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肿瘤的诊断模型
肿瘤的诊断模型
【摘要】
针对本题的实际,研究肿瘤的分类问题,通过对500个已知肿瘤性
质(良性或恶性)细胞核的显微图像的30个量化特征进行分析,我们选择利用Fisher判别法和建立了Fisher判别模型,给出了判别函数和判别准则,并运用了R型聚类分析对变量进行了合理的分类缩减,得到了结果如下
1、对未知的69个病例进行了判别,检测出了18个恶性肿瘤,51个良性肿瘤;
2、对10个特征变量进行了缩减得到细胞核周长,紧密度,质地,光滑度,对称度,断裂度这6个特征变量的平均值,使得检测结果不仅效果明显,而且大大的节省了费用。
【关键字】:
肿瘤Fisher判别R型聚类分析分类缩减
1.问题的重述
肿瘤通过穿刺采样进行分析可以确定其为良性(benign)的或为恶性(malignant)的。
附图分别给出了从患者病灶组织穿刺得到的病灶组织为良性和恶性的细胞核显微图像(见附录一)。
医学研究发现肿瘤病灶组织的细胞核显微图像的10个量化特征:
细胞核直径,质地,周长,面积,光滑度,紧密度,凹陷度,凹陷点数,对称度,断裂度与该肿瘤的性质有密切的关系。
现有数据来自已经确诊的500个病
例,每个病例的一组数据包括采样组织中各细胞核的这10个特征量的平均值,标准差和“最坏值”(各特征的三个最大数据的平均值)共30个数据.
(见文件cancerdata.txt中的前500组数据)。
本文需解决的问题有:
问题一:
试图根据已获得的实验数据建立起一种诊断肿瘤是良性还
是恶性的方法,并将你的方法用于另外69名已做穿刺采样分析的患者(文件cancerdata.txt中的最后69组数据)
问题二:
为节省费用,想发展一种只用此10个特征数据中的部分特征来区分肿瘤是良性还是恶性的方法,你是否可找到一个特征数少而区分又很好的方法?
2.模型的假设与符号说明
2.1模型的假设
假设1:
假设每个病例的30个数据能提供充分的分类信息。
假设2:
假设所给数据基本没有误差且真实可信的,各样本病例的诊
断结果完全正确。
2.2符号说明
Xi
指标因子(p=1,2,,,p)
X0
ij
A组因子数据(i=1,2,,,s)(j=1,2,,,p)
X1
八ij
B组因子数据(i=1,2,,,t)(j=1,2,,,p)
Ci
判别函数系数(i=1,2,,,p)
A
代表良性
B
代表恶性
W
组A的数据矩阵
W1
-0
Xj
组B的数据矩阵
组A列平均数
-1
Xj
组B列平均数
目A
组A的代表的判别值
yB
组B的代表的判别值
3•问题的分析
此题研究的是医学上判别肿瘤的性质问题,题目中通过给出已经确诊的500个病例的结果数据,给出了相关的30个判别数据指标,我们取其中的第一组数据作为分析的样本。
针对问题一:
需要我们寻找一种或多种判别方法去判别另外69名已
做穿刺采样分析的患者肿瘤性质。
我们在此选择了Fisher判别法来判别,Fisher判别的基本思想是投影,将k组p维数据投影到某一个方向,使得它们的投影组与组之间尽可能地分开,而各组内的距离尽可能缩小。
同时我们研究了Fisher判别函数和判别准则,而我们在解决这个问题上是把500个病例当成训练集,构造判别函数,得出判别准则,最后利用该函数对未知的69个病例肿瘤性质作出预测。
针于问题二:
以上我们研究了Fisher判别函数和判别准则,在临床上只要能够观测出病人的30个变量的值,我们就可以根据上面的方法判别病人肿瘤是良性还是恶性的,但是我们在实际操作中得到个变量的值是一件很繁琐的和复杂的事,而且所花费用大,现在我们考虑到这30个变
量之间具有一定的相关性,在这里我们采用R型聚类分析的方法将多个变量指标进行分类缩减,从而能够把两个或多个相关性较强的变量看作一个变量来处理以减少工作强度,最后利用缩减后的变量,再次采用Fisher
判别法,构造最优判别函数,使得该判别方法的实用性和可操作性更强。
4.问题一的解答
针对问题一我们建立了模型一。
4.1模型一的建立
4.1.1确定判别函数
根据问题一的分析我们运用flisher判别法我们判别另外69名已做穿刺采样分析的患者的肿瘤性质。
首先我们把良性的和恶性的分成两组,A代表良性,B代表恶性,设预测因子有p个指标,即Xi,X2,,,Xp,有n组观察或调查得到的数据,判
别分析就是要根据这些数据,确定判别函数:
y=c/i+C2X2+,+CpXp,并
找出临界值y。
n=s
对于p个判别指标,假设组A有s组数据,组B有t组数据,
+t,那么把数据分组如下:
由判别函数我们可以列出组A的数值对应的判别值为;
