眼病床位安排模型.docx
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眼病床位安排模型
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
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东南大学
参赛队员(打印并签名):
1.孙元61008317
2.于冰61008322
3.陈魁东61008327
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2010年7月11日
16眼科病床的合理安排模型
摘要
本文首先对三个影响模型合理性的因素建立层次模型,进行加权求和,构建一个合理的评价指标体系,并对医院的“FCFS”病床安排做出综合评价。
而后人为的对每天各类病人的入院顺序进行修改设置优先级,得出权值矩阵,建立优先级模型。
在此基础上进行计算机模拟,得出仿真的病人入院安排,并用评价指标g值进行评价。
当周六周日不安排手术时,我们通过修改优先级来处理这种情况,然后再次用计算机模拟得出结果。
最后利用排队论和整数规划建立最优比例分配模型。
对于问题一,我们用病床周转率、病人平均等待入院时间、平均住院治疗时间三个因素建立层次模型,计算出对应的权值,再加权求和来构建评价指标g,得到表达式后我们对FCFS病床安排标准评价得g=0.0841。
对于问题二,我们分析手术安排时间后调整每天入院病人的顺序设置优先级入院,并得出权值矩阵,建立优先级模型。
利用该模型进行计算机模拟结果如表8。
同时对此模型进行评价得g=0.1309。
g值增大,说明模型确实有优化功能。
对于问题三,已知每天前来就诊各类眼病的人数服从泊松分布,康复时间服从正态分布,我们仍然采用计算机模拟。
对等待入院病人的入住时间进行预测,给出置信度为90%的入住时间区间,具体结果见模型三。
对于问题四,若周六周日不安排手术,则要求另外五天收治更多的病人,所以我们适当调整优先级,得出新的权值矩阵,进行计算机模拟得出结果如表14。
同时利用评价指标算得g=0.1116。
说明此时模型不如问题二中的优先级模型,这很明显,有两天不安排手术模型指标当然变差。
医院的手术时间安排分析,我们充分利用等待手术时间严格等于术前准备时间这个假设要求,进一步分析求出在此情况下,手术时间需要调整,白内障手术时间调整为每周二和每周四。
对于问题五,我们运用了排队论思想,并保证每张病床时刻都有人使用,要求病人正要住院的同时恰好有病人康复出院,我们建立了整数规划模型,在确定目标函数和约束条件时应用了排队论中M/M/C模型的相关原理,求解出最佳分配结果如下:
眼病类型
白内障单眼
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
外伤
分配病床数
8
20
10
34
7
此时所有病人在系统内的最短平均逗留时间约为9.41天。
关键词:
加权求和优先级计算机模拟模型扩展
问题重述
医院眼科手术主要分四大类:
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单,而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术,此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些,大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只,周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂,有各种不同情况,但大致住院以后2-3天内就可以接受手术,主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排,一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
问题一:
试分析确定合理的评价指标体系,用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二:
试就该住院部当前的情况,建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系做出评价。
问题三:
作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四:
若该住院部周六、周日不安排手术,请你们重新回答问题二,医院的手术时间安排是否应做出相应调整?
