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高数总结
一.函数的概念
1.用变上、下限积分表示的函数
考研数学知识点-高等数学
公式1.lim
x→0
sinx=1
n
x
x
(1)y=∫f(t)dt,其中f(t)连续,则dy=
f(x)
⎛1⎞
⎛1⎞
(2)y=
0
ϕ2(x)
∫ϕ(x)f
(t)dt,其中ϕ1
(x),ϕ2
dx
(x)可导,f(t)
公式2.lim⎜1+⎟
5
n→∞⎝n⎠
()
=e;lim⎜1+⎟
u
n
u→∞⎝u⎠
=e;
1
连续,
lim1+vv=e
1
v→0
则dy=f[ϕ
dx2
(x)]ϕ2′(x)−f[ϕ1
(x)]ϕ1′(x)
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和
2.两个无穷小的比较
设limf(x)=0,limg(x)=0,且limf(x)=l
g(x)
数学二)
3
当x→0时,ex
2
=1+x+x+Λ
+x+0(xn)
(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以
=−x+x+
2!
+(−)n
n!
x2n+1
+(x2n+1)
f(x)=0[g(x)],称g(x)是比f(x)低阶的无穷
sinxxΛ
3!
5!
1(2n
+1)!
0
3
x2x4
2n
x
n2n
小。
(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小。
cosx=1−+
2
2!
4!
−Λ+(−1)(2n)!
+0(x)
(3)l=1,称f(x)与g(x)是等价无穷小,记以
ln(1+x)=x−x
+x−Λ
+(−1)
n+1xn
+0(xn)
f(x)~g(x)
arctan
23
3
5
x=x−x+x−Λ
+(−
1)n+1
n
x2n+1
n+
+0(x
2n+1)
3.常见的等价无穷小
当x→0时
3521
(1+x)α=1+αx+α(α−1)x2+Λ+α(α−1)Λ[α−(n−1)]xn+0(xn)
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x
2!
n!
1−cosx~1x2,
2
(1+x)α−1~αx
二.求极限的方法
ex−1~x
,ln(1+x)~x,
6.洛必达法则
0
法则1.(型)设
(1)limf(x)=0,limg(x)=0
0
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1.单调有界数列极限一定存在
(1)若xn+1≤xn(n为正整数)又xn≥m(n为正
f′(x)
(3)lim=A(或∞)
g′(x)
f(x)
整数),则limxn=A存在,且A≥m
n→∞
则lim
g(x)
=A(或∞)
(2)若xn+1≥xn(n为正整数)又xn≤M(n为正
整数),则limxn=A存在,且A≤M
n→∞
(注:
如果limf′(x)不存在且不是无穷大量情形,则
g′(x)
f(x)
准则2.(夹逼定理)设g(x)≤
f(x)≤h(x)
不能得出lim不存在且不是无穷大量情形)
()
∞
gx
若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A
3.两个重要公式
1
法则2.(型)设
(1)limf(x)=∞,limg(x)=∞
∞
(2)x变化过程中,f′(x),g′(x)皆存在
Editedby杨凯钧2005年10月
f′(x)
(3)lim=A(或∞)
g′(x)
f(x)
考研数学知识点-高等数学
值,如果对于区间[a,b]上的任一点x,总有f(x)≤M,则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。
同样可以定义最
则lim
g(x)
=A(或∞)
小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上
7.利用导数定义求极限
f(x+∆x)−f(x)
00
基本公式:
lim=
f′(x0)
[如果
连续,且其最大值和最小值分别为M和m,则对于介于m
存在]
∆x→0∆x
和M之间的任何实数c,在[a,b]上至少存在一个ξ,使
得
8.利用定积分定义求极限
f(ξ)=c
1n⎛k⎞1
基本公式
limf⎜⎟=
∑∫
nn
f(x)dx
[如果存在]
推论:
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)
n→∞
k=1⎝⎠0
三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:
(1)第一类间断点
与f(b)异号,则在(a,b)内至少存在一个点ξ,使得
f(ξ)=0
设x0是函数y=
f(x)的间断点。
如果f(x)在间断点
这个推论也称为零点定理五.导数与微分计算
x0处的左、右极限都存在,则称x0是f(x)的第一类间断
点。
1.导数与微分表
′
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
