运筹学习题答案注释第3章.docx
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运筹学习题答案注释第3章
第3章运输问题
注意:
本章习题解法不唯一,有的题目,最优解也可能不唯一。
3.8表3-32和表3-33分别给出了各产地和各销地的产量和销量,以及各产地至各销地的单位运价,试用表上作业法求最优解。
表3-32
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
解:
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解,其过程如下:
表3.8-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
由于0为最小,所以,取3与8的最小值放在x24位置上,划去B4列,得表3.8-2
表3.8-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
0
在没画线的表格中,由于1最小,所以取6与5的最小值放在x21位置上,划去A2行,得表3.8-3
在表3.8-3中的没画线的表格中,由于1最小,所以取8与5的最小值放在x12位置上,划去B2列,得表3.8-4
在表3.8-4中没画线的表格中,由于3最小,所以取4与1的最小值放在x31位置上,划去B1列,得表3.8-5
表3.8-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
1
5
6
0
表3.8-4
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
1
0
6
0
表3.8-5
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
3
1
销量
0
0
6
0
在表3.8-5中没画线的表格中,由于4最小,所以取3与6的最小值放在x13位置上,划去A1行,得表3.8-6
在表3.8-6中没画线的表格中,由于5最小,所以取3与3的最小值放在x33位置上,划去A3行和B3列,得表3.8-7,这样就得到了一个初始基可行解,如表3.8-8所示。
在表3.8-8中,使用闭回路法计算非基变量的检验数(括弧内的数),得表3.8-9:
σ11=c11-c13+c33-c31=4-4+5-3=2
σ14=c14-c13+c33-c31+c21-c24=6-4+5-3+1-0=5
得表3.8-6
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
3
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
3
1
销量
0
0
3
0
表3.8-7
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
0
5
3
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
0
1
3
销量
0
0
0
0
表3.8-8
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
5
0
8
5
3
A3
3
7
5
1
4
1
3
销量
6
5
6
3
20
σ22=c22-c12+c13-c33+c31-c21=2-1+4-5+3-1=2
σ23=c23-c33+c31-c21=5-5+3-1=2
σ32=c32-c33+c13–c12=7-5+4-1=5
σ34=c34-c24+c21–c13=1-0+1-3=-1
在表3.8-9中,由于检验数σ34=-1≤0,所以表3.8-9中的解不是最优解。
选x34为换入变量,找到闭回路为:
x34x24x21x31,由于3与1的最小数为1,故调整量为1,选x31为换出变量,调整后的解如表3.8-10所示
表3.8-9
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
(2)
5
3
(5)
A2
1
2
5
0
8
5
(2)
(2)
3
A3
3
7
5
1
4
1
(5)
3
(-1)
销量
6
5
6
3
20
表3.8-10
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
5
0
8
6
2
A3
3
7
5
1
4
3
1
销量
6
5
6
3
20
在表3.8-10中,使用闭回路法计算各非基变量的检验数,得表3.8-11:
表3.8-11
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
(3)
5
3
(6)
A2
1
2
5
0
8
6
(1)
(1)
2
A3
3
7
5
1
4
(1)
(5)
3
1
销量
6
5
6
3
20
在表3.8-11中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.8-11中的解就是最优解,其最小运价为39。
解:
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解,如下表3.8-21:
在表3.8-21中,使用闭回路法计算非基变量的检验数(括号内的数),得表3.8-22:
在表3.8-22中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.8-22中的解就是最优解,其最小运价为31。
表3-33
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
A2
4
9
4
5
3
A3
5
7
6
2
5
销量
1
3
2
5
11
表3.8-21
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
3
A2
4
9
4
5
3
1
2
A3
5
7
6
2
5
0
0
5
销量
1
3
2
5
11
表3.8-22
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
(8)
3
(7)
(2)
A2
4
9
4
5
3
1
(3)
2
(4)
A3
5
7
6
