初中数学人教版特色小组课程第3讲咫尺天涯相逢无处平行线的性质《讲义教师版》.docx
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初中数学人教版特色小组课程第3讲咫尺天涯相逢无处平行线的性质《讲义教师版》
第3讲咫尺天涯,相逢无处——平行线的性质
学习目标
1.理解平行线的性质与判定的区别与联系,掌握平行线的性质.
2.能运用平行线的性质解进行简单的计算与推理。
入门测
单选题
练习1.
如图,已知AB∥CD,EA是∠CEB的平分线,若∠BED=40°,则∠A的度数是().
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
【答案】C
【解析】
题干解析:
根据邻补角性质可得∠BEC=180°-40°=140°,然后算出∠AEC的度数,再根据两直线平行,内错角相等可得答案:
∵∠BED=40°,∴∠BEC=180°-40°=140°.
∵EA是∠CEB的平分线,∴∠AEC=70°.
∵AB∥CD,∴∠A=∠AEC=70°.故选C.
填空题
练习1.
如图,AB∥CD,AC与BD相交于O点,面积相等的两个三角形是 (写一组就给满分).
【答案】
S△ABD=S△ABC或S△ADC=S△CBD或S△AOD=S△BOC
【解析】
题干解析:
可以根据同底等高三角形面积相等找出2对是S△ABD=S△ABC和S△ADC=S△CBD再利用面积相等的两个三角形减去同一个三角形的面积所得的三角形面积相等
解答题
练习1.
如图,AD平分∠BAC,DE∥AC,DF∥AB,图中∠1与∠2有什么关系?
为什么?
【答案】
∠1=∠2.理由如下:
∵DE∥AC,DF∥AB,∴∠1=∠DAF,∠2=∠DAE,又∵AD平分∠BAC,∴∠DAF=∠DAE,∴∠1=∠2.
【解析】
题干解析:
根据两直线平行内错角相等,及角平分线的性质,可得粗结论.
练习2.
如图:
∠1=∠2,∠3=108°.求∠4的度数
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
∵∠1=∠2(已知)∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)∴∠3+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补)∵∠3=108°(已知)∴∠4=72°
练习3.
将下列命题写成“如果……,那么……”的形式
1、锐角大于它的补角。
2、圆是轴对称图形。
【答案】
1、如果一个角是锐角,那么这个角大于它的补角。
2、如果一个图形是圆,那么它是轴对称图形。
【解析】
题干解析:
添加“如果”、“那么”后,命题的意义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗,易于分辨,改写过程中,要适当增加词语。
情景导入
如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次拐的角∠B是142°,第二次拐的角∠C 是多少度?
平行线之间有哪些性质呢?
知识精讲
根据平行线的性质求角的度数
知识讲解
结合图形找出平行线被直线所截得出的同位角、内错角或同旁内角,根据平行线的性质和已知中角的度数即可求出角的度数。
例题精讲
根据平行线的性质求角的度数
例1.
如图,已知a∥b,小华把三角板的直角顶点放在直线a上.若∠1=40°,则∠2的度数为( ).
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
【答案】D
【解析】
题干解析:
解:
∵∠1+∠3=90°,
∴∠3=90°﹣40°=50°,
∵a∥b,
∴∠2+∠3=180°.
∴∠2=180°﹣50°=130°.
故选:
D.
例2.
如图,直线EF∥GH,点A在EF上,AC交GH于点B,若∠FAC=72°,∠ACD=58°,点D在GH上,求∠BDC的度数.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
∵EF∥GH,∴∠ABD+∠FAC=180°,∴∠ABD=180°﹣72°=108°,∵∠ABD=∠ACD+∠BDC,∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°.
例3.
如图,AB∥CD,∠CDE=120°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=130°,求∠F的度数.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
∵AB∥CD,∠CDE=120°,∴∠BED=∠CDE=120°,∵EF平分∠BED,∴∠BEF=
BED=60°,∴∠GEF=120°,∵∠AGF=130°,∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=10°.
根据平行线的性质对角之间关系的推理
知识讲解
根据平行线被直线所截得的同位角相等、内错角相等,同旁内角互补,对角之间关系的进行判断。
例题精讲
根据平行线的性质对角之间关系的推理
例1.
