高中数学立体几何习题精选精讲doc.docx
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高中数学立体几何习题精选精讲doc
2019年高中数学立体几何习题精选精讲
篇一:
高中数学_椭圆习题精选精讲素材_
椭圆知识点
知识要点小结:
知识点一:
椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1?
PF2?
2a?
F1F2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:
若(PF1?
PF2?
F1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2;若(PF1?
PF2?
F1F2),则动点P的轨迹无图形.
知识点二:
椭圆的标准方程
x2y2222
1.当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程:
2?
2?
1(a?
b?
0),其中c?
a?
b
ab
y2x2222
2.当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:
2?
2?
1(a?
b?
0),其中c?
a?
b;注意:
1.只有当椭
ab
圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中,都有(a?
b?
0)和c2?
a2?
b2;3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0),(?
c,0);当焦点在y轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,?
c)知识点三:
椭圆的简单几何性质
x2y2
椭圆:
2?
2?
1(a?
b?
0)的简单几何性质
ab
x2y2
(1)对称性:
对于椭圆标准方程2?
2?
1(a?
b?
0):
说明:
ab
或把y换成?
y、或把x、y同时换成?
x、?
y、原方程都不变,
把x换成?
x、所以椭圆原点为对称中心
x2y2
?
2?
1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,并且是以2ab
的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线x?
?
a和y?
?
b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足x(3)顶点:
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
?
a,y?
b。
x2y2
②椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(?
a,0),
ab
A2(a,0),B1(0,?
b),B2(0,b)
③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A2长和短半轴长。
(4)离心率:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e?
?
2a,B1B2?
2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴
2cc?
。
2aa
②因为(a?
c?
0),所以e的取值范围是(0?
e?
1)。
e越接近1,则c就越接近a,从而b?
a2?
c2越小,因
c?
0,此椭圆越扁;反之,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当a?
b时,e越接近于0,c就越接近0,
x2y2
这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x?
y?
a。
注意:
椭圆2?
2?
1的图像中线段的几何特征(如下
ab
2
2
图):
(1)(PF1?
PF2
?
2a);
PF1PM1
?
PF2PM2
?
e;
(PM1?
PM2
(BF1?
BF2
2a2
?
);
c
?
a);(OF1?
OF2
?
c);
(2)
A1B?
A2B?
a2?
b2;
(3)A1F1
?
A2F2?
a?
c;A1F2?
A2F1?
a?
c;a?
c?
PF1?
a?
c;
x2y2y2x2
知识点四:
椭圆2?
2?
1与2?
2?
1(a?
b?
0)的区别和联系
abab
x2y2y2x2
注意:
椭圆2?
2?
1,2?
2?
1(a?
b?
0)的相同点:
形状、大小都相同;参数间的关系都有(a?
b?
0)和
abab
e?
c
(0?
e?
1),a2?
b2?
c2;不同点:
两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
a
规律方法:
1.如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。
此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:
两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:
(a?
b?
0),(a?
c?
0),且(a2?
b2?
c2)。
可借助右图理解记忆:
显然:
a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、
c为两条直角边。
椭圆的焦点
2
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:
看x,y的分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程Ax?
By?
C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
2
2
2
分母的大小,哪个
x2By2Ax2By2
?
?
1,所以只有A、B、C同号,且A?
B时,方程表示?
?
1,即方程Ax?
By?
C可化为
CCCC
AB
2
2
椭圆。
当
CCCC
?
时,椭圆的焦点在x轴上;当?
时,椭圆的焦点在y轴上。
ABAB5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:
由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的
参数a,b,c的值。
其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:
由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2y2x2y2
?
2?
1(m?
?
b2),此类共焦点,则c相同。
与椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)共焦点的椭圆方程可设为2
aba?
mb?
m
问题常用待定系数法求解。
7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
①若把曲线方程中的x换成?
x,方程不变,则曲线关于y轴对称;②若把曲线方程中的y换成?
y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
③若把曲线方程中的x、y同时换成?
x、?
y,方程不变,则曲线关于原点对称。
8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:
与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、
1
三角形面积公式S?
PF1F2?
PF1?
PF2?
sin?
F1PF2相结合的方法进行计算解题。
2将有关线段PFPF2F1F2,有关角?
F1PF2(?
F1PF2?
?
F1BF2)结合起来,建立PF1?
PF2、1PF1?
PF2之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率e?
c
(0?
e?
1),因为c2?
a2?
b2,a?
c?
0,用a
a、b表示为e?
?
()2(0?
e?
1)。
ba
显然:
当圆。
bb
越小时,e(0?
e?
1)越大,椭圆形状越扁;当越大,e(0?
e?
1)越小,椭圆形状越趋近于aa
椭圆习题精选精讲
(1)第一定义——把椭圆从圆中分离
椭圆从圆(压缩)变形而来,从而使得椭圆与圆相关而又相异.它从圆中带来了中心和定长,但又产生了2个新的定点——焦点.准确、完整地掌握椭圆的定义,是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.
【例1】若点M到两定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹是()
A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.线段F1F2的中垂线.
【解析】注意到
F1F2?
2,且MF1?
MF2?
2,故点M只能在线段F1F2上运动,即点M的轨迹就是线段F1F2,选C.
【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件,那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点,就会错误地选A.
(2)勾股数组——椭圆方程的几何特征
椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c,满足错误!
未找到引用源。
.在a、b、c三个参数中,只要已知或求出其中的任意两个,便可以求出第3个,继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征,这个几何特征就反映在这个勾股数组上.所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.
【例2】已知圆A:
?
x?
3?
2?
y2
,圆P过点B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.?
100,圆A内一定点B(3,0)
【解析】如图,设两圆内切于C,动点P(x,y),则A、P、C共线.连AC、PB,∵
PA?
PB?
AC?
10
为定长,而A(-3,0),B(3,0)为定点,∴圆心P的轨迹是椭圆.且a
?
5,c?
3,?
b?
4.所求轨迹方程为:
x2y2?
?
1.2516
(3)第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟
如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程,那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释,我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
【例3】已知椭圆例中项.
【解析】由椭圆方程知:
a椭圆的左准线为:
l:
x
x2y2
?
?
1,能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P,使它到左准线的距离是它到两焦点F1,F2距离的比43
?
2,b?
?
c?
1,e?
1
.2
Y
H
?
?
4.设存在椭圆上一点P(x,y)
d
(x<0)符合所设条件.作PH⊥
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