初中数学鲁教版五四制七年级上册第三章 勾股定理3 勾股定理的应用举例章节测试习题.docx
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初中数学鲁教版五四制七年级上册第三章勾股定理3勾股定理的应用举例章节测试习题
章节测试题
1.【答题】在一次课外社会实践中,王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为( )
A.13m
B.12m
C.4m
D.10m
【答案】B
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m,再利用勾股定理即可求得AB的长,即旗杆的高.
【解答】
如图:
设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m.BC=5m,
在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,
∴x2+52=(x+1)2,
解得x=12,
∴旗杆的高12m.
选B.
2.【答题】如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )
A.0.7米
B.1.5米
C.2.2米
D.2.4米
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°,A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25,∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.选C.
3.【答题】一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5m,消防车的云梯底端距地面1m,云梯的最大伸长为13m,则云梯可以达到该建筑物的最大高度是( )
A.16m
B.13m
C.14m
D.15m
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】
如图所示,由题意可知AB=13米,BC=5米,由勾股定理可得,AC=
,又消防车的云梯底端距地面1m,所以云梯可以达到该建筑物的最大高度=12+1=13m,选B.
4.【答题】如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了( )步路(假设2步为1m),却踩伤了花草( )
A.4
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【分析】根据勾股定理解答即可。
【解答】根据勾股定理可得斜边长是
=10m.
则少走的距离是6+8−10=4m,
∵2步为1米,
∴少走了8步,
故答案为D.
5.【答题】如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,问小鸟至少飞行______米.
【答案】10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知:
小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出.
【解答】解:
如图,设大树高为AB=12m,
小树高为CD=6m,
过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是矩形,
连接AC,
∴EB=6m,EC=8m,AE=AB﹣EB=12﹣6=6(m),
在Rt△AEC中,
AC=
=10(m).
故小鸟至少飞行10m.
故答案为:
10.
6.【答题】将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长是hcm,则h的取值范围是______
.
【答案】11cm≤h≤12cm
【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围,即可得出答案.
【解答】
∵将一根长为24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高,最长是等于杯子斜边长度,
∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时,x=12,
最长时等于杯子斜边长度是:
x=
=13,
∴h的取值范围是:
(24-13)cm≤h≤(24-12)cm,
即11cm≤h≤12cm.
7.【题文】如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了500
米到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点,求A、C两点间的距离.
【答案】1000m.
【分析】根据BE∥AD,得出∠DAB=∠ABE=60°,再根据平角的定义得出30°+∠CBA+∠ABE=180°,求出∠CBA的度数,判断出△ABC是直角三角形,最后根据勾股定理求出AC的值即可.
【解答】
解:
∵BE∥AD,
∴∠DAB=∠ABE=60°,
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°,
∴∠CBA=90°,
∴△ABC为直角三角形,
∵BC=500,AB=500
,
∴AC2=BC2+AB2,
∴AC=
=1000(m).
答:
A、C两点间的距离是1000m.
8.【题文】如图,一架25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为7米.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?
(3)如果梯子与地面的夹角小于30°时,梯子就会滑倒,那么在第
(2)问中,梯子会滑倒吗?
请说明理由.
【答案】
(1)24m;
(2)8米;(3)梯子不会滑倒.
【分析】
(1)根据勾股定理即可得到结论;
(2)根据勾股定理,即分别求出AC和DC,求二者之差即可解答;
(3)设∠E′DC=30°时,在Rt△E′CD中,求得E′C=
ED=12.5m.由于CE>E′C,于是得到结论.
【解答】
解:
(1)根据题意得:
AB=25,BC=7,
∴AC=
=24m,
答:
这个梯子的顶端距地面有24m;
(2)∵AE=4,
∴CE=20,
∵ED=AB=25,
∴CD=
=15m,BD=CD﹣BC=8m,
∴梯子的底部在水平方向滑动了8米;
(3)设∠E′DC=30°时,
∵E′D=25,
在Rt△E′CD中,E′C=
ED=12.5m.
∵CE>E′C,
∴梯子不会滑倒.
9.【题文】如图,一次“台风”过后,一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断裂,倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处,那么这根旗杆被吹断裂前有多高?
(旗杆粗细、断裂磨损忽略不计)
【答案】12.8米.
【分析】先根据勾股定理求出BC的长,再由旗杆高度=AB+BC即可解答.
【解答】
解:
旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形,
旗杆的高
10.【答题】如图,圆柱形纸杯高8cm,底面周长为12cm,在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜,在C点正对面的外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁,则蚂蚁要爬到C处饱餐一顿至少要爬( )
A.2
cm B.6
cm C.10cm D.以上答案都不对
【答案】C
【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求.
【解答】
解:
如图:
将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′C,则A′C即为最短距离,由题意可得出:
A′D=6cm,CD=8cm,A′C=
=10(cm),
选C.
11.【答题】一个圆桶儿,底面直径为16cm,高为18cm,有一只小虫从底部点A处爬到上底B处,则小虫所爬的最短路径长是(π取3)______cm.
【答案】30
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形,而矩形的长就是地面周长的一半,高就是圆柱的高,再根据勾股定理就可以求出其值.
