均值不等式练习题及答案解析.docx
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均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析
一.均值不等式
1.若a,b?
R,则a2?
b2?
2ab若a,b?
R,则ab
2.若a,b?
R*,则
a?
b2
?
*
?
a?
b2
22
a?
b时取“=”)
ab若a,b?
R,则a?
b?
2
2
ab
a?
b?
若a,b?
R,则ab?
?
)?
?
?
2
a?
b2
注:
当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:
求最值例1:
求下列函数的值域
y=3x解:
y=3x+
11
y=x+xx
1
3x=∴值域为[,+∞)
2x
1
x·=2;x
1
x·=-2
x
1
≥22x1
当x>0时,y=x+≥x
11
当x<0时,y=x+=-≤-2
xx
∴值域为
解题技巧:
技巧一:
凑项例1:
已知x?
54
,求函数y
?
4x?
2?
14x?
5
的最大值。
1
解:
因4x?
5?
0,所以首先要“调整”符号,又?
x?
54
?
5?
4x?
0,?
y?
4x?
2?
1
4x?
5
不是常数,所以对4x?
2要进行拆、凑项,
?
?
?
2?
3?
1?
?
3?
1?
?
?
?
5?
4x?
4x?
55?
4x?
当且仅当5?
4x?
15?
4x
,即x?
1时,上式等号成立,故当x?
1时,ymax?
1。
评注:
本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:
凑系数
例1.当时,求y?
x的最大值。
解析:
由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2x?
?
8为定值,故只需将y?
x凑上一个系数即可。
当
,即x=2时取等号当x=2时,y?
x的最大值为8。
32
评注:
本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
变式:
设0?
x?
,求函数y?
4x的最大值。
3
2
2x?
3?
2x?
9
解:
∵0?
x?
∴3?
2x?
0∴y?
4x?
2?
2x?
2?
?
?
?
222?
?
当且仅当2x?
3?
2x,即x?
3
?
3?
?
?
0,?
时等号成立。
?
2?
技巧三:
分离
例3.求y?
的值域。
x?
1
解析一:
本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有的项,再将其分离。
x?
7x?
10
2
当
即
时
y?
5?
9。
技巧四:
换元
解析二:
本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
y?
?
7?
g恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
?
B,
g
当,即t=时
y?
技巧五:
注意:
在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数f?
x?
2
ax
的单调性。
例:
求函数y?
的值域。
解:
令
?
t,则y?
1t
2
?
?
t?
1t
因t?
0,t?
?
1,但t?
因为y?
t?
1t
1t
解得t?
?
1不在区间?
2,?
?
?
,故等号不成立,考虑单调性。
52
在区间?
1,?
?
?
单调递增,所以在其子区间?
2,?
?
?
为单调递增函数,故y?
?
5
?
?
。
所以,所求函数的值域为?
?
?
?
。
?
2
练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.y?
x?
3x?
1
x
2
y?
2x?
1x?
3
x?
y?
2sinx?
23
1sinx
x?
2.已知0?
x?
1,求函数y?
条件求最值
的最大值.;3.0?
x?
,求函数y?
.
1.若实数满足a?
b?
2,则3a?
3b的最小值是分析:
“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a?
3b定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:
a和3b都是正数,3a?
3b≥23?
3?
23
a
b
a?
b
?
6
当3a?
3b时等号成立,由a?
b?
2及3a?
3b得a?
b?
1即当a?
b?
1时,3a?
3b的最小值是6.
变式:
若log4x?
log4y?
2,求
1x
?
1y
的最小值.并求x,y的值
技巧六:
整体代换:
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。
。
:
已知x?
0,y?
0,且
1x?
1x
9y
9y
?
1,求x?
y的最小值。
?
1?
x
9?
?
?
x?
y?
?
y?
错解:
?
x?
0,y?
0,且..
?
?
1,?
x?
y?
?
?
?
1故
?
x?
y?
min
9y
?
1。
错因:
解法中两次连用均值不等式,在x?
y?
x?
y,在1
x
?
?
条件是
1x
?
9y
即y?
9x,取等号的条件的不一致,产生错误。
因此,在利用均值不等式处理问题时,列出
等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解:
?
x?
0,y?
0,
1x?
9
?
19?
y9x
?
10?
6?
10?
1?
1,?
x?
y?
?
x?
y?
?
?
?
?
?
xyxyy?
?
当且仅当
yx
?
9xy
时,上式等号成立,又
?
1x
?
9y
?
1,可得x?
4,y?
12时,?
x?
y?
min?
1。
1y
变式:
若x,y?
R且2x?
y?
1,求1
x
?
的最小值
?
已知a,b,x,y?
R且a?
b?
1,求x?
y的最小值
xy
y2
技巧七、已知x,y为正实数,且x+=1,求+y的最大值.
2
a+b
分析:
因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
2
2
2
1
+y中y前面的系数为,+y=x
2
2
2
1+y2·=x·
21y+22
下面将x,
1y
分别看成两个因式:
2
x+2x+2223
==即+y=·x
224
2
1y3
+≤24
1
的最小值.ab
分析:
这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调技巧八:
已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=
性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。
30-2b30-2b-b+30b
法一:
a=,ab·b=
b+1b+1b+1由a>0得,0<b<15
-2t+34t-311616
令t=b+1,1<t<16,ab=-2+34∵t+≥2
ttt
1
∴ab≤1∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。
18
法二:
由已知得:
30-ab=a+2b∵a+2b≥2ab∴0-ab≥ab令u=ab则u2+u-30≤0,-5≤u≤3
1
∴≤3,ab≤18,∴y≥18点评:
①本题考查不等式
a?
b2
?
ab的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等
?
t·
16
=t
式ab?
a?