000...0
y1C1X11C2X12CpX1p
000...0
y2C1X21C2X22CpX2p
0o丄o丄…丄0
ysCiXsiC2XS2CpXsp
组B的数值对应的判别值为:
1111y1=C1X11■C2X12■'CpX1p
111...1y2=GX21C2X22CpX2p
11丄1丄•…亠1
ys=GXt1C2Xt2CpXtp
并记
我们通过判别值y来进行判别,为使组A同组B之间有明显的区别,自然希望它们的代表值之间的差距越大越好。
即
(1)(y°-y1)2越大越好;
又y0,y0,,,yS同属于组A,y1,y2,,,y1同属于组B,我们就
希望它们的代表值之间的差距越小越好,即
(2)7(y0_y)2亠二(y:
_y)2越小越好。
i二i二
由
(1),
(2)就得到flisher提出的最优判别准则。
0
(y
则最优判别准则为函数:
T\2y)
L(c1,C2,,,c卩)=广(%0-y0)2—(y:
1-y1)2
i=1i=1
越大越好。
从而最优判别函数的系数C1,C2,,,cp为上述
函数的极大值点,由微分学可知,C1,C2,,,cp为函数
:
L(C1,C2/Cp)0
=0,i=1,2,p的解。
4.1.2具体计算步骤
(1)由上记组A的数据矩阵为
-X101
0…
X12
x0p1
0
0…
0
1x21
X22
X2p|
W
0=
1:
99
:
1
」0
0…
0
-Xs1
Xs2
x
八sp-
记组B的数据矩阵为
-
1
兄1
1
y'■■■
12
1
1
X;1
X1••
22
W1=
1
9
ia
-
1
Xt1
1
Y■・・
t2
1
Xtp
⑵算出各组数据的代表,即列平均数
(3)作新的矩阵A,B及两组的离差矩阵S1,S2
-
1
X01-
-0
X1
X102-
-0
X2
X0p-
-0
Xp
1
1
x;1-
_0
-X1
X;2-
-0
-X2
x2p-
-0
-Xp
A=
a
■
mi
1
-
X°1-
-0
-X1
X。
s2
-0
-X2
x°-sp
-0
Xp
则S1=AA,S2=BB,S=S1+S2
p为下述
(4)可以证明,最优判别函数系数C1,C2,,,c方程的解
cc
q
S=
-Cp
—0—1
X1-x1
(5)写出判别函数
y=6X1+C2X2+,+CpXp
(6)
算出组A,组B的代表的判别值
——o—0
yA=qx1c2X2
0
CpXp
一-1-1
yB二qx—c2X2
-1
CpXp,
tyB
st
作判别。
有一判别的对象若其数据为(X11,
s『a+
则临界值:
y°=
X12,
X1p)
则其判别值为y=c1X11+C2X12+,+CpX1p
判别该对象属于组B
2)当Yb'yo时,若y「y。
,判别该对象属于组B,若yy。
,判别该对象属于组A
4.2模型一的求解
由题可知p=30,n=500,s=305,t=195
且组A(良性)和组B(恶性)的数据矩阵分别为
135414.360.0728
130815.710.0746
W0=1
_12.4717.310.0766
0.6149-11.06670.0273
3.1949-3.6767-0.0026
B=
II
3.2149-0.2067-0.0016
记组A的离差矩阵为S;030,记组B的离差矩阵为S3。
30
则
-
1
1
903.1908
-21.9438
-21.9438
4135.0692
-2.0634
-0.3376
S0=
:
1
a
*a
:
1
3030
1
1
1
1
-
-2.0634
-0.3376
0.0544
-
1
1955.0168
264.9993
-5.1222
1
1
1
264.9993
2739.5711
-0.2282
S1=
3030
=1
1
aa
11
1
-
-5.1222
-0.2283
0.0898
S=S3030+S3030
r2858.2076
243.0555…
-7.1856
1
1
1
1
=|
243.0555
a
6874.6404…
99
-0.5658
a
1
1
1
1
-
-7.1856
-0.5658…
0.1441
1
一
所以
_0.6191
1
-0.0001…
0.24371
|-0.0001
0.0013…
0.0051
s」=
1:
99
:
1
.0.2437
0.0051…
108.6530一
-
1
—0
X1
—1
-X1
1
1
-
1
5.1654
1
1
1
1
—0
—1
1
1
1
1
3.8694
1
1
记D=
X2
-X2
1=
=
-
从而
1
1
1
1
一0
Xp
一1
一xP
1
_!