2
5
0
0
(1)
5
销量
1
3
2
5
11
3.9试求表3-34给出的产销不平衡运输问题的最优解。
表3-34
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解:
由于该运输问题的产量大于销量,产销不平衡,可增加一个假想的销地B5,其销量为:
(5+2+6)-(3+3+2+2)=3,运费为0,使之变为产销平衡问题,如表3.9-1所示:
表3.9-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
A2
2
4
3
2
0
2
A3
4
3
8
5
0
6
销量
3
3
2
2
3
13
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解,如下表3.9-2。
表3.9-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
0
2
A2
2
4
3
2
0
2
0
2
A3
4
3
8
5
0
6
3
3
销量
3
3
2
2
3
13
表3.9-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
0
2
(1)
(-4)
A2
2
4
3
2
0
2
0
(-2)
(-2)
2
(-3)
A3
4
3
8
5
0
6
(5)
3
(6)
(6)
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-2中,使用闭回路法计算非基变量的检验数(括号内的数),得表3.9-3。
在表3.9-3中,由于有多个检验数均小于0,选最小的检验数σ15=-4,其位置上的变量x15为换入变量,找到闭回路为:
x15x35x32x12,由于3与0的最小数为0,故调整量为0,选x12为换出变量,调整后的解如表3.9-4所示。
在表3.9-4中,使用闭回路法计算各非基变量的检验数(括号内的数)。
在表3.9-4中,只有检验数σ23小于0,选其位置上的变量x23为换入变量,找闭回路为:
x23x13x11x21,由于2与0的最小数为0,故调整量为0,选x21为换出变量,调整后的解如表3.9-5所示,使用闭回路法计算各非基变量的检验数(括号内的数)。
表3.9-4
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
(4)
2
(1)
0
A2
2
4
3
2
0
2
0
(2)
(-2)
2
(1)
A3
4
3
8
5
0
6
(1)
3
(2)
(2)
3
销量
3
3
2
2
3
13
表3.9-5
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
(4)
2
(-1)
0
A2
2
4
3
2
0
2
(2)
(4)
0
2
(3)
A3
4
3
8
5
0
6
(1)
3
(2)
(0)
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-5中,由于只有检验数σ14小于0,选其位置上的变量x14为换入变量,找到闭回路为:
x14x24x23x13,由于2与2的最小数为2,故调整量为2,选x13为换出变量,调整后的解如表3.9-6所示。
在表3.9-6中,使用闭回路法计算各非基变量的检验数(括号内的数)。
表3.9-6
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
(4)
(1)
2
0
A2
2
4
3
2
0
2
(2)
(3)
2
0
(2)
A3
4
3
8
5
0
6
(1)
3
(3)
(1)
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-6中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.9-6中的解就是最优解,其最小运价为32。
3.10某市有三个面粉厂,它们供给三个面食加工厂所需面粉。
各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价,均示于表3-35中。
假定在第1,2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元,试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
面粉厂产量
Ⅰ
3
10
2
20
Ⅱ
4
11
8
30
Ⅲ
8
11
4
20
食品厂需量
15
25
20
解:
由题意知:
该问题为产量大于需量的不平衡问题,可以假想一个虚拟的面食加工厂4,其需量为(20+30+20)-(15+25+20)=10,从而变为平衡问题。
又该题求总效益最大的面粉分配方案,可以转化为下面运输问题,运往虚拟的面食加工厂4的运费为0,如下表。
表3.10-1
食品厂
面粉厂
1
2
3
4
面粉厂产量
Ⅰ
-9
-6
-9
0
20
Ⅱ
-8
-5
-3
0
30
Ⅲ
-4
-5
-7
0
20
食品厂需量
15
25
20
10
70
则容易得知,其总效益就是总运费的相反数。
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解,并使用闭回路法计算非基变量的检验数(括号内),得表3.10-2。
表3.10-2
食品厂
面粉厂
1
2
3
4
面粉厂产量
Ⅰ
-9
-6
-9
0
20
0
(0)
20
(1)
Ⅱ
-8
-5
-3
0
30
15
15
(5)
(0)
Ⅲ
-4
-5
-7
0
20
(4)
10
(1)
10
食品厂需量
15
25
20
10
70
在表3.10-2中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.10-2中的解就是最优解,其最小运费为425。
即面粉分配计划为:
面粉厂Ⅰ的面粉20单位运往面食加工厂3,面粉厂Ⅱ的面粉15单位运往面食加工厂1,面粉厂Ⅱ的面粉15单位运往面食加工厂2,面粉厂Ⅲ的面粉10单位运往面食加工厂2,面粉厂Ⅲ的面粉10单位不向外运输,其总效益最大,为425元。
3.11在表3-36示出一个运输问题及它的一个解,试问:
(1)表中给出的解是否为最优解?
