电大经济数学基础形成性考核册答案.docx
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电大经济数学基础形成性考核册答案
电大经济数学基础形成性考核册及参
B.lim
x0
考答案
C.
i
limxsin1
x0
(一)填空题
x0X
3.
设y
lg2x,则dy(
B).
0
A.
丄dx
B.1
dx
2
0
0,
2x
xln10
2.
设f(x)
X1,X
k,x
在X
0处连续,
C.
ln10
1
dxD.—dx
X
X
则
k
.答案
:
1
4.
若函
数f(x)在点
X0处可导,
则
3.
曲线y
x在
(1,1)
的切
线方程
(B
)
是错误的.
.答案:
答案:
是
A.函数f(x)在点Xo处有定义
1
2
1
y2x
1.lim—
D.lim沁1
Xx
4.设函数f(x1)x22x5
B.limf(x)A,但Af(x0)
xXo
f(x)
.答案:
2x
函数f(X)在点Xo处连续
5.设f(x)xsinx,贝Sf(n)
2
答案:
n
2
(二)单项选择题
D.函数f(x)在点Xo处可微
5.当x0时,下列变量是无穷小量的
1.函数y
X
2
1
的连续区间是
X
x2
(D)
A
(,1)
(1,)
B・(,
2)(
2,
)
C
(
2)
(2,1)
(1,)
D.(,
2)(
2,
)或(
1)
(1,)
(1)
2X
sinx
C.ln(1X)D
(三)解答题
1.计算极限
Xm1
x23x2
x21
cosx
原式lim(X1)(X2)
x1(x1)(x1)
lim
X1
2.下列极限计算正确的是(B)
A.lim—1
x0x
(2)
2
x5x61
lim厂
x2x6x82
匹(x2)
limsin(x2)
x2x2
原式=||m(x-2)(x-3)
x2(x-2)(x-4)
x
lim
x2x
•1」
0
xsinb,
x
x
a,
x
0,
sinx
x
0
x
2.设函数f(x)
问:
(1)当a,b为何值时,f(x)在x0
(3)
lim1x1
处有极限存在?
原式=lim
x0
(1x1)(1xx(Jx1)
1)
=lxm0
(4)
lim
2
x
2
3x
51
x
3x
2x
43
1
3
5
原式:
x
2
x=
:
1
3
3
x
4
2
x
3
sin3x3
(2)当a,b为何值时,f(x)在x0处连续.
解:
(1)limf(x)b,limf(x)1
x0x0
当
ab1时,有f(0)1
(2).
当ab1时,有IJmf(x)f(0)1
函数f(x)在x=0处连续.
3.计算下列函数的导数或微分:
(1)
2xlog2x22,求y
(5)lim
x0sin5x5
sin3x
原式=3lim=-
5x0sin5x5
5x
答案:
y2x2xln2—
xln2
(2)
(①代器4
a(cx
原式=102
x2
sin(x2)
(3)
axcxd
d)c(axb)(cxd)2
adbc
(cxd)2
答案:
y
2(3x
5)
(4)
xex,求y
x,1x
(1
(5)
dy
(6)
(7)
(e
X、1
xeF
xx
exe
eaxsinbx,求dy
1
、1x2
(10)
cot!
2x
(eax)(sinbxeax(sinbx)
axaesinbx
eax(sinbx
eax(asinbx
1
yex
beaxcosbx
bcosbx)
bcosbx)dx
求dy
cos1
y2x
4.下列各方程中
二dy
ycosxe
ysinx(x)
dy
(8)y
sin
答案:
(9)y
ln(x
1!