0.0128
1
-0.0083
0.0005
I-=S」D=-I
IIII
一C30_0.1394
则判别函数为y=-0.0083x,+0.0005x2+,+0.1394x30
(1)
且yA=0.0926,yB=0.1221
sya+tyB-
临界值y°=—门—=0.1041,因为yBy0,所以得最优模型为
(1)当目一牡,判别该对象属于组B,即属于恶性。
(2)当yy°,判别该对象属于组A,即属于良性。
4.3模型的检验:
根据上述函数和判别准则,对500个样本得到如下结果:
实际
预测
B
M
B
300
5
M
190
5
所以正确率为50^=98%
最后将未知的69组数据代入函数
(1)式,可判断69名已做穿刺
采样分析的患者的肿瘤性质如下表所示:
编号
判断结
果
编号
判断结
果
编号
判断结
果
‘914862
B
'917896'
B
922577'
B
‘91504'
M
'917897'
B
'922840'
B
'91505'
B
'91805'
B
'923169'
B
'915143'
M
'91813701'
B
'923465'
B
'915186'
B
'91813702'
B
'923748'
B
'915276'
B
'918192'
B
'923780'
B
'91544001'
B
'918465'
B
'924084'
B
'91544002'
B
'91858'
B
'924342'
B
'915452'
B
'91903901'
B
'924632'
B
'915460'
M
'91903902'
B
'924934'
B
'91550'
B
'91930402'
M
'924964'
B
'915664'
B
'919537'
B
'925236'
B
'915691'
M
'919555'
M
'925277'
B
'915940'
B
'91979701'
M
'925291'
B
'91594602'
B
'919812'
B
'925292'
B
'916221'
B
'921092'
B
'925311'
B
'916799'
M
'921362'
B
'925622'
M
'916838'
M
'921385'
B
'926125'
M
'917062'
B
'921386'
M
'926424'
M
'917080'
B
'921644'
M
'926682'
M
'917092'
B
'922296'
B
'926954'
M
'91762702'
M
'922297'
B
'927241'
M
'91789'
B
'922576'
B
'92751'
B
5.问题二的解答
针对问题二我们采用了R型聚类的方法。
5.1R型聚类
根据已确诊的500个病例的10个特征量的平均值,通过Matlab操作,
得到10个特征量的相关系数矩阵如下表(表1)所示:
孵姗入
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
VIL
VII
VI2
V3
.363
则8
.987
.138
.514
.667
.818
.146
-.298
V4
旅
1.000
.363
.356
.035
.269
肋
.327
-.055
V5
翱8
.368
tooo
.986
226
.567
708
847
他
V5
勉
.356
.986
tooo
19?
.505
.676
.817
.149
-.270
V?
188
035
.137
1.000
耶4
582
554
.566
V8
.269
.S39
tooo
側
840
600
.588
V9
.667
.321
.709
.6Z6
.554
刖4
1.000
.920
.505
.379
V10
818
32?
