx(14xx2)7=112–64–98+49=-1(万元)
即利润将减少1万元.
第三部分线性代数
一、单项选择题
1.设A为32矩阵,B为23矩阵,则下列运算中(AB)可以进行.
A,B为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是((ABT)1A1(B1)T
3.设A,B为同阶可逆方阵,则下列说法正确的是(秩(AB)秩(A)秩).2.设
4.设
5.设
6.设A,B均为n阶方阵,在下列情况下能推出A是单位矩阵的是(A1I)A是可逆矩阵,且AABI,则A1(IB).A(12),B(13),I是单位矩阵,则ATBI=(23)25
7.设下面矩阵A,B,C能进行乘法运算,那么(AB=AC,A可逆,则B=C)成立.
8.设A是n阶可逆矩阵,k是不为0的常数,则(kA)1(11A).k
12033,则r(A)=
(2).9.设A0012413
130110.设线性方程组AXb的增广矩阵通过初等行变换化为0000
的个数为
(1).130026142100,则
x1x2111.线性方程组解的情况是(无解).xx021
12112.若线性方程组的增广矩阵为,则当=(2210
10)时线性方程组无解.
13.线性方程组AX0只有零解,则AXb(b0)(可能无解).
14.设线性方程组AX=b中,若r(A,b)=4,r(A)=3,则该线性方程组(无解).
15.设线性方程组AXb有唯一解,则相应的齐次方程组AXO(只有零解).
二、填空题
1.两个矩阵A,B2.计算矩阵乘积123002
0110
1
3.若矩阵A=12,B=231,则ATB=231
462
4.设A为mn矩阵,B为st矩阵,若AB与BA都可进行运算,则m,n,s,t有关系式mt,ns
10
5.设A2
a03,当a0时,A1是对称矩阵.
23
6.当a3时,矩阵A13
1a可逆
7.设A,B为两个已知矩阵,且IB可逆,则方程ABXX的解X(IB)1A
8.设A为n阶可逆矩阵,则r(A)=n
9.若矩阵A=212
402,则r(A)=2
33
0
10.若r(A,b)=4,r(A)=3,则线性方程组AX=b无解
11.若线性方程组x1x20有非零解,则x1x20-1
12.设齐次线性方程组AmnXn10,且秩(A)=r<n,则其一般解中的自由未知量的个数等于n–r
1123
13.齐次线性方程组AX0的系数矩阵为Ax12x3
0102则此方程组的一般解为x4
0000x22x4
x3,x4是自由未知量)
14.线性方程组AXb的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为12010
04211
0d1
000
则当d1时,方程组AXb有无穷多解.
15.若线性方程组AXb(b0)有唯一解,则AX0只有0解
三、计算题
10221
1.设矩阵A124,T
B13,求(2IA)B.
311
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