问题五:
有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,试就此方案,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。
问题分析
首先对三个影响模型合理性的因素进行加权求和,构建一个合理的评价指标体系,并对医院的“FCFS”病床安排做出综合评价。
而后人为的对每天各类病人的入院顺序进行修改设置优先级,得出权值矩阵,建立优先级模型。
并用评价指标g值并以此为基础进行计算机模拟,得出仿真的病人入院安排,当周六周日不安排手术时,我们通过修改优先级来处理这种情况,然后再次用计算机模拟得出结果。
最后利用排队论和整数规划建立最优比例分配模型。
模型建立、求解与分析
1.1模型一:
评价指标体系模型
患者排队候诊是典型的排队论问题,我们根据排队论模型的特点结合实际看病就医情况给出一个总体评价指标体系模型,队当前医院的病床安排以及我们后面给出的病床合理安排模型进行评价。
1.1.1模型假设
(1)白内障手术必须在周一、三做,双眼白内障周一做一只,周三做一只。
(2)白内障手术不能够和其他的眼科手术(急症除外)安排在一天。
(3)无论何时,在有外伤时必须最优先考虑,使得其在门诊第二天即入院。
(4)除外伤之外的眼病不考虑急诊情况。
1.1.2符号说明
符号
符号意义
病床周转率
等待住院患者队长
病床总数
病人入院等待时间
病人入院治疗时间
第i天入住病人人数
第i天出院病人人数
第i天门诊病人人数
病人总数
第j个病人门诊时间
第j个病人入院时间
第j个病人手术时间
第j个病人出院时间
综合评价指标
1.1.3模型建立
利用层次分析法(AHP),我们针对所给数据分析选定以下几个因素进行考虑:
·病床周转率
病床周转率是反映医院工作效率指标之一。
每天均会有病人出院,不同时间出院人数不同,病床周转率即为平均每张床在一定时期内周转的次数,说明在一定时期内,平均每一张病床收治了多少病人。
这里我们用m天内收治的病人数与病床总数天数比作为周转率的定义,如下:
(1)
当
越大,表示在相同天数内收治的病人越多,病床周转次数越大,病床的利用率越高,患者满意度也越高,说明病床安排越合理。
故此指标为正向指标。
·平均等待住院时间
一般情况下,病人门诊后并不能马上住院,需按照医院病床安排原则等待住院,这就需要一定的等待时间。
我们可以将此等待时间的长短视作医院工作效率的指标之一,可以纳入病床安排模型的评价指标,并作如下定义:
当
越大,表示病人平均等待时间越长,病人满意度也就越低,医院工作效率也就越低,模型就越不合理,且存在着由于等待时间过长病人自动退出等待队列的可能性。
所以这是一负向指标。
·平均住院治疗时间
医院安排病人住院后一般并不立即手术,通常情况下需要分为两个阶段:
术前准备阶段和术后恢复阶段。
由于病人一旦住院就要支付住院费用,所以住院时间的长短与等待住院时间对病人的影响是不同的,此指标的权重应大于等待时间权重。
所以平均住院治疗时间定义为:
一般情况下,术后的恢复时间长短视病人的身体条件而定,人为影响
大小的主要因素为等待手术的时间。
当
越大,表示病人住院治疗时间越长,病人所需花费的费用就越高,模型安排显得不够合理。
所以这也是一负向指标。
得出三个评价指标后,我们利用层次分析法(AHP)分析计算各个指标的权重。
建立层次结构模型
根据以上的评价指标构造层次结构,形成目标层A、准则层B和方案层C,如下图:
综合评价
A
平均住院治疗时间B3
平均等待住院时间B2
病床周转率B1
方案
B2
图1
构造成对比较矩阵:
用成对比较法和1-9比较尺度构造第二层的3×3成对比较矩阵。
将三个影响因素两两对比,采用相对尺度确定各个因素的重要性。
取每两个因素
和
之比如下表:
A
B1
B2
B3
B1
1
4
3
B2
0.25
1
0.5
B3
0.33
2
1
表1三个指标的对比矩阵表
则成对比较矩阵为
。
使用一致性检验对这个成对比较矩阵进行检验。
定义一致性指标
和一致性比率
:
(5)
(6)
由matlab编程计算可得权向量
,一致性指标
。
再成对比较矩阵为3阶,取
可得:
,说明A的不一致程度在容许范围内,其权值向量可用。
因为B2、B3为负指标所以他们对应的权值为因该取负值。
对于
、
、
三个影响因素,综合评价指标可表示为:
其中
;
;g值越大说明模型越合理。