(c)=0
d(c)=0
(2)第二类间断点
(xα)′=αxα−1(α实常数)d(xα)=αxα−1dx(α实常数)
′
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
点。
(sinx)
′
=cosx
dsinx=cosxdx
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
(cosx)
=−sinx
dcosx=−sinxdx
四.闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),有以下几个基本
(tanx)′=sec2x
a
(cotx)′=−csc2x
′
dtanx=sec2xdx
dcotx=−csc2xdx
性质。
这些性质以后都要用到。
(secx)
=secxtanx
dsecx=secxtanxdx
定理1.(有界定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上
(cscx)′=−cscxcotx
dcscx=−cscxcotxdx
连续,则f(x)必在[a,b]上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f(x)在闭
(logx)′=
dlogax=
1
xlnadx
xlna
(a>0,a≠1)
(a>0,a≠1)
区间[a,b]上连续,则在这个区间上一定存在最大值M和
(lnx)′=1
x
dlnx=1dx
x
最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下:
(ax)′
=ax
lna(a>0,a≠1)
定义设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数
dax
=ax
lnadx(a>0,a≠1)
2Editedby杨凯钧2005年10月
(ex)′=ex
dex=exdx
考研数学知识点-高等数学
ψ′(t)存在,且ϕ′(t)≠0,则
(arcsinx)′=1
darcsinx=
1dx
dy=ψ′(t)
(ϕ′(t)≠0)
1−x2
1−x2
dxϕ′(t)
二阶导数
(arccosx)′=−
1
1−x2
darccosx=−
1dx
1−x2
d2y
d⎡dy⎤
⎢dx⎥
d⎡dy⎤
⎢dx⎥1
ψ′(t)ϕ′(t)−ψ′(t)ϕ′(t)
(arctanx)′=
1
1+x2
darctanx=
1dx
1+x2
=
dx2
⎣⎦=
dx
⎣⎦⋅=
dtdx
dt
[ϕ′(t)]3
(arccotx)′=−
1
1+x2
darccotx=−
1dx
1+x2
5.反函数求导法则
[ln(x+
dln(x+
x2+a2)]′=
x2+a2)=
1
x2+a2
1dx
x2+a2
设y=
f′(x)≠0
f(x)的反函数x=g(y),两者皆可导,且
[ln(x+
x2−a2)]′=
1
x2−a2
则g′(y)=
1
f′(x)=
1
f′[g(y)]
⎡
d
(f′(x)≠0)
1⎤
dln(x+
x2−a2)=
1dx
⎢f′(x)⎥
2.四则运算法则
[f(x)±g(x)]′=
x2−a2
f′(x)±g′(x)
二阶导数g′(y)=d[g′(y)]=
dy
⎣⎦⋅1
dxdy
dx
[f(x)⋅g(x)]′=
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
f′(x)
=−
[f′(x)]3
f′[g(y)]
=−
{f′[g(y)]}3
(f′(x)≠0)
⎡f(x)⎤′
⎢g(x)⎥=
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
(g(x)≠0)
6.隐函数运算法则
⎣⎦设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定,求y′的方
3.复合函数运算法则
设y=
f(u),u=ϕ(x),如果ϕ(x)在x处可导,f(u)
法如下:
把F(x,y)=0两边的各项对x求导,把y看作中间变
在对应点u处可导,则复合函数y=
且有
f[ϕ(x)]在x处可导,
量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y′的表达式(允
dy=dydu=
f′[ϕ(x)]ϕ′(x)
许出现y变量)
dxdudx
对应地dy=
f′(u)du=
f′[ϕ(x)]ϕ′(x)dx
7.对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数,然后再用隐函数求导
由于公式dy=
f′(u)du不管u是自变量或中间变量
方法得出导数y′。
都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4.由参数方程确定函数的运算法则
对数求导法主要用于:
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
