立体几何点线面复习.docx
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立体几何点线面复习
题型一 几何中共点、共线、共面问题
1.证明共面问题
证明共面问题,一般有两种证法:
一是由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;
二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.
2.证明三点共线问题
证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,当然必在两个平面的交线上.
3.证明三线共点问题
证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.
例1 如图所示,空间四边形ABCD中,E,F
分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,
且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
求证:
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)GE与HF的交点在直线AC上.
证明
(1)∵BG∶GC=DH∶HC,
∴GH∥BD,又EF∥BD,∴EF∥GH,
(2)∵G、H不是BC、CD的中点,∴EF≠GH.
又EF∥GH,∴EG与FH不平行,则必相交,设交点为M.
⇒M∈面ABC且M∈面ACD⇒M在面ABC与面ACD的交线上⇒M∈AC.
∴GE与HF的交点在直线AC上.
跟踪训练1 如图,O是正方体ABCD-A1B1C1D1上底面ABCD的中心,M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证:
O、M、A1三点共线
证明 ∵O∈AC,AC⊂平面ACC1A1,
∴O∈平面ACC1A1.
∵M∈AC1,AC1⊂平面ACC1A1.
∴M∈平面ACC1A1.
又已知A1∈平面ACC1A1,即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上,
又O、M、A1三点都在平面AB1D上,所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上,
所以O、M、A1三点共线.
题型二 空间中的平行问题
1.判断或证明线面平行的常用方法:
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
2.证明面面平行的方法:
(1)利用面面平行的定义;
(2)利用面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
例2 如图,E、F、G、H分别是正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点,
求证:
(1)GE∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明
(1)取B1D1中点O,连接GO,OB,
易证OG
B1C1,BE
B1C1,
∴OG綊BE,四边形BEGO为平行四边形.
∴OB∥GE.
∵OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,
∴GE∥平面BDD1B1.
(2)由正方体性质得B1D1∥BD,
∵B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,
∴B1D1∥平面BDF.
连接HB,D1F,
易证HBFD1是平行四边形,得HD1∥BF.
∵HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,
∴HD1∥平面BDF.
∵B1D1∩HD1=D1,
∴平面BDF∥平面B1D1H.
跟踪训练2 如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC的中点.
求证:
平面DMN∥平面ABC.
证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点,∴MN∥AC,
又∵AC⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,
∴MN∥平面ABC,
∵DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,
∴BD∥EC,四边形BDEC为直角梯形,
∵N为EC中点,EC=2BD,∴NC綊BD,
∴四边形BCND为矩形,∴DN∥BC,
又∵DN⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴DN∥平面ABC,又∵MN∩DN=N
∴平面DMN∥平面ABC.
题型三 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法:
(1)判定线线垂直的方法:
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角);
②线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b).
(2)判定线面垂直的方法:
①线面垂直定义(一般不易验证任意性);
②线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c=M⇒a⊥α);
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α⇒a⊥α);
④面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α);
⑤面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
⑥面面垂直的性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ).
(3)面面垂直的判定方法:
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°);
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
例3 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,
D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),
且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
证明
(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
跟踪训练3 如图,A,B,C,D为空间四点.
在△ABC中,AB=2,AC=BC=
,等边△ADB
以AB为轴运动.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?
证明你的结论.
解
(1)取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE,
由已知可得DE=
,EC=1,在Rt△DEC中,CD=
=2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
①当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时,由
(1)知AB⊥DE.
又因AC=BC,所以AB⊥CE.又DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE,由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.
综上所述,总有AB⊥CD.
题型四 空间角问题
1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
3.二面角的平面角的作法常有三种:
(1)定义法;
(2)垂线法;(3)垂面法.
例4 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等
腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,
AE⊥BD,CB=CD=CF.
(1)求证:
BD⊥平面AED;
(2)求二面角F-BD-C的余弦值.
(1)证明:
因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
所以∠ADC=∠BCD=120°.
又CB=CD,所以∠CDB=30°,
因此∠ADB=90°,即AD⊥BD.
又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD⊂平面AED,
所以BD⊥平面AED.
(2)解:
如图,
取BD的中点G,连接CG,FG,
由于CB=CD,因此CG⊥BD.
又FC⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以FC⊥BD.
由于FC∩CG=C,FC,CG⊂平面FCG,
所以BD⊥平面FCG
故BD⊥FG,
所以∠FGC为二面角F-BD-C的平面角.
在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,
因此CG=
CB.又CB=CF,
所以GF=
=
CG,
故cos∠FGC=
,
因此二面角F-BD-C的余弦值为
.
跟踪训练4 如图,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,求:
(1)AO与A′C′所成角的度数;
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.
解
(1)∵A′C′∥AC,
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′,OC⊂平面BC′,
∴OC⊥AB,又OC⊥BO,AB∩BO=B.
∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中,OC=
,AC=
,sin∠OAC=
=
,
∴∠OAC=30°.
即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图,作OE⊥BC于E,连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD,
∴OE⊥平面ABCD,
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中,OE=
,AE=
=
,
∴tan∠OAE=
=
.
(3)∵OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩OB=O,
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC⊂平面AOC,
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
1.平行问题的转化关系
2.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法;
(2)判定定理;(3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法;
(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
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