分别计算各指标得r=0.09974
T1=12.5271/T1=0.079828
T2=221/T2=0.045455
现有病床安排标准(FCFS)的评价指标
病床周转率
平均等待时间
平均住院时间
0.09974
12.527
22
0.079828
0.045455
0.0841
表2
1.2模型二:
优先级模型
由于现行的先到先服务标准(FCFS)会导致部分先入院的患者等待手术时间太长,同时部分可以立即入院手术的患者等待住院的时间太长。
可见现行的病床分配标准虽然在公平性上得到了保证,但却浪费了患者的时间。
基于充分利用医院资源的思想,我们提出了按优先级入院的病床安排标准。
1.2.1模型假设
(1)白内障手术必须在周一、三做,双眼白内障周一做一只,周三做一只。
(2)白内障手术不能够和其他的眼科手术(急症除外)安排在一天。
(3)无论何时,在有外伤时必须最优先考虑,使得其在门诊第二天即入院。
(4)除外伤之外的眼病不考虑急诊情况。
(5)各类眼病患者按优先等级入院,相同等级的患者按照先到先住院的原则。
1.2.2符号说明
符号
符号意义
每星期第k天的第i类病人入住人数
M
第二天的出院人数
每星期第k天的第i类病人入住权值
1.2.3模型建立
由于每周一和周三才进行白内障的手术(不进行其它眼病的手术),各种眼病类型的优先级并不是一层不变的。
比如说,在周六周日白内障患者的优先级就会比较高,因为此时入院经过一两天的术前准备恰好可以在周一进行手术,而如果一味的追求公平性按照FCFS标准让其它眼病病人入院,他们的等待手术的时间也会因为周一不进行其他眼病手术而延长。
这也说明了优先级模型的合理性。
我们结合以给数据建立模型确定各类眼病一周内每天的优先级别。
首先为了方便列写表达式,我们对各类眼病类型做如下代码表示:
眼病类型
外伤
白内障单眼
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
类型编号
1
2
3
4
5
表3
各类眼病的术前准备时间:
眼病类型
1
2
3
4
5
术前准备时间(天)
1
1-2
1-2
2-3
2-3
表4
医院每天手术治疗安排表:
星期
一
二
三
四
五
六
日
手术
类型
1、2、3
1、4、5
1、2、3
1、4、5
1、4、5
1、4、5
1、4、5
表5
由上表可知,白内障双眼患者在周六周日入院;单眼患者在周六周日或者周一周二入院最为理想;外伤属急诊,可以立即入院治疗;青光眼和视网膜疾病在周一至周五都可以优先住院。
这样我们得出每天各类病患的住院优先级别(级别越高,对应的值越小):
一
二
三
四
五
六
日
NO.1
1
1
1
1
1
1
1
NO.2
2
2
4
4
4
3
3
NO.3
4
4
5
5
5
2
2
NO.4
5
5
2
2
3
4
4
NO.5
3
3
3
3
2
5
5
表6
由于外伤病人第二天全部住院,现仅就第白内障单眼、白内障双眼、青光眼和视网膜疾病患者的住院安排进行分析。
对这些病人住院优先级表进行权值分配,可得出如下表的住院权值安排表,其中外伤病人的权值唯一,说明外伤病人第二天全部安排住院,其他的权值则表示对应病人安排住院的比例。
一
二
三
四
五
六
日
NO.1
1
1
1
1
1
1
1
NO.2
0.3924
0.3924
0.2434
0.2434
0.2434
0.2573
0.2573
NO.3
0.1944
0.1944
0.1958
0.1958
0.1958
0.3859
0.3859
NO.4
0.2620
0.2620
0.2999
0.2999
0.2999
0.2187
0.2187
NO.5
0.1512
0.1512
0.2610
0.2610
0.2610
0.1381
0.1381
表7
权值矩阵矩阵:
设第二天的出院人数为M,对于外伤的病人第二天应全部安排住院,而其他病型的患者可以根据得出的权值矩阵,对剩余床数按比例分配。
记每周的第k天的第i类病人入住人数
,则
可表示为:
。
如果
之和不为M,则可以对权值较大的病型病人多安排住院。
通过蒙特卡罗计算机仿真仿真,可以得到新的病人安排信息。
下表列出了仿真的部分安排信息:
序号
类型
门诊时间
入院时间
第一次手术时间
第二次手术时间
出院时间
………………………………
35
白内障
2008-7-17
2008-7-26