设x=ϕ(t),y=ψ(t)确定函数y=y(x),其中ϕ′(t),
3
关于幂指函数
y=[f(x)]g(x)常用的一种方法
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
(1)在闭区间[a,b]上连续;
8.可微与可导的关系
f(x)在x0处可微⇔
f(x)在x0处可导。
(2)在开区间(a,b)内可导;
则存在ξ∈(a,b),使得
9.求n阶导数(n≥2,正整数)
先求出y′,y′,Λ,总结出规律性,然后写出y(n),最后
用归纳法证明。
f(b)−f(a)
=
b−a
f′(ξ)
有一些常用的初等函数的n阶导数公式
或写成f(b)−f(a)=
f′(ξ)(b−a)
(a<ξ
(1)y=ex
y(n)=ex
有时也写成f(x0
+∆x)−f(x0)=
f′(x0
+θ∆x)⋅∆x
(2)y=ax(a>0,a≠1)
y(n)=ax(lna)n
(0<θ<1)
(3)y=sinx
y(n)=sin⎛x+
nπ⎞
⎟
这里x0相当a或b都可以,∆x可正可负。
⎜
⎝2⎠
推论1.若f(x)在(a,b)内可导,且f′(x)≡0,则f(x)
(4)y=cosx
y(n)=⎛x+
nπ⎞
⎟
⎝2⎠
在(a,b)内为常数。
(5)
y=lnx
y(n)=(−1)n−1(n−1)!
x−n
推论2.若f(x),g(x)在(a,b)内皆可导,且
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
cos⎜
n
n
k
[u(x)v(x)](n)=∑Cku(k)(x)v(n−k)(x)
=0
n!
f′(x)≡g′(x),则在(a,b)内f(x)=g(x)+c,其中c为
一个常数。
三.柯西中值定理(数学四不要)
设函数f(x)和g(x)满足:
C
其中
v(0)(x)=v(x)
k=,
nk!
(n−k)!
u(0)(x)=u(x),
(1)在闭区间[a,b]上皆连续;
(2)在开区间(a,b)内皆可导;且g′(x)≠0
假设u(x)和v(x)都是n阶可导。
微分中值定理
则存在ξ∈(a,b)使得
一.罗尔定理
设函数f(x)满足
f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=
f′(ξ)
g′(ξ)
(a<ξ
(1)在闭区间[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导;
(注:
柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特
殊情形g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定
理。
)
(3)f(a)=
f(b)
四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)
则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0
二.拉格朗日中值定理
设函数f(x)满足
定理1.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)
f()(x)()n
设f(x)在x0处有n阶导数,则有公式
f(x)=f(x0)+
f′(x0)(x−x)+
1!
0
f′′(x0)(x−x)2
2!
0
+Λ+
n
0x−x
n!
0
+Rn(x)
4Editedby杨凯钧2005年10月
(x→x0)
考研数学知识点-高等数学
的一个极小值,称x0为函数f(x)的一个极小值点。
其中Rn
余项。
⎛
(x)=0[(x−x
0⎠
⎞
)n]
(x→x0
)称为皮亚诺
函数的极大值与极小值统称极值。
极大值点与极小值点统称极值点。
2.必要条件(可导情形)
)
x
⎜lim
Rn(x)
=0⎟
⎜x→x
⎝0
(x−n⎟
设函数f(x)在x0处可导,且x0为f(x)的一个极值
0
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不
同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如
ex,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+x)α(α为实常数)等的n
点,则f′(x0
)=0。
阶泰勒公式都要熟记。
定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)
设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数,在
[a,b]上有n阶连续导数,则对x∈[a,b],有公式
我们称x满足f′(x0)=0的x0为f(x)的驻点可导函
数的极值点一定是驻点,反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点,所以只要从这两种点中进一步去判断。
3.第一充分条件
()()
f′(x)()
f′(x)()
f()(x)()n()
fx=
fx0+
0x−x+
1!