如图,AB∥EF,EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(除∠1外)共有( ).
A.6个
B.5个
C.4个
D.2个
【答案】B
【解析】
题干解析:
解:
如图,与∠1相等的角有:
∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个.故选B.
例2.
按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条,EF是折痕,若∠EFB=32°,则
(1)∠C′EF=32°
(2)∠AEC=148°(3)∠BGE=64°(4)∠BFD=116°以上结论正确的是( ).
A.①③
B.②④
C.①③④
D.②③④
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵AC′∥BD′,∠EFB=32°
∴∠C′EF=∠EFB=32∘,故①正确;
由折叠可知,∠CEF=∠C′EF=32∘,
∴∠AEC=180∘−∠CEF−∠C′EF=116∘,故②错误;
∵AC′∥BD′,∠AEC=116∘,
∴∠BGE=180∘−∠AEC=64∘,故③正确;
∵CE∥DF,且∠BGE=∠CGF=64∘,
∴∠BFD=180∘−∠CGF=116∘,故④正确;
故选:
C.
例3.
已知,如图,∠1=∠ACB,∠2=∠3,FH⊥AB于H.问CD与AB有什么关系?
【答案】
解:
CD⊥AB;理由如下:
∵∠1=∠ACB,∴DE∥BC,∠2=∠DCB,又∵∠2=∠3,∴∠3=∠DCB,故CD∥FH,∵FH⊥AB∴CD⊥AB.
【解析】
题干解析:
由∠1=∠ACB,利用同位角相等,两直线平行可得DE∥BC,根据平行线的性质和等量代换可得∠3=∠DCB,故推出CD∥FH,再结合已知FH⊥AB,易得CD⊥AB.
例4.
如图,已知:
AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:
EF平分∠BED.(证明注明理由)
【答案】
证明:
∵AC∥DE(已知),∴∠BCA=∠BED(两直线平行,同位角相等),即∠1+∠2=∠4+∠5,∵AC∥DE,∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等);∵DC∥EF(已知),∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等);∴∠1=∠4(等量代换),∴∠2=∠5(等式性质);∵CD平分∠BCA(已知),∴∠1=∠2(角平分线的定义),∴∠4=∠5(等量代换),∴EF平分∠BED(角平分线的定义).
【解析】
题干解析:
要证明EF平分∠BED,即证∠4=∠5,由平行线的性质,∠4=∠3=∠1,∠5=∠2,只需证明∠1=∠2,而这是已知条件,故问题得证.
平行线间的距离的应用
知识讲解
(1)平行线间的距离处处相等
(2)同底等高的两个三角形的面积相等。
例题精讲
平行线间的距离的应用
例1.
在同一平面内,直线a∥c,且直线a到直线c的距离是2;直线b∥c,直线b到直线c的距离为5,则直线a到直线b的距离为( ).
A.3
B.7
C.3或7
D.无法确定
【答案】C
【解析】
题干解析:
此题考查了两条平行线间的距离,注意思维的严密性,应分情况考虑.分两种情况:
①直线b在直线a和c的上方;则直线a到直线b的距离为5﹣2=3;
②直线b在直线a和直线c的下方则直线a到直线b的距离为5+2=7.
综上所述,直线a到直线b的距离为3或7.故选C.
例2.
如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=4,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为 .
【答案】
8
【解析】
题干解析:
根据两平行线间的距离相等,可知两个三角形的高相等,所以根据△ABD的面积可求出高,然后求△ACE的面积即可.解:
在△ABD中,当BD为底时,设高为h,在△AEC中,当AE为底时,设高为h′,∵AE∥BD,∴h=h′,∵△ABD的面积为16,BD=8,∴h=4.则△ACE的面积=
×4×4=8.
命题的定义及结构
知识讲解
1.1、命题的概念:
判断一件事情的语句叫命题。
在理解命题的概念时,注意以下两点:
(1)只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题。
如:
相等的角是对顶角。
2.
(2)如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。
如:
画线AB=CD
2、命题的组成:
命题是由题设(条件)和结论两部分构成的。
题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
注意:
命题一般都写成“如果…,那么…”的形式。
“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论。
添加“如果”、“那么”后,命题的意义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的题设和结论更明朗,易于分辨,改写过程中,要适当增加词语。
例题精讲
命题的定义及结构
例1.