2b?
30出发求得ab的范围,关键是寻找到a?
b与ab之间的关系,由此想到不等式
a?
b2
?
ab,这样将已知条件转换为含ab的不等式,进而解得ab的范围.
?
变式:
1.已知a>0,b>0,ab-=1,求a+b的最小值。
2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=x+y的最值.
a+ba+b
解法一:
若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,≤,本题很简单
22
3x+y
22y)=x+2y=25
解法二:
条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。
W>0,W2=3x+2y+2xy=10+2xy≤
10+
2·=10+=20
∴W≤20=
2
变式:
求函数y
?
12?
x?
52
)的最大值。
解析:
注意到2x?
1与5?
2x的和为定值。
y
?
2
?
4?
?
4?
?
?
8
32
2
又y?
0,所以0?
y?
当且仅当2x?
1=5?
2x,即x?
时取等号。
故ymax?
评注:
本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。
应用二:
利用均值不等式证明不等式
1.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:
a
2
?
b?
c
22
?
ab?
bc?
ca
1)正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:
≥8abc例6:
已知a、b、c?
R?
,且a?
b?
c?
1。
求证:
?
?
1
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
a?
?
b?
?
c?
分析:
不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,
又
1a?
1?
1?
aa
?
b?
ca
?
a
1a
1?
aa
b?
ca
a
解:
?
a、b、c?
R?
,a?
b?
c?
1。
?
?
1?
?
?
。
同理
1b
?
1?
b
,?
1?
c
1c
。
上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得
1?
1?
?
1?
?
1?
a?
b?
c?
。
当且仅当时取等号。
?
1?
1?
1?
?
8?
?
?
?
?
?
3abcabc?
?
?
?
?
?
应用三:
均值不等式与恒成立问题例:
已知x?
0,y?
0且
1x?
9y
?
1,求使不等式x?
y?
m恒成立的实数m的取值范围。
解:
令x?
y?
k,x?
0,y?
0,
10k
3k
1x
?
9y
?
1,?
x?
ykx
?
9x?
9yky
?
1.?
10k
?
ykx
?
9xky
?
1
?
1?
?
2?
。
?
k?
1,m?
?
?
?
16?
应用四:
均值定理在比较大小中的应用:
例:
若a?
b?
1,P?
lga?
lgb,Q?
12
R?
lg,则P,Q,R的大小关系是分析:
∵a?
b?
1∴lga?
0,lgb?
0
Q?
12
已知a,b,c均为正实数,
证明:
并确定a,b,c为何值时,等号成立。
类型二:
求最值:
221a112?
)?
,bc
利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1.设x,y?
且11?
?
1,求x?
y的最小值。
xy
11?
的最小值。
xy2.设x,y?
且x?
y?
1,求
3.已知a,b为正实数,且a?
b?
1求ab?
1的最小值。
ab
4.求函数y?
11?
的最小值。
x1?
x
291?
的最小值。
x1?
2x2变式:
求函数y?
5.设x,y?
,x?
3y?
5xy,求3x?
4y的最小值。
6.设x,y?
,x?
y?
xy?
6求x?
y的最小值。
7.设x,y?
,x?
y?
xy?
6求xy的最大值。
228.设x,y为实数,若4x?
y?
xy?
1,求2x?
y的最大值。
9.
求函数y变式:
y?
的最大值。
x2?
x?
110.设x?
0求函数y?
的最小值。
x
x2?
x?
111.设设x?
?
1求函数y?
的最小值。
x?
1
12.若任意x?
0,x?
a恒成立,求a的取值范围.x?
3x?
1
2x2?
3x?
313.求函数y?
2的最大值。
x?
2x?
2
类型三、应用题
1.围建一个面积为360m的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙,其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用旧墙的长度为x。
将y表示为x的函数。
试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少。
并求出最小总费用。
2.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房。
经测算,如果将楼房建为x层,则每平方米的平均建筑费用为560?
48x。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
建筑总面积
附加题:
若正数a,b,c满足a?
b?
c?
1,那么?
2?
2的最小值为abc
1、若实数x,y满足x?
y?
4,求xy的最大值
2、若x>0,求f?
4x?
3、若x?
0,求y?
x?
4、若x5、求f?
4x?
6、若x,y?
R,x+y=5,求xy的最值
7、若x,y?
R,2x+y=5,求xy的最值
8、已知直角三角形的面积为4平方厘米,求该三角形周长的最小值
?
?
229的最小值;x1的最大值x9的最大值x9的最小值.x?
5
1、求y?
2、求y?
x的最大值.
3、求y?
x的最大值。
4、求y?
5、若x?
2,求y?
2x?
5?
6、若x?
0,求y?
7
、求y?
8用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少?
段长为3m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
21?
x的最小值.x?
31412?
3x的最大值.x1的最小值x?
2x2?
x?
1的最大值。
x2的最小值.
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