2ex
x
2ex)dx
x
x2
求dy
(x2)
sinx
2xex2
sinx
(「2;
xSinnx,
n1
nsinx
■1x2),
2
2xex)dx
cosxncosnx
yx—卜x2「(x1x2)
x1
2x
1x2
3x2
2x
求y
.x
5
案
1
(X至
1
x"
、•2)
1n-
1
1
1
1
ln2(cos-)
x
1cos_
2xln2
6、x5
x2'\x3
...1x2x
y是x的隐函数,试求
y或dy
(1)方程两边对x求导:
2x2yyyxy30
(2yx)yy2x3因•此dy-2x3dx
2yx
(2)方程两边对x求导:
cos(xy)(1y)exy(yxy)4
[cos(xy)xexy]y4cos(xy)yexy
因此y4COSdJ)雋
cos(xy)xexy
5.求下列函数的二阶导数:
(1)yln(1x2),求y
答案:
(1)y2
1x
y
2(1x2)2x2x
22x2
(1x2)2
(1x2)2
(2)y
121
(x2x2)丄
2
31f
x2x2
2
y
3213
x2x2
44
y
(1)
311
44
作业
(二)
(一)填空题
1.若
f(x)dx2x2x
c,则
f(x)
.答案:
2xln22
2.(sinx)dx
.答案:
sinxc
3.若
f(x)dxF(x)c,则
2
xf(1x)dx
.答案:
12
-F(1x)c
2
4.设函数—1n(1x2)dxdx1
答案:
0
的原函数.
122
A.-cosxB.2cosx
2
C.-2cosx2D.-1cosx2
2
2.下列等式成立的是(C).
A.sinxdxd(cosx)
B.Inxdxd(—)x
C.2xdx1d(2x)
In2
D.
-^dxd丘
x
3.
下列不定积分中,
常见分部积分法
计算的是(C).
A.
cos(2x1)dx,
B.x1x2dx
C.
xsin2xdxD.
笃dx
1x2
4.
下列定积分
计算正确的是
(D).
A1
A.2xdx2
1
16
B.dx15
1
C.(x2x3)dx0
D.sinxdx0
5.
若P(x)
01dt
则
x-1t2
P
(x).
答案:
一
1_
V1
*2
(
二)单项选择题
1.
下列函数中,(
D)
是xsinx2
5.下列无穷积分中收敛的是
(B).
A.1dx
1x
B.
1x2dx
C.exdxD.
sinxdx
0
1
(三)解答题
1.计算下列不定积分
(+)0
(1)
3x
(-)xdx
•••原式=2xcos|4嗚
(8)ln(x1)dx
(?
)
e
ln3
e
3x
ex(ln31)
(-)
答案:
t(+)
x1
(2)(1x)2dx答案:
Jx
13
=(x22、xx2)dx
c14325
=2x2x2x2c
35
二原式=xln(x
1)X
—dx
1
xln(x
1)(1
xln(x1)
ln(x
1)
2
(3)T^dx答案
2.计算下列定积分
=(x2)dx1x22xc
(1)
1xdx
(4)
2xdx
1d(12x)
1ln
1
1(1
x)dx
2
1(X
1)dx
212x
12x
(5)x.2x2dx答案
=12x2d(2x2)=1(2
23
(6)sinxdx答案
=2sin•xdx2cosxc (7)xsin—dx 2 答案: T(+) .x sin 2 2cos- 2 1 (1x x)2 (2) (3) e3 1 e; 2dx x )d-= x 1 ex 1 e2 dx x、1lnx 1x、1lnx d(1lnx)=2』1lnx (4)^xcos2xdx 0 (-)1 (+)0 4 •••原式=(2xsin2x -cos2x)02 4 e (5)xlnxdx 1 答案: •「(+) Inx (-) 原式=1x21nx 2 -exdx 21 ( 一)填 空题 1 04 5 1. 设矩阵 A3 23 2, 则A的元 2 16 1 素 a23 .答案: 3 2. 设A,B均为3 阶矩阵, 且A lB3, 则 2ABt = .答案: 72 3. 设A, B均为 n阶矩阵, 则等式 (A B)2 2 A2AB B2成立的充分必要条 件; 曰, 答案: A BBA 4. 设A,B均为n 阶矩阵 (I B)可逆, 则 矩 阵 ABX X 的解 X .