.817
582
.840
.920
1,000
467
VII
.095
他
.554
600
.467
tooo
』82
V12
■:
98
-.055
-.245
566
捕8
190
』82
1.000
表1近似矩阵
其中V3-V12分别代表10个量化特征的平均值并得到聚类分析树状图(图1)如下
便用平均联接(组间)的树状图
图1使用平均联接的树状图
通过对表1和图1的观察分析,我们得到R型聚类结果如下表:
类别
相关系数
R型聚类结果
1
0.986
直径,周长,面积的平均值
2
0.840
紧密度,凹陷度,凹陷点数的平均值
而质地,光滑度,对称度,断裂度之间的相关性并不明显,即可分别单独作为一类。
综上,我们可只用此30个特征数据中的部分特征,即细胞核周长,紧密度,质地,光滑度,对称度,断裂度这6个特征的平均
值来区分肿瘤是良性还是恶性。
6、结果分析
对于问题一我们利用Fisher判别法和建立了Fisher判别模型,给出了判别函数和判别准则,对未知的69个病例进行了判别分类,判别出有18个恶性肿瘤,51个良性肿瘤。
对于问题二我们运用了R型聚类分析对变量进行了合理的分类缩减,
对30个特征变量进行了缩减得到细胞核周长,紧密度,质地,光滑度,对称度,断裂度这6个特征变量,使得检测结果不仅效果明显,而且大大的节省了费用。
7.模型的评价、推广及改进
7.1模型的评价
以上我们运用费歇判别法成功的完成对69个未知病例肿瘤的判别问
题,从问题的解决情况可以看出费歇判别法对于两个总体的样本分类效果相当好,它采用投影法将k个p维变量投到一条直线上,这样做既克服了各个变量的相关性,又充分体现了简化运算的优越性.本文中给出的缩减变量的方法有一定新意,采用R型聚类分析的方法对每个变量的相关性进行了讨论,从我们的结果可以看出,我们的误判概率为2%•效果较好。
7.2模型的推广
费歇判别方法在研究运用已知样本对未知样本进行分类判别时具有很强地推广性,而R型聚类方法对多种变量的缩减问题时有很大地推广性
7.3模型的改进
该方法中我们取临界值为加权均值,但是在临界值的附近有很多样本点,这说明我们的判别法则有待改进.实际上我们可将临界值的样本点为待判,改为属于临界值的某个领域内为待判,这时的判别效率会大大地提高,但是临界值领域大小的确定和在这个领域内的样本的判别法则是本文更进一步研究的方向。
参考文献:
[1]费浦声,羿旭明,数学建模及其基础知识详解,出版地:
武汉大学出
版社,2006.5
[2]周静芋,宋世德,郭满才.常用Fisher判别准则的比较[J].西北农林
科技大学学报,2002,30(5):
120〜130
附录:
附录一:
附录二:
代码求解
%求和
sum1=1:
30;
fori=1:
30sum1(i)=sum(exing(:
i));
end
sum2=1:
30;
forj=1:
30sum2(j)=sum(lxing(:
j));
end
%求平均值
pingjun1=1:
30;pingjun仁sum1/195;
pingjun2=1:
30;pingjun2=sum2/305;
%减去平均数后的矩阵
fori=1:
30
forj=1:
195
jp1(j,i)=exing(j,i)-pingjun1(i);
end
end
fori=1:
30
forj=1:
305
jp2(j,i)=lxing(j,i)-pingjun2(i);
end
end
zz1=jp1'*jp1;
zz2=jp2'*jp2;
zz3=zz1+zz2;
zz4=inv(zz3);
jp3=pingjun1-pingjun2;
c1=zz4*jp3';%函数的系数
%权重
fori=1:
195
forj=1:
30
c2(i,j)=(exing(i,j)-min(exing(i,:
)))/max(exing(i,:
));end
end
fori=1:
195
forj=1:
30
c20(i,j)=((exing(i,j)-min(exing(i,:
)))/max(exing(i,:
)))A2;%end
end
fori=1:
305
forj=1:
30
c3(i,j)=(lxing(i,j)-min(lxing(i,:
)))/max(lxing(i,:
));
end
end
fori=1:
305
forj=1:
30
c30(i,j)=((lxing(i,j)-min(lxing(i,:
)))/max(lxing(i,:
)))A2;%值
end
end
权重的平方值
权重的平方
%求解贡献度
D=c1'*c20(1,:
)';
fori=1:
195
forj=1:
30gxd(i,j)=(c1(j)*sqrt(c20(i,j)))/D;end
end
p1=c1'*pingjun1';%
p2=c1'*pingjun2';%
ljz=(305*p2+195*p1)/500;%
组b的判别值组a的判别值临界值
%求解预测的病人的良性及恶性值
%k1=0;k2=0;
%fori=1:
69
%daan=c1'*yuce(i,:
)';
%ifdaan>0.1041
%k仁k1+1;%恶性
%elsek2=k2+1;%良性
%end
%end
%k1,k2
fori=1:
69
daan=c1'*yuce(i,:
)';
ifdaan>0.1041
daan4(i)=1;%恶性
elsedaan4(i)=0;%良性end
end
%错误率的计算
%恶性的错误率
%k1=0;k2=0;
%fori=1:
195
%daan=c1'*exing(i,:
)';
%ifdaan>0.1041
%k仁k1+1;
%elsek2=k2+1;
%end
%end
%cuowu1=(195-k1)/195
%浪性的错误率
%k1=0;k2=0;
%fori=1:
305
%daan=c1'*lxing(i,:
)';
%ifdaan>0.1041
%k仁k1+1;
%elsek2=k2+1;
%end
%end
%k1
%cuowu2=(305-k1)/305
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