下列语句中,不是命题的是().
A.内错角相等
B.如果
,那么
、
互为相反数
C.已知
,求
的值
D.玫瑰花是红的
【答案】C
【解析】
题干解析:
明确判断一件事情的语句,且由题设和结论两部分构成的是命题.A、B、D都是判断一件事情的语句,并且由题设和结论构成,C不是判断一件事情的语句,故选C.
例2.
命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是,结论是.
【答案】
两条直线垂直于同一条直线,这两条直线互相平行
【解析】
题干解析:
先把命题改为“如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线互相平行”的形式,再根据如果…后面是题设,那么…后面是结论判断即可。
例3.
指出下列命题的题设和结论:
(1)等角的补角相等。
(2)有理数一定是自然数。
【答案】
(1)题设:
如果两个角相等,结论:
那么这两个角是对顶角。
(2)题设:
如果一个数是有理数,结论:
那么这个数是自然数。
【解析】
题干解析:
先把命题改写为如果……那么…..的形式,如果后跟的是题设,那么后面就是结论。
真假命题及其证明
知识讲解
命题的分类:
正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题。
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理。
有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理。
例题精讲
真假命题及其证明
例1.
下列句子:
①我们到操场打球去;
②延长线段AB到C;
③对顶角相等;
④若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行;
⑤你去看电影吗?
⑥2010年亚运会不是在广州举行;
⑦画一个角等于已知角;
⑧同位角相等吗?
这里是命题的语句是______________;是真命题的是。
【答案】
③④⑥
③④
【解析】
题干解析:
①②⑤⑦不是表示判断的句子,所以不是命题,⑥是错误的命题,所以⑥是假命题。
根据平行线的性质与判定完善简单的推理
知识讲解
理解平行线的性质与判定的区别与联系,分清性质与判定的题设与结论,是完善推理过程的关键。
例题精讲
根据平行线的性质与判定完善简单的推理
例1.
如图:
∠1=∠2=∠3,完成说理过程并注明理由:
(1)因为∠1=∠2所以____∥____()
(2)因为∠1=∠3
所以____∥____()
【答案】
(1)EFBD同位角相等两直线平行;
(2)ABCD内错角相等两直线平行.
【解析】
题干解析:
根据平行线的性质和判定及对顶角的性质即可得出结论。
例2.
如图,EF⊥AB于F,CD⊥AB于D,点G在AC边上,且∠AGD=∠ACB,
(1)求证:
EF∥CD;
(2)求证:
∠1=∠2.
【答案】
证明:
(1)∵EF⊥AB于F,CD⊥AB于D,∴∠BFE=∠BDC=90°,∴EF∥CD;
(2)∵EF∥CD,∴∠2=∠3,∵∠AGD=∠ACB,∴DG∥BC,∴∠1=∠3∴∠1=∠2.
【解析】
题干解析:
(1)由垂直的定义可得∠BFE=∠BDC,再根据平行线的判定可证明EF∥CD;
(2)由条件可证明DG∥BC,结合
(1)的结论,根据平行线的性质可证明∠1=∠2.
根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系
知识讲解
根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线,根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系,从而求出角的大小或角之间的关系。
例题精讲
根据平行线的性质与判定求角的大小或判断角之间的关系
例1.
如图,AD∥EG∥BC,AC∥EF,则图中与∠1相等的角(不含∠1)有()个;若∠1=50°,则∠AHG=()度.
【答案】
130°
【解析】
题干解析:
此题主要是能够结合平行线正确找到同位角、内错角以及同旁内角.解:
∵AD∥EG∥BC,AC∥EF,∴∠1=∠3,∠3=∠4,∠4=∠5,∠5=∠6,∠5=∠2.故∠1相等的角(不含∠1)有∠3,∠4,∠2,∠5,∠6共5个.∵∠1=50°,∴∠4=50°.则∠AHG=180°-50°=130°.
例2.
如图,∠1+∠2=180°,∠3=108°,求∠4的度数.