2008-7-28
/
2008-8-1
36
视网膜疾病
2008-7-17
2008-7-26
2008-7-27
/
2008-8-4
37
视网膜疾病
2008-7-17
2008-7-26
2008-7-27
/
2008-8-6
38
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-26
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-3
39
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-27
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-2
40
外伤
2008-7-17
2008-7-18
2008-7-19
/
2008-7-28
41
青光眼
2008-7-17
2008-7-26
2008-7-27
/
2008-8-3
42
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-27
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-1
43
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-27
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-2
44
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-27
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-2
45
白内障(双眼)
2008-7-17
2008-7-27
2008-7-28
2008-7-30
2008-8-1
46
视网膜疾病
2008-7-18
2008-7-29
2008-7-30
/
2008-8-5
………………………………
表8
再重新计算各指标得r=0.15271
T1=8.8711/T1=0.1127
T2=19.2541/T2=0.0519
使用模型一求解的评价指标体系
重新进行评价可得:
病床周转率
平均等待时间
平均住院时间
0.15271
8.871
19.254
0.1127
0.0519
0.1309
表9
显然该优先级模型相对于先到先服务(FCFS)模型的病床周转率、平均等待时间倒数
、平均住院时间倒数
等指标都有了改进,总体评价指标g由原来的0.0841改进为0.1309,有很大的提高,说明此模型较好。
1.2.4模型评价:
模型优点:
从结果可以看出,根据已设定的三个指标,综合评价得优先级模型明显优于“先到先服务”的现行病床安排标准。
主要原因是我们的模型通过合理化的设置优先级,得出优先权值,总结为在一天中按照权值最高的优先入院,后面依次,直至没有空床或者没有病人等待住院为止。
该模型能够缩短病人的住院等待手术的时间,提高病床周转率,这样不但提高了医院的工作效率,还降低了病人的医疗费用。
模型不足:
由于我们设置了入院优先级,所以势必会导致一部分后到的患者会在先到的病患前入院,这样显得不够公平,但提高了工作效率也降低了治疗费用。
1.3模型三
该模型主要通过对即将出院人数和将要住院的病患的优先级分析得出病人何时可以入院接受治疗。
1.3.1模型分析
分析问题可知,影响病人入院时间的因素主要有三点:
a)门诊当天,正在医院接受治疗的病人还有几天可以出院
b)在该病人之前等待住院的人数
c)从门诊当天起往后一段时间内的外伤人数
根据我们的优先级模型可以发现,病人在入院后术前准备时间几乎固定(外伤翌日手术,白内障1-2天;其他2-3天),唯一不同的就是术后康复时间。
分析统计发现,每种眼病的恢复时间在一个区间内变化,进而影响病人的出院时间和排在其后的病人的入院时间。
故可根据在排在其前的病人的恢复时间的变化进而确定此病人的大概入住时间。
1.3.2模型建立
我们通过对已经出院的病人的康复时间进行统计处理,发现病人的康复时间呈现正态分布,以视网膜疾病为例,我们得出已经出院病人的康复时间分布图如下:
图2
利用matlab软件模拟得:
图3
取置信度
时,我们得
