向量组的线性相关性习题解答.docx
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向量组的线性相关性习题解答
习题四
A组
1.填空题
(1)
设x=(2,3,7)T
,y=(4,0,2)T
,z=(1,0,2)T
,且2(xa)3(ya)
z,则
a=
.
解由2(xa)
3(ya)z得
15
a2x
3yz6.
18
(2)
单个向量
线性没关的充足必需条件是
.
解0.
(3)
已知向量组
=(1,0,1),
=(2,2,3),
=(1,3,t)线性有关,则
.
1
1
0
1
1
0
0
5
解
因为
2
2
3
2
2
1
2t
5
0,因此t
2
.
1
3
t
1
3
t
1
2
3
(4)
设有向量组
,又
,
2
,
2,则向量组
线
性
.
解
1,
2,
3可由
1,
2线性表示,因此
1,
2,
3的秩小于等于
2,进而可知1,
2,
3线性
有关.
(5)
若向量组
线性有关,则向量组
,
,
线性
.
12
解因为23
31
110
011
101
1
1
1
0
1
1
0
2
,又0
1
1
2
0,因此矩阵0
1
1
可逆,进而
3
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
2
2
0
1
1
2
3
,
3
1
0
1
3
1
即1,
2,
3与12,2
3,31等价.故1
2,
23,31线性有关.
(6)
设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)
线性有关,且a1,则
.
解
a
1
.
2
(7)
设向量组1
a,0,c,
2
b,c,0,3
0,a,b线性无关,则a,b,c必满足关系
式
.
解
abc0.
1
2
2
T
(8)
设三阶矩阵A=
2
1
2
,三维列向量
a,1,1.已知A
与
线性有关,则
3
0
4
a.
解a1.
2.选择题
(1)n维向量组a1,a2,
as(3≤s≤n)线性没关的充足必需条件是
.
(A)存在一组全为零的数
k1,k2,
ks,使k11
k22
kss
0;
(B)存在一组不全为零的数
k1,k2,
ks,使k1
1
k22
kss
0;
(C)a1,a2,,as中随意两个向量都线性没关;
(D)a1,a2,,as中随意一个向量都不可以由其他向量线性表示.
答(D).
1,
2,
s线性有关的充足必需条件是:
1,2,
s中起码有一个向量可由其他
s1个向量线性表示.因此
1,
2,
s线性没关的充足必需条件是:
1,2,
s中随意一个向量
都不可以由其他s
1个向量线性表示.
(2)
设有两个n维向量组
s、,
s,若存在两组不全为零的数
k1,k2,,ks;
1,2,
s,使(k1
1)1
(ks
s)s
(k1
1)1
(ks
s)s
0;则
.
(A)
s
s,
s
s线性有关;
(B)
s、
s均线性没关;
(C)
s、
s均线性有关;
(D)
s
s,
s
s线性没关.
答(A).因为
(k1
1)1
(ks
s)s(k1
1)1
(ks
s)s0,
1(
1
1)
s(s
s)k1(1
1)
ks(s
s)0,
因此1
1,
s
s,
1
1,
s
s线性有关.
(3)
设向量组
1,
2,
m和向量组
,
m为两个n维向量组(m2
),且
m,
m,
m
m1,
则有
.
(A)
1,
2,
m的秩小于
m的秩;
(B)
1,
2,
m的秩大于
m的秩;
(C)
1,
2,
m的秩等于
m的秩;
(D)
没法判断.
1
0
1
1
1
0
1
答(C).因为
2
1
0
1
2
,又
1
0
m
1
1
0
m
1
1
1
1
0
1
1
1
2
1
0
1
2
m
1
1
0
m
1
1
(1)m1(m1)0,因此有
0
,
即
1,
2,
m与
1,
2,,m等价,进而知
1,
2,
m与
1,
2,,m的秩相等.
(4)
设有两个
n维向量组
1,2,,
m和
m
均线性没关,则向量组
1
2
,
m
m
.
(A)
线性有关;
(B)
线性没关;
(C)
可能线性有关也可能线性没关;
(D)
既不线性有关,也不线性没关.
答
(C).
1
比如,10,2
0
11,22线性有关.
1
1
1
1
;1
0
2
1
,则1,
2和
1,2都线性没关,但
0
0
0
1
1
1
1
又如,10
2
1
;
1
0
2
1
则
1,2和1,2都线性没关,11,22
0
0
0
0
也线性没关.
(5)设有向量组A
1,
2,
s与B
,
t均线性没关,且向量组
A中的每个向量都不
能由向量组B线性表示,同时量组B中的每个向量也不可以由向量组A线性表示,则向量组
1,
2,,
s
t的线性有关性为
.
(A)
线性有关;
(B)
线性没关;
(C)
可能线性有关也可能线性没关;
(D)
既不线性有关,也不线性没关.
答(C).
1
1
0
0
比如,当
1
0
2
1
;
1
0
2
1,则
1,
2和
1,
2都线性没关,且
1,
2不可以
0
0
1
1
由
1,2线性表示,
1,
2也不可以由
1,
2线性表示.但
1,
2,
1,
2线性有关.
1
1
0
0
0
1
0
0
1,
1,
1,
又比如
1
0
2
;
1
0
2
则
2和
2都线性没关,且
2不可以由
0
1
0
0
1
1
1,
2线性表示,
1,
2也不可以由
1,
2线性表示.但
1,
2,1,
2线性没关.