【答案】
解:
∵∠3+∠6=180°,∠3=108°,∴∠6=180°-108°=72°,∵∠1+∠2=180°,∠2+∠5=180°,∴∠1=∠5,∴a∥b,∴∠4=∠6=72°.
【解析】
题干解析:
先由邻补角的定义求出∠6=180°-108°=72°,再由已知,得∠1=∠5,所以a∥b,再根据两直线平行,内错角相等求∠4的度数.
例3.
如图,BD⊥AC于D,EF⊥AC于F,DM∥BC,∠1=∠2.求证:
∠AMD=∠AGF.
【答案】
证明:
∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴BD∥EF,∴∠2=∠CBD,∵∠2=∠1,∴∠1=∠CBD,∴GF∥BC,∵BC∥DM,∴MD∥GF,∴∠AMD=∠AGF.
【解析】
题干解析:
由BD⊥AC,EF⊥AC,得到BD∥EF,根据平行线的性质得到∠2=∠CBD,等量代换得到∠1=∠CBD,根据平行线的判定定理得到GF∥BC,证得MD∥GF,根据平行线的性质即可得到结论.
根据平行线的性质与判定判断两直线平行
知识讲解
根据平行线利用平行线的性质得出角之间的关系,根据角之间的关系由平行线的判定得出平行线,从而求判断两直线平行。
例题精讲
根据平行线的性质与判定判断两直线平行
例1.
如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证:
AD∥BC.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
证明:
∵AE平分∠BAD,(已知)∴∠1=∠2,(角平分线的定义)∵AB∥CD,(已知)∴∠1=∠CFE(两直线平行,同位角相等)∵∠CFE=∠E,(已知)∴∠1=∠CFE=∠E,(等量代换)∴∠2=∠E,∴AD∥BC.(内错角相等,两直线平行)
例2.
如图,AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证:
AD∥BC.
【答案】
证明:
∵AE平分∠BAD,∴∠1=∠2,∵AB∥CD,∠CFE=∠E,∴∠1=∠CFE=∠E,∴∠2=∠E,∴AD∥BC.
【解析】
题干解析:
首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件,内错角∠2和∠E相等,得出结论.
平移的概念及性质,利用平移作图
知识讲解
在平面内,一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置,这样的图形运动叫做平移;
平移的性质:
在平面内,一个图形平移后得到的图形与原图形的对应线段相等,对应角相等,各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等;
平移的概念和性质,可以作为画出平移后的图形的理论依据.
例题精讲
平移的概念及性质,利用平移作图
例1.
如图,线段AB=CD,AB与CD相交于O,且∠AOC=60°,CE是由AB平移所得,则AC+BD与AB的大小关系是( ).
A.AC+BD>AB
B.AC+BD=AB
C.AC+BD≥AB
D.无法确定
【答案】C
【解析】
题干解析:
解:
由平移的性质知,AB与CE平行且相等,
所以四边形ACEB是平行四边形,BE=AC,
当B、D、E不共线时,
∵AB∥CE,∠DCE=∠AOC=60°,
∵AB=CE,AB=CD,
∴CE=CD,
∴△CED是等边三角形,
∴DE=AB,
根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD>DE=AB,
即AC+BD>AB.
当D、B、E共线时,AC+BD=AB.
故选C.
例2.
如图,面积为12平方厘米的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置,平移的距离是边BC长的两倍,则图中的四边形ACED的面积是()平方厘米.
【答案】
解:
∵平移的距离是边BC长的两倍,∴BC=CE=EF,∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积;∴四边形ACED的面积=12×3=36(平方厘米).
【解析】
题干解析:
根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积,依此计算即可.
例3.
作图题:
(不要求写作法)如图,在10×10的方格纸中,有一个格点四边形ABCD(即四边形的顶点都在格点上).
(1)在给出的方格纸中,画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1;
(2)在给出的方格纸中,画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A2B2C2D2.
【答案】
解:
作图如图:
画出对应点的位置,连接即可.
【解析】
题干解析:
在平移时要注意平移的方向和平移的距离.确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;确定图形中的关键点;利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.轴对称图形对应点到对称轴的距离相等,利用此性质找对应点,顺次连接即可.
当堂练习
单选题
练习1.
在同一平面内,直线a∥c,且直线a到直线c的距离是2;直线b∥c,直线b到直线c的距离为5,则直线a到直线b的距离为( ).