【解答】解:
展开圆柱的侧面如图,根据两点之间线段最短就可以得知AB最短.由题意,得AC=3×16÷2=24,在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB=
=30cm.
故答案为:
30cm.
12.【答题】小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,旗杆的高是______m.
【答案】12
【分析】本题设旗杆高为xm,表示出绳子的长,利用勾股定理列出方程即可.
【解答】设旗杆的高AB为xm,
则绳子AC的长为(x+1)m.
在Rt△ABC中,
AB2+BC2=AC2,
即x2+52=(x+1)2.
解得x=12.∴AB=12m.
∴旗杆高12m.
13.【答题】如图,一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm,高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所走的最短路线的长是______cm.
【答案】15
【分析】根据题意,可以画出长方体的展开图,根据两点之间线段最短和勾股定理,可以解答本题.
【解答】解:
如右图所示,点A到B的最短路径是:
=15cm,
故答案为:
15.
14.【答题】如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2
.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=______.
【答案】8
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离,是定值,只要满足AM+NB的值最小即可.过A作直线a的垂线,并在此垂线上取点A′,使得AA′=MN,连接A'B,则A'B与直线b的交点即为N,过N作MN⊥a于点M.则A'B为所求,利用勾股定理可求得其值.
【解答】解:
过A作直线a的垂线,并在此垂线上取点A′,使得AA′=4,连接A′B,与直线b交于点N,过M作直线a的垂线,交直线a于点N,连接AN,过点B作BE⊥AA′,交射线AA′于点E,如图.
∵AA′⊥a,MN⊥a,
∴AA′∥MN.
又∵AA′=MN=4,
∴四边形AA′NM是平行四边形,
∴AM=A′N.
由于AM+MN+NB要最小,且MN固定为4,所以AM+NB最小.
由两点之间线段最短,可知AM+NB的最小值为A′B.
∵AE=2+3+4=9,AB=
,
∴BE=
=
,
∵A′E=AE﹣AA′=9﹣4=5,
∴A′B=
=8
所以AM+NB的最小值为8.
故答案为:
8.
15.【答题】如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它爬的最短距离是______.
【答案】25
【分析】先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.
【解答】解:
如图所示:
台阶平面展开图为长方形,AC=20,BC=5+5+5=15,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.由勾股定理得:
AB2=AC2+BC2,即AB2=202+152,∴AB=25,故答案为:
25.
16.【答题】如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,E是AB上一点,将矩形ABCD沿CE折叠后,点B落在AD边的点F上,则DF的长为______.
【答案】6
【分析】根据矩形的性质得出CD=AB=8,∠D=90°,根据折叠性质得出CF=BC=10,根据勾股定理求出即可.
【解答】∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=8,∠D=90°.
∵将矩形ABCD沿CE折叠后,点B落在AD边的F点上,
∴CF=BC=10.
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
DF=
=6.
17.【答题】如图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=______.
【答案】6
【分析】设BC=x,AF可用含x的式子表示,CF可以根据勾股定理求出,然后用x表示出BF,在Rt△ABF中,利用勾股定理,可建立关于x的方程,即可得出BF的长.
【解答】解:
由折叠的性质知:
AD=AF,DE=EF=8﹣3=5;
在Rt△CEF中,EF=DE=5,CE=3,由勾股定理可得:
CF=4,
若设AD=AF=x,则BC=x,BF=x﹣4;
在Rt△ABF中,由勾股定理可得:
82+(x﹣4)2=x2,解得x=10,
故BF=x﹣4=6.
故答案为:
6.
18.【答题】如图,在三角形纸片ABC中,∠C=90°,AC=18,将∠A沿DE折叠,使点A与点B重合,折痕和AC交于点E,EC=5,则BC的长为______.
【答案】12
【分析】先求得AE=13,然后由翻折的性质可知BE=13,最后在Rt△BCE中由勾股定理求得BC的长即可.
【解答】解:
∵AC=18,EC=5,
∴AE=13.
由翻折的性质可知:
BE=AE=13.
在Rt△EBC中,由勾股定理得:
BE2=EC2+BC2.
∴BC=
=12.
故答案为:
12.
19.【答题】如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,则CE的长为______.
【答案】5
【分析】如图,求出AC的长度;证明EF=EB(设为λ),得到CE=8﹣λ;列出关于λ的方程,求出λ即可解决问题.
【解答】解:
如图,∵四边形ABCD为矩形,
∴∠D=90°,DC=AB=6;
由勾股定理得:
AC2=AD2+DC2,而AD=8,
∴AC=10;由题意得:
∠AFE=∠B=90°,
AF=AB=6;EF=EB(设为λ),
∴CF=10﹣6=4,CE=8﹣λ;
由勾股定理得:
(8﹣λ)2=λ2+42,解得:
λ=3,
∴CE=5,
故答案为5.
20.【答题】如图,圆柱体的高为12cm,底面周长为10cm,圆柱下底面A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇,需要爬行的最短路径是______cm.
【答案】13
【分析】要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开,得到一个矩形,然后利用勾股定理求两点间的线段即可.
【解答】解:
如图,把圆柱的侧面展开,得到如图所示的图形,
其中AC=5cm,BC=12cm,
在Rt△ABC中,AB=
=13cm.
故答案为13
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