(6)设向量组I:
1,2,,
(A)当rs时,向量组
(B)当rs时,向量组
(C)当rs时,向量组
(D)当rs时,向量组答(D).
r可由向量组Ⅱ:
1,2,,s线性表示,则.
II必线性有关;
II必线性有关;
I必线性有关;
I必线性有关.
(7)设1,
2,
s均为n维向量,以下结论不正确的选项是
.
(A)
若关于随意一组不全为零的数
k1,k2,,ks,都有k11
k22
kss0,则1,2,,s
线性没关;
(B)
若
1,
2,
s线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,
ks,都有
k11k22
kss
0;
(C)
1,
2,
s线性没关的充足必需条件是此向量组的秩为
s;
(D)
1,
2,
s线性没关的必需条件是此中随意两个向量线性没关.
答(B).
(8)
设A,B为知足AB=O的随意两个非零矩阵,则必有
.
(A)A的列向量组线性有关,
(B)A的列向量组线性有关,
(C)A的行向量组线性有关,
(D)A的行向量组线性有关,答(A).
B的行向量组线性有关;
B的列向量组线性有关;
B的行向量组线性有关;
B的列向量组线性有关.
3.将b表示为a1,a2,a3的线性组合.
(1)
a1
(1,1,
1)T,a2
(1,2,1)T,a3
(0,0,1)T,b
(1,0,2)T;
(2)
a1
(1,2,3)T,a2
(1,0,4)T,a3
(1,3,1)T,b
(3,1,11)T.
解
(1)令x1a1
x2a2
x3a3b,即
1
1
0
1
x11
x22
x30
0.
1
1
1
2
1
1
0
因为D
1
2
01
0
,因此由Cramer法例,得
1
1
1
x1
2,x2
1,x3
1,
故b2a1a2a3.
(2)令x1a1
x2a2
x3a3b,即
1
1
1
3
x12
x20
x33
1
.
3
4
1
11
1
1
1
因为D2
0
3
30,因此由Cramer法例,得
3
4
1
x10,x2
8,x3
1.
3
3
故
8
1
3a2
3
a3.
b0a1
4.已知向量组a1,a2,
ar线性没关,且b1
a1
a2,b2
a2
a3,,br
ara1.证明当r为
奇数时b1,b2,
br线性没关;当
r为偶数时b1,b2,
br线性有关.
解令x1b1
x2b2
xrbr
0,得
x1(a1
a2)x2(a2a3)
xr(ar
a1)0,
(x1xr)a1(x1x2)a2
(xr1
xr)ar
0.
因为a1,a2,
ar线性没关,因此有
x1xr0,
x1x20,
xr1xr0.
该方程组的系数队列D为
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
(1)
r12,
r为奇数;
D
1
0,
r为偶数.
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
当r为奇数时D
0,方程组只有零解,即
b1,
b2,
br线性没关;当
r为偶数时D
0
,方程组有
非零解,即b1,b2,
br
线性有关.
5.已知a1,a2,
ar线性无关,且b1
a1,b2
a1
a2,,br
a1
a2
ar,证明
b1,b2,
br线性没关.
b1
1
0
0
a1
1
0
0
证明
因为
b2
1
1
0
a2
,
1
1
0
可逆,即
br
1
1
1
ar
1
1
1
a1
1
0
0
1
b1
a2
1
1
0
b2
.
ar
1
1
1
br
进而a,
a,
a与b,b,
b等价,于是得a,
a
a线性没关.
1
2
r
1
2
r
1
2
r
6.设有两个
n
维向量组
A:
ai
(ai1,ai2,
ain)
B:
bi
(aip
aip
aip
)
,此中
i
1,2,,m
,
,
1
2
n
而p1p2
pn是1,2,
n这n个自然数的某个摆列,证明向量组
A与向量组B的线性有关性同样.
证明令x1a1x2a2
xmam
0,即
a11x1
a21x2
am1xm
0,
a12x1
a22x2
am2xm
0,
a1nx1
a2nx2
amnxm
0,
上下互换方程,可得
a1p1x1a2p1x2
amp1xm
0,
a1p2x1
a2p2x2
amp2xm
0,
a1pnx1
a2pnx2
ampnxm
.
0
即xb
xb
xb
0.因为xa
xa
xa
0与xb
xb
xb0同解,因此
11
22
mm
11
22
mm
11
22
mm
a1,a2,
am与b1,b2,
bm的线性有关性同样.
7.m个r维向量的每个向量添上
nr个重量,成为m个n维向量.若m个r维向量线性没关,证明
m个n维向量亦线性没关.
证明
设有m个r维向量
a11
a12
a1m
a1
a2
am
,
ar1
ar2
arm
因为a1,
a2,
am线性没关,因此当
x1a1
x2a2
xmam0
时,有且仅有x
x
2
x
m
0,即方程组
1
a11x1
a12x2
a1mxm
0,
ar1x1
ar2x2
armxm
0
只有零解,进而方程组
a11x1
a12x2
a1mxm
0,
ar1x1
ar2x2
armxm
0,
an1x1
an2x2
anmxn
0
也只有零解.令
a11
a12
a1m
b1
ar1,b2
ar2,,bm
arm,
an1an2anm
则当x1b1
x2b2
xmbm
0时,有x1x2
xm0,因此b1,b2,
bm线性没关.
8.鉴别以下向量组的线性有关性.
(1)
(1,1,0),(0,1,1)
,(3,0,0);
(2)(1,1,3),(2,4,5),(1,1,0),
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