答案: (I B)1A 1 00 5. 设 矩阵 A0 20 则 003 e212 x 24 1(e21) 4 4 (6)0(1xex)dx 答案: •••原式=4 4xexdx 0 又T(+)x ex (-)1 (+)0 4 xe 0 dx x (xee )4 5e41 故: 原式=5 5e4 100 A1.答案: A0丄0 2100 3 (二)单项选择题 1.以下结论或等式正确的是(C). A.若代B均为零矩阵,则有AB B.若ABAC,且AO,贝SBC C.对角矩阵是对称矩阵 D.若AO,BO,贝卩ABO 作业三 2.设A为34矩阵,B为52矩阵,且 乘积矩阵acbt有意义,则CT为(A) 三、解答题 矩阵. D. (2) .立 (AB) 19 12 4 B. 5. 1.计算 A.0B.1C.2D.3 12 3 123 B 11 2 0-1-1 0 01 1 011 因此|AB A|E 320 0 12 4 4.设矩阵 A 2 1,确定的值, 11 0 使r(A)最小。 1 2 4 ②① (2) 1 2 4 A 2 1 ③① (1) 0 4 7 (②,③ 1 1 0 0 1 4 1 7 420 0 9 521 0 0 000 0 0 000 因此秩 r(A)=2。 6. 求下列矩阵的逆矩阵 : 13 2 (1) A30 1 11 1 答 案 解 : 1 2 4 0 1 1432 10 0②①3 132 AI 4 3701 01 0③① (1) 097 111 00 1 04 ③②(4) 0 因此当9时, 4 2 5.求矩阵A51 4 答案 25321 58543 A 17420 41123 094 秩r(A)最小为2。 5 3 2 1 8 5 4 3 3的秩。 7 4 2 0 1 1 2 3 : 解: 17420 58543 25321 41123 1 X7X7X7VA 524 1 7 4 2 0 1 7 4 2 0 0 27 15 6 3 (②,③) 0 9 5 2 (2) 0 9 5 2 1 0 27 15 6 3 0 27 15 6 3 0 27 15 6 27-93 oO1 01-90 1-31 134-9 121-3 O01-9 O1O 1oO O 379 134 123 136 42 21 34 9 123oO1 O1O 1oO 13 6 31 0 0 1 AI 4 2 10 1 0 ①③ 74 2 1 10 0 1 2 ②① 4 1 1 4 1 0 7 ③①( 2) 0 2 15 4 1 28 ②③ 0 1 7 2 0 13 ①②( 1) 1 0 4 1 1 8 ①③4 ③② 0 1 8 2 1 15 ②③(8) 0 0 1 0 1 2 1 30 因此A 1 2 71 。 0 12 14 证1明0 : 7T AB1 B1A,AB2 B2A 21 01 0 11 0二0 1 A(B1 B2) AB1 AB2 B1AB2A (B1B2)A 11 4 10 7 01 8 21 15 01 7 20 13 1A(B01 B20)A1 B1B32 B01AB 2B1B2A( B1B2)A 01 00 0即2 10 7 B11 1 B22, B1B2也与A 可交换。 2. 试证: 对于任意 方阵A, AAT, AAT ATA是对称矩阵。 证 明 : ・・ 7.设矩阵A1325,B1232,求解矩 (AAT)TAT(AT)TATAAAT (AAT)T(AT)T(A)TAAT 阵方程XAB. 答案: XBA AI 1210 ②①(3) 12 3501 01 ①② (2)1052 0131 152 A1 31 XBA1125210 233111 四、证明题 1.试证: 若Bi,B2都与A可交换 BiB2,B1B2也与A可交换。 (ATA)T(A)T(AT)TATA 二aA,aA,Aa是对称矩 10阵②。 (1)1210 310131 3.设A,B均为n阶对称矩阵,则AB对称 的充分必要条件是: ABBA。 证明: 充分性 TATA,BTB,(AB)TAB /.AB(AB)tbtatba 必要性 TATA,BTB,ABBA 则 二(AB)t(BA)tatbtab 即AB为对称矩阵 4.