请用位势法进行检验。
(2)若价值系数c24由1变为3,所给的解是否仍为最优解?
若不是,请求出最优解。
(3)若所有价值系数均增加1,最优解是否改变?
为什么?
(4)若所有价值系数均乘以2,最优解是否改变?
为什么?
(5)写出该运输问题的对偶问题,并给出其对偶问题的最优解。
表3-36
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
6
1
10
8
2
A3
3
7
5
1
4
3
1
销量
8
5
6
3
22
解:
(1)设i行的位势ui,第i列的位势vi,则可以得到下列方程组:
令u1=0,得:
v2=1,v3=4,u3=1,v4=0,u2=1,v1=0。
由公式σij=cij–(ui+vj),可以计算出各非基变量的检验数(括号内)。
如表3.11-1:
表3.11-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
(4)
5
3
(6)
A2
1
2
6
1
10
8
(0)
(1)
2
A3
3
7
5
1
4
(2)
(5)
3
1
销量
8
5
6
3
22
在表3.11-1中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.11-1中的解是最优解,其目标函数值(最小运价)为43
(2)若价值系数c24由1变为3,并使用闭回路法计算非基变量的检验数(括号内),得表3.11-2。
在表3.11-2中,由于有多个检验数小于0,所以该解不是最优解。
选最小的检验数σ22=-2,其位置上的变量x22为换入变量,找到闭回路为:
x22x24x34x33x13x12,由于2、3与5的最小数为2,故调整量为2,选x24为换出变量,调整后的解如表3.11-3所示。
在表3.11-3中,使用闭回路法计算各非基变量的检验数(括号内)。
表3.11-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
(4)
3
5
(6)
A2
1
2
6
3
10
8
2
(1)
(2)
A3
3
7
5
1
4
(1)
(5)
1
3
销量
8
5
6
3
22
在表3.11-3中,由于所有检验数均大于等于0,所以表3.11-3中的解是最优解。
(3)若所有价值系数均增加1,最优解是否改变?
为什么?
若所有价值系数均增加1,最优解不改变。
因为若所有价值系数均增加1,使用闭回路法计算检验数时,在计算式子中,其偶数顶点增加的价值系数恰好被奇数顶点增加的价值系数抵消,因而检验数不变,故最优解不变。
(4)若所有价值系数均乘以2,最优解是否改变?
为什么?
若所有价值系数均乘以2,最优解不改变。
因为若所有价值系数均乘以2,使用闭回路法计算检验数时,在计算式子中,其偶数顶点的价值系数、奇数顶点增加的价值系数均乘以2,因而检验数变为原来的2倍,但检验数的正负没有变,故最优解不变。
(5)写出该运输问题的对偶问题,并给出其对偶问题的最优解。
该运输问题的对偶问题为:
max
st.
其对偶问题的最优解为:
(0,1,1,0,1,4,0),其目标函数值为43。
u1+v2=1
u1+v3=4
u2+v1=1
u2+v4=1
u3+v3=5
u3+v4=1
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