完整版几何最值轴对称求最值含答案.docx
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完整版几何最值轴对称求最值含答案
学生做题前请先回答以下问题
问题1:
几何最值问题的理论依据是什么?
答:
两点之间,;(已知两个定点)
最短(已知一个定点、一条定直线);三角形(已知两边长固定或其和、差固定)
答:
两占之亂线段最短(啟俩个定点):
垂线段最舸(已知一个定点、一条定直线)i三角形三讪并系(已知两边长固定或其和、差固定).
问题2:
做题前,读一读,背一背:
学习以下轴对称最值模型’
固定长度线段测在直线I上滑动,求的最对借需平移岳V(或AM)・转化为AM十W解抉,
答:
直线L及异侧两点AB求作直线L上一点P使P与AB两点距离之差最大作A点关于L的对称点A1,连接A1B,并延长交L的一点就是所求的P点.
这样就有:
PA=PA1,P点与A,B的差PA-PB=PA1-PB=A1B.
下面证明A1B是二者差的最大值.
首先在L上随便取一个不同于P点的点P1,这样P1A1B就构成一三角形,且P1A仁P1A.
根据三角形的性质,二边之差小于第三边,所以有:
P1A1-P1B p1A-p1B 这就说明除了P点外,任何一个点与A,B的距离差都小于A1B•反过来也说明P点与A,B的距离差的最大值是A1B. 所以,P点就是所求的一点• 几何最值一轴对称求最值 一、单选题(共7道,每道14分) 1. AC上 如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,且点E在正方形ABCD的内部,在对角线存在一点P,使得PD+PE的值最小,则这个最小值为() 答案: C 解题思路: 1•思路分析 (PD+P%将征: 定点,DtE 动点(定直线);理姫目标: 和最小操作: 对称到异侧 2.解题过程 如图.正方形ABCD的顶点B,D关于AC所在的直纸对称,PB=FD,那么求i(PD-PEv的最小值就转化成求的最小值” 根据两点之间线段最短,可以得出BE的长即为所求, T正方形.ABCD的面积为12, /.jiS=a/5、 vbABE是等边三角形, BE=AB=2忑. 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一线段之和最小 2.如图,在△ABC中,/ACB=90°,以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD,过点D作 DE丄AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.AB=10cm,BC=6cm,P是直线DE上的一点,连接PC,PB,贝V △PBC周长的最小值为( A.16cm B.「「'cm C.24cm D.26cm 答案: A 解题思路: 1•思路分析 min特征: 定虑: BtC 动点(定直线);玫阳 目标: 和竝小 操作: 对称到异侧 2.解题过程 由题意得.召<7的长度为定值, .■-要使厶? 恥的周长最小,只需尸C-抄的值最小即可. 在等边三角形/CD中, \'DE±ACt 二点C关于DE的对称点为点仏PW 当点P与点E重合的时候,丹十丹最小.即站十PQ最小,此时死的周长最小.如囹所示, △尸EC的最小周长知 PB-PC±BC=AB^BC=1()^=16(cm). 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一线段之和最小 3.如图,A,B两点在直线'的异侧,点A到'的距离AC=4,点B至2的距离BD=2,CD=6.若点P在直线'上 运动,则的最大值为() C.6 答案: B 解题思路: 1•思路分析 PA~PB\JKaK特征: 定点: £B 动点(定直钱): 貝0 目标,差最大換作;对称到同们 2.解题过程 要求\PA-PB\的最大值'需使点儿召在直线/同侧,如虱作点0关于直线F的对称点序=连接卫対井延长,与直紳的交点即为使得円-刃|取最大值时对应的点只 过点密作方E丄M于点忌如图, 可得四边形少DCE为矩形, /..BrE=CD=6,EC=£tD=BD=l, \\4C=4= 二A£=2. —毎=4吕它=2尿,即回-的最大值为2価. 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一线段之差(绝对值)最大 4. 则PK+QK 如图,在菱形ABCD中,AB=4,/ABC=60°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,的最小值为() A.2 B* C.4 八; 答案: D 解题思路: 作戸关于a的对称点E由菱形的性质可和点£在线段曲上谨接賦如图. 则EK^PK, : .PK.-OK^EK^OK, VEK-^QK^EQ,当EK.0三点共线时等号成立, .■-时QK的最小值対线段EQ的长. 杲RC上的任意一点. 二£是一炉上的任意一点, 丁仑是仞上的任意一点, ・'•当EQ1AB时,EQ的丧最小,此时EQ"屁 \PK-QK的最小值为20・ 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一最短路线问题 5.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点0在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,0A=3,0B=4,D为边OB的中点.若E,F为边0A上的两个动点,且EF=2,则当四边形CDEF的周长最小时,点F的坐标为() C.「」D.「 答案: B 解题思路: 1•思路分析 F(f)特征: 定点: C,D C畋巒coa曲用动点(銭段苣“瓦联EF二1) 目标: 和量小 操作;平移,对称到异侧 2.解题过程 通过题意可知,EF和CD的长固定, 要使四边形CD盯的周长最小,只需DE+b最小. 如同CF向左平移两个单位到C爲得CF=CfEf此时就转化为求DE+UE的最小值. rr D' 作点D关于x轴的对称点D、连接CD,与x轴的交电即为 DE+CE最小时对应的点E 根据题意可得. CQ,4),-2), ・'•直线的解析式为;尸召兀-2, 二点E的塑标为(斗0], 二点F的坐标为(孑g 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一线段之和最小 6.如图,/AOB=30,/AOB内有一定点P,且OP=10.若Q为OA上一点,R为OB上一点,贝U△PQR周 长的最小值为() A.10 C.20 B.15 D.30 答案: A 解题思路: 尸是定点*ar是在定直线上运动的动点+ 如團,分别作点尸关于射线OE的对称点和马连接片p2r, Pl 贝\\PQ^QR^PR=I\Q+QR+RPl, 要求△PQJ? 周长的最小値,即求殖十"十咫的最小值’ : 尸是定点, 二Pv為也是定点, 二当点0R分别杲耳F;与O&的交点时.耳0+涉+咫 连接邛,ORf 由对称可知o^=op=o耳"90="购,ZpiOR=Zpor..".ZPl0^2/J05=60°, ■•■△RO比是等边三角形, .■-乌£二0乌二OP=10. 即△P0? 周长的最小值为10. 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一线段之和最小 7.如图,已知/MON=20,A为OM上一点, 若C为AM上任意一点,B为OD上任意一点,贝yAB+BC+CD勺最小值是() A.10B.11 C.12D.13 答案: C 解题思路: H和D是定点,£和C是在定直线上运动的动点. 如圃作点d关于CW的对称点小点D关于CW的对称点D: 连接丿8CDf, D' 则AB*蛊C+C0=虫爭十BC+CDX •A,D为定点, 'D为定点, /■*嗥+胆+CD■的最丿卜值为线段川D的长. 如图,连接血10D\ JQD'=OD=换、OWO4二必, ZDVA^ZW^ZJON=^f .'.ZDG 可得△DQA是直角三角形,且ZZ>^rCMOS /.^Df=^5of=12, 即AS-BC+CD的最小值为12. 试题难度: 三颗星知识点: 轴对称一一最值问题
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