置信区间为[9.708,10.6286]。
同理我们对白内障患者(单眼和双眼)、青光眼患者、外伤患者都进行类似数据处理得出相同置信度下的置信区间分别为:
(置信度
)
眼病类型
白内障单眼
白内障双眼
青光眼
视网膜疾病
外伤
置信区间
[2.7421,3.0635]
[4.8349,5.0919]
[7.5742,8.5797]
[9.708,10.6286]
[5.5194,6.5534]
取值
3
5
8
10
6
表10
设当前时间为
,当前排队人数为P,
为第
(=2,3,4,5)类病人住院等待时间,
为第
(=2,3,4,5)类病人平均住院时间,由上表数据和各类病人术前准备时间可得:
,
,
,
,
。
则:
即各类病人平均住院等待时间平均为
天。
为了更有把握地告知问诊病人的住院等待时间,我们将给出等待时间区间,并说明其置信度。
设
为由已知数据给出的第
(=2,3,4,5)类病人实际住院等待时间,
为预测住院等待时间与实际时间之差。
通过计算机仿真出
的值,可得
的置信度为90%的置信区间为[
]。
那么,我们就可以确定第
类病人住院等待时间置信度为90%的置信区间为:
[
]。
1.3.3模型评价
模型优点:
通过对以给数据统计分析,将各类病人的术后康复时间近似认为服从正态分布,进而给出他们准确的住院时间。
我们通过计算机仿真
的值,从而可以得出一个置信区间,这样可以更为准确地告知问诊病人的等待时间。
模型缺点:
没有对外伤患者的住院时间进行考虑,使得预测出的病人等待时间总体来看变长。
因此,我们还需要对预测时间加以适当的补偿。
1.4模型四
1.4.1模型假设
(1)白内障手术必须在周一、三做,双眼白内障周一做一只,周三做一只。
(2)白内障手术不能够和其他的眼科手术(急症除外)安排在一天。
(3)无论何时,在有外伤时必须最优先考虑,使得其在门诊第二天即入院。
(4)除外伤之外的眼病不考虑急诊情况。
(5)各类眼病患者按优先等级入院,相同等级的患者按照先到先住院的原则。
(6)周六、周日只安排外伤急诊手术,不安排其他手术。
1.4.2模型分析
因为周六、周日除急诊外不安排手术,所以做青光眼和视网膜疾病的手术就少了两天,这样就必须在周二、周四、周五中安排更多的青光眼和视网膜疾病手术。
另外,由已给数据统计得:
眼病类型
白内障(单眼和双眼)
青光眼和视网膜疾病
外伤
人次
233
233
64
表11
由上表可知:
白内障患者(单眼和双眼)与青光眼和视网膜疾病患者总和之比为1∶1;可以推知,平时前来治疗这两大类的病人数大致相等,所以医院针对这两大类手术的时间安排也应尽可能相等。
由于本模型中只有五天安排这两大类手术,安排两天治疗白内障手术,三天治疗青光眼和视网膜疾病手术是合理的,最后问题的关键就是需要确定是哪两天,为了方便双眼白内障患者手术,一般所安排的白内障手术时间相隔一天,这样就有三种安排方式:
周一和周三;周二和周四;周三和周五。
我们需要通过比较分析选出最佳的手术时间安排。
1.4.3模型建立
这样这两种眼病患者周一至周三的入院优先级就要提高。
更改后的优先级为:
一
二
三
四
五
六
日
NO.1
1
1
1
1
1
1
1
NO.2
2
4
4
4
4
3
3
NO.3
4
5
5
5
5
4
4
NO.4
5
2
2
2
3
5
5
NO.5
3
3
3
3
2
2
2
表12
同模型二中的方法一样,可再对这些病人住院优先级表进行权值分配,得到如下表的住院权值安排表。
其中外伤病人的权值唯一,说明外伤病人第二天全部安排住院,其他的权值则表示对应病人安排住院的比例。
一
二
三
四
五
六
日
NO.1
1
1
1
1
1
1
1
NO.2
0.3924
0.1866
0.2434
0.2434
0.2434
0.2566
0.2566
NO.3
0.1944
0.1819
0.1958
0.1958
0.1958
0.1827
0.1827
NO.4
0.2620
0.3813
0.2999
0.2999
0.2999
0.1563
0.1563
NO.5
0.1512
0.2502
0.2610
0.2610
0.2610
0.4044
0.4044
表13
对应的权值矩阵矩阵:
设第二天的出院人数为M,对于外伤的病人第二天应全部安排住院,而其他病型
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