设A为n阶对称矩阵,B为n阶可逆矩阵,且B1Bt,证明B1AB是对称矩阵。 证明: TAtA,B1Bt (B1AB)TBTAT(B1)TB1A(BT)1B1A(B1) 即B1AB是对称矩阵。 作业(四) (一)填空题 1.函数f(x)x 1在区间 内 是单调减少的. x 答案: ( 1,0) (0,1) 2.函数y3(x 1)2的驻点是 极值点是, 它是极 值点. 答案: x1,x1,小 3.设某商品的需求函数为 p q(p)肿, 则需求弹性Ep 答案: 2p 111 4.行列式D 111 111 答案: 4 5.设线性方程组AXb,且 1116 A0132,贝卩t时, 00t10 方程组有唯一解.答案: 1 (二)单项选择题 1. 下列函数在指疋区间 (, )上单调 1增加的是(B). A.sinx B.ex C. x2D.3- x 2. 已知需求函数q(p) 100 20.4p当 p 10时,需求弹性为(C) A. 424pln2B.4ln2 C.-4ln2 D. -424pln2 3. 下列积分计算正确的是 ( A). A. 1e: xx —dx0 1 2 B. dxx 1ee0 dx0 12 C. 1 xsinxdx0 -1 D. ;(x2x3)dx0 4. 设线性方程组AmnX b有无穷多解 的充分必要条件是(D) A .r(A)r(A)m B .r(A)n C. mnD.r(A)r(A)n X1 X2 a1 5. 设线性方程组X2 X3 a2,则 方程组有解的充分必要条件是 2 eln(x1)(eln( 2 1)(x1)3dxC)(x1)2((x1)2(x a3 B. (x 1)2((x 1)dxC)(x1)2(-1x2 xC) a3 (2) 2xsin2x D. 三、 解答题 1.求解下列可分离变量的微分方程 (1)yexy 答案: 原方程变形为 巴edx 答案: 分离变量得: e ydyexdx 两边积分得: eyd(y) exdx 原方程的通解为: 1dx1dx* (e2xsin2xdxC)e( 3.求解下列微分方程的初值问题 (1)ye2xy,y(°)° 答案: 原方程变形为: 黑严 分离变量得: eydye2xdx ex2xsin2xdx 原方程的通解为: 两边积分得: eydye2xdx (2)dyxexdx3y2 原方程的通解为: ey」e2x 2 将x°,y°代入上式得: 答案: 分离变量得: 3y2dy xexdx 则原方程的特解为: ey 两边积分得: 3y2dy xexdx C」 2 1 2 原方程的通解为: y3xex ⑵xyyex°,y (1)° ex 2.求解下列一阶线性微分方程 答案: 原方程变形为: (1) y-^y(x1)3 x1 原方程的通解为: 答案: 原方程的通解为: —dx—dx ex1(ex1(x1)3dx C) —d(x1)ex1 -dx丄dxex yex(ex—dx 2x ~7d(x1)3 (ex1(x1)3dxC) 1 丄(exC) x C) Ine 1(eln x edxC) 将x1,y0代入上式得: Ce则原方程的特解为: y丄(exe) x 4.求解下列线性方程组的一般解: X1 2x3x40 (1) X1 X2 3x32x40 2x1 X2 5x33x40 答案 : 原方 程的 勺系数矩阵变形过程为: 10 2 1②①102 A 11 3 .2③① (2)011 21 5 3011 由于秩(A)=2 416 XiX3X4 555(其中X3,X4为自由未 X25孰扌 知量)。 5•当 为何值时, 线性方程组 1 102 1 1③1② X205瑯4X4 12 12X1 X203X30X4 01 3X1 2X22X33X4 3 由于秩(A)=2 X12X3X4(其中X3,X4为自由未知 X2X3X4 7Xi5x29x3IOX4 有解,并求一般解。 答案: 原方程的增广矩阵变形过程为 1 1 5 4 2 ②① (2) 1 1 5 4 A 2 1 3 1 1 ③ ④ ① ① (3) (7) 0 1 13 C 3 2 2 3 3 0 1 13 C 261 2x1 X2 X3 X41 (2) X1 2x2 X3 4x42
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