高三复习第九讲离散型随机变量的均值方差和正态分布.docx
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高三复习第九讲离散型随机变量的均值方差和正态分布
第十章 计数原理、概率、随机变量及分布列
第九讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
【考纲速读吧】
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
【要点集结号】
1个重要作用
均值是随机变量取值的平均值,常用于对随机变量平均水平的估计,方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,常用于对随机变量稳定于均值情况的估计.
2种必会方法
1.①若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);②X~B(n,p),则E(X)=np,
D(X)=np(1-p);③若X服从超几何分布,则E(X)=n.
2.正态总体在某个区间内取值的概率的求法:
一要熟记P(μ-σ P(μ-3σ 3项必须注意 1.在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意: D(aX+b)≠aD(X)+b,D(aX+b)≠aD(X). 2.求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果服从X~B(n,p),那么用公式 E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量. [注: E(X)=np,D(X)=np(1-p)]. 3.在利用对称性转化区间时,要注意正态曲线的对称轴是x=μ(μ≠0),而不是x=0. 【课前自主导学】01 1.离散型随机变量的均值与方差 (1)若离散型随机变量X的分布列为 X P ①均值 称E(X)=__________为随机变量X的均值或________,它反映了离散型随机变量取值的________. ②方差 称D(X)=________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________,其________为随机变量X的标准差. (2)均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=________, (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数) (3)两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)=____ D(X)=______ X~B(n,p) E(X)=____ D(X)=______ 想一想 随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的? 填一填 已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 0.5 x y 若E(ξ)=,则D(ξ)=________. 2.正态分布 (1)正态曲线的性质 ①曲线位于x轴________,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线________对称; ③曲线在________处达到峰值; ④曲线与x轴之间的面积为________; ⑤当σ一定时,曲线随着________的变化而沿x轴平移,如图甲所示; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ________,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ________,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示. (2)正态分布的三个常用数据: ①P(μ-σ 想一想 μ,σ在正态分布中的实际意义是什么? 填一填 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=________. 【自我校对】 1.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 算术平方根 aE(X)+b a2D(X) p p(1-p) np np(1-p) 想一想: 提示: 随机变量的均值、方差是一个常数.样本的均值、方差是一 个变量.随着样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差. 填一填: 提示: 由分布列性质,得x+y=0.5.又E(ξ)=,即2x+3y=,可得 D(ξ)=(1-)2·+(2-)2·+(3-)2·=. 2.上方 x=μ x=μ 1 μ 越小 越大 0.6826 0.9544 0.9974 想一想: 提示: μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差. 填一填: -p 提示: P(-1<ξ<0)=P(-1<ξ<1)=[1-2P(ξ>1)]=-P(ξ>1)=-p. 【核心要点研究】02 【考点一】离散型随机变量的均值 例1 [2012·福建高考]受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x(年) 0 1 x>2 0 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车? 说明理由. [解析] (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)==. (2)依题意得,X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P (3)由 (2),得E(X1)=1×+2×+3×==2.86(万元), E(X2)=1.8×+2.9×=2.79(万元).因为E(X1)>E(X2),所以应生产甲品牌轿车. 【师说点拨】 1.求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列,然后根据均值定义求解. 2.若随机变量服从二项分布,即X~B(n,p)可直接使用公式E(X)=np求解,可不写出分布列. 3.注意运用均值的线性运算性质即Y=ax+b则E(Y)=aE(X)+b. 【变式探究】某品牌的汽车4S店,对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示.已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元;分2期或3期付款其利润为1.5万元;分4期或5期付款,其利润为2万元.用η表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 频数 40 20 a 10 b (1)求上表中的a,b值; (2)若以频率作为概率,求事件A: “购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有1位采用3期付款”的概率P(A); (3)求η的分布列及数学期望E(η). 解: (1)由 ,得 又因为 ,所以 (2)记分期付款的期数为ξ,依题意,得 P(ξ=1)==0.4, P(ξ=2)==0.2, P(ξ=3)=0.2, P(ξ=4)==0.1, P(ξ=5)==0.1. 则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率为 P(A)=0.83+C×0.2×(1-0.2)2=0.896. (3)由题意,可知ξ只能取1,2,3,4,5.而ξ=1时,η=1;ξ=2时,η=1.5;ξ=3时,η=1.5;ξ=4时, η=2;ξ=5时,η=2.所以η的可能取值为: 1,1.5,2,其中 P(η=1)=P(ξ=1)=0.4, P(η=1.5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.4, P(η=2)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2, 所以η的分布列如下表所示: η 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 故η的数学期望E(η)=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4(万元). 【考点二】离散型随机变量的方差 例2 [2012·上海高考]设10≤x1 A.Dξ1>Dξ2 B.Dξ1=Dξ2 C.Dξ1 D.Dξ1与Dξ2的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关 【审题视点】 写出分布列,求得E(x),再代入方差公式求D(x). [解析] P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 E(ξ1)=x1×0.2+x2×0.2+x3×0.2+x4×0.2+x5×0.2=0.2×(x1+x2+x3+x4+x5). ξξ2 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 E(ξ2)=×0.2+×0.2+×0.2+×0.2+×0.2=0.2×(x1+x2+x3+x4+x5). ∴E(ξ1)=E(ξ2),记作, ∴D(ξ1)=0.2[(x1-)2+(x2-)2+…+(x5-)2] =0.2[x+x+…+x+52-2(x1+x2+…+x5)]=0.2(x+x+…+x-52). 同理D(ξ2)=0.2[()2+()2+…+()2-52] ∵()2<,…,<, ∴2+2+…+2 [答案] A 【师说点拨】 D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,统计中常用来描述X的分散程度. 【变式探究】 [2012·课标全国高考]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位: 元)关于当天需求量n(单位: 枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位: 枝),整理得下表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位: 元),求X的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝? 请说明理由. 解: (1)当n≥16时,y=16×(10-5)=80. 当n≤15时,y=5n-5(16-n)=10n-80,得: y=(n∈N). (2)①X可取60, 70, 80. P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7. X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. D(X)=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44. ②购进17枝时,当天的利润为 y=(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4,由76.4>76,应购进17枝. 【考点三】有关正态分布的问题 例3 [2011·湖北高考]已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【审题视点】此正态曲线是关于x=2的一个轴对称图形,根据其对称性求解概率. [解析] 由P(ξ<4)=0.8知P(ξ>4)=P(ξ<0)=0.2,故P(0<ξ<2)=0.3.故选C. [答案] C 奇思妙想: 本例条件不变,求P(ξ≤0)的值. 解: P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.2. 【师说点拨】 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
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- 复习 第九 离散 随机变量 均值 方差 正态分布