0
0x−x
2!
0
2+Λ+
n
0x−x
n!
0
+Rnx
设f(x)在x0处连续,在0<
x−x0
<δ内可导,
其中Rn(x)=
f(n+1)(ξ)
(n+1)!
(x−x0)
n+1
,(ξ在x0与x之
f′(x0
)不存在,或f′(x0
)=0。
1°如果在
间)
(x0−δ,x0)内的任一点x处,有
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。
当
f′(x)>0,而在(x0
x0
+δ)内的任一点x处,有
x0=0时,也称为n阶麦克劳林公式。
如果limRn(x)=0,那么泰勒公式就转化为泰勒级
n→∞
f′(x)<0,则f(x0)为极大值,x0为极大值点;
2°如果在(x0−δ,x0)内的任一点x处,有
数,这在后面无穷级数中再讨论。
f′(x)<0,而在(x0,x0+δ)内的任一点x处,有
导数的应用:
一.基本知识
f′(x)>0,则f(x0
)为极小值,x0为极小值点;
1.定义
设函数f(x)在(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的某一
3°如果在(x0
−δ,x0
)内与(x0
x0
+δ)内的任一点
点,则
如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点
x处,f′(x)的符号相同,那么f(x0)不是极值,x0不是
极值点。
4.第二充分条件
x(x≠x0),总有f(x)<
f(x0),则称f(x0)为函数f(x)
设函数
f(x)在x0处有二阶导数,且
f′(x0)=0,
的一个极大值,称x0为函数f(x)的一个极大值点;
如果点x0存在一个邻域,使得对此邻域内的任一点
f′(x0)≠0,则
当f′(x0)<0时,f(x0)为极大值,x0为极大值点。
x(x≠x0),总有f(x)>
f(x0),则称f(x0)为函数f(x)
5
当f′(x0)>0时,f(x0)为极小值,x0为极小值点。
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
二.函数的最大值和最小值
y=f(x)在(a,b)内是凸的。
1.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法
求曲线y=
f(x)的拐点的方法步骤是:
首先,求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点
x1,Λ,xk,其次计算f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b)。
最后,比较f(x1),Λ,f(xk),f(a),f(b),
其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M;其中最
小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。
2.最大(小)值的应用问题
第一步:
求出二阶导数f′(x);
第二步:
求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的
点x1、x2、…、xk;第三步:
对于以上的连续点,检验各点两边二阶导数
的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标;
第四步:
求出拐点的纵坐标。
四.渐近线的求法
1.垂直渐近线
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间,然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。
若lim
x→a+
f(x)=∞或lim
x→a−
f(x)=∞
三.凹凸性与拐点
1.凹凸的定义
则x=a为曲线y=
2.水平渐近线
f(x)的一条垂直渐近线。
设f(x)在区间I上连续,若对任意不同的两点x1,x2,
恒有
若lim
x→+∞
f(x)=b,或lim
x→−∞
f(x)=b
则y=b是曲线y=
f(x)的一条水平渐近线。
⎛x1+x2⎞1
⎛⎛x1+x2⎞1
3.斜渐近线
⎞
f⎜⎟>
[f(x1)+f(x2)]⎜f⎜
⎟<[f(x1)+f(x2)]⎟
f(x)
⎝2⎠2
⎝⎝2⎠2
⎠若lim
f(x)
x→+∞x
=a≠0,lim[f(x)−ax]=b
x→+∞
则称f(x)在I上是凸(凹)的。
或lim
=a≠0,lim[f(x)−ax]=b
x→−∞
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