A.3
B.7
C.3或7
D.无法确定
【答案】C
【解析】
题干解析:
此题考查了两条平行线间的距离,注意思维的严密性,应分情况考虑.分两种情况:
①直线b在直线a和c的上方;则直线a到直线b的距离为5﹣2=3;
②直线b在直线a和直线c的下方则直线a到直线b的距离为5+2=7.
综上所述,直线a到直线b的距离为3或7.故选C.
练习2.
下列语句中,是命题的是().
①若∠1=60°,∠2=60°,则∠1=∠2;②同位角相等吗?
③画线段AB=CD;④如果a>b,b>c,那么a>c;⑤直角都相等.
A.①④⑤
B.①②④
C.①②⑤
D.②③④⑤
【答案】A
【解析】
题干解析:
明确判断一件事情的语句,且由题设和结论两部分构成的是命题.①④⑤都是判断一件事情的语句,并且由题设和结论构成,②③不是判断一件事情的语句,故选A
填空题
练习1.
如图,∠FAB=46°,CE⊥CD,当∠FCE= °时,CD∥AB.
【答案】
136
【解析】
题干解析:
解:
∵∠FAB=46°,∴∠BAC=134°,∵CD∥AB,∴∠ACD=∠BAC=134°,又∵CE⊥CD,∴∠FCE=360°﹣∠ACD﹣∠DCE=136°
练习2.
(2021春∙怀来县期中)把命题“邻补角互补”写成如果…那么…的形式为____________________,它是一个___(填“真”或“假”)命题.
【答案】
如果两个角是邻补角,那么这两个角互补;真
【解析】
题干解析:
命题“邻补角互补”写成如果…那么…的形式为:
如果两个角是邻补角,那么这两个角互补,它是一个真命题,
练习3.
(2021∙漳州二模)“若实数a,b,c满足a
【答案】
1,2,3
【解析】
题干解析:
当a=1,b=2,c=3时,满足a
解答题
练习1.
已知:
如图,∠1=∠2.求证:
∠3+∠4=180°,请注明理由
证明:
∵∠1=∠2
∴a∥b()
∴∠3+∠5=180°()
又∵∠4=∠5()
∴∠3+∠4=180°()
【答案】
同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;对顶角相等;等量代换。
【解析】
题干解析:
根据平行线的性质和判定及对顶角的性质即可得出结论。
练习2.
如图,已知直线AB∥CD,求∠A+∠C与∠AEC的大小关系并说明理由.
【答案】
解:
∠A+∠C=∠AEC.理由:
过E作EF∥AB,∵EF∥AB,∴∠A=∠AEF(两直线平行内错角相等),又∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠C=∠CEF(两直线平行内错角相等),又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF,∴∠AEC=∠A+∠C.
【解析】
题干解析:
过E作EF∥AB,根据平行的传递性,则有EF∥CD,再根据两直线平行内错角相等的性质可求.
练习3.
如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,问直线EF与AB有怎样的位置关系?
为什么?
【答案】
平行.证明:
∵CD∥AB,∴∠ABC=∠DCB=70°;又∵∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°;∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°;∴EF∥AB(同旁内角互补,两直线平行).
【解析】
题干解析:
两直线的位置关系有两种:
平行和相交,根据图形可以猜想两直线平行,然后根据条件探求平行的判定条件.
练习4.
如图,AB∥CD,∠CDE=120°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=130°,求∠F的度数.
【答案】
见解析
【解析】
题干解析:
解:
∵AB∥CD,∠CDE=120°,∴∠BED=∠CDE=120°,∵EF平分∠BED,∴∠BEF=
BED=60°,∴∠GEF=120°,∵∠AGF=130°,∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=10°.
当堂总结
出门测
单选题
练习1.
(2021春∙左贡县期末)下列四个命题:
①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行.其中真命题的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解析】
题干解析:
①符合对顶角的性质,故本小题正确;
②两直线平行,内错角相等,故本小题错误;
③符合平行线的判定定理,故本小题正确;
练习2.
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 讲义教师版 初中 学人 特色 小组 课程 咫尺天涯 相逢 无处 平行线 性质 讲义 教师版