人教版八年级数学下《11712勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计5.docx
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人教版八年级数学下《11712勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计5.docx
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人教版八年级数学下《11712勾股定理应用利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计5
数学
年级
八年级
教师
课题
勾股定理的应用
第1课时
课型
单一课
达成目标
1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观点.
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提升分析问题、解决问题的水平及渗透数学建模的思想.
3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
重点
利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题
难点
利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题
教学流程
检测预习
交代目标
检测预习:
1、一个三角形的两边长分别是12、15,则第三边长为__时,这个三角形是直角三角形。
(三角形的三边长都是正整数)
2、底边长为10cm,底边上的高为12cm的等腰三角形的腰长为_____。
交代目标:
1、能准确使用勾股定理及直角三角形的判别方法解决简单实际问题
2、将立体图形问题转化成平面图形问题
合作探究
交流共享
第一环节:
情境引入
内容:
情景1:
多媒体展示:
提出问题:
从二教楼到综合楼怎样走最近?
情景2:
如图:
在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这个信息,于是它想从A处爬向B处,你们想一想,蚂蚁怎么走最近?
意图:
通过情景1复习公理:
两点之间线段最短;情景2的创设引入新课,激发学生探究热情.
效果:
从学生熟悉的生活场景引入,提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基础.
第二环节:
合作探究
内容:
学生分为4人活动小组,合作探究蚂蚁爬行的最短路线,充分讨论后,汇总各小组的方案,在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法,通过具体计算,总结出最短路线.让学生发现:
沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形,研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题,引导学生体会利用数学解决实际问题的方法.
意图:
通过学生的合作探究,找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法,将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解.在活动中体验数学建摸,培养学生与人合作交流的水平,增强学生探究水平,操作水平,分析水平,发展空间观点.
效果:
学生汇总了四种方案:
(1)
(2)(3)(4)
学生很容易算出:
情形
(1)中A→B的路线长为:
,
情形
(2)中A→B的路线长为:
所以情形
(1)的路线比情形
(2)要短.
学生在情形(3)和(4)的比较中出现困难,但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形,情形(3)A→B是折线,而情形(4)是线段,故根据两点之间线段最短可判断(4)较短,最后通过计算比较
(1)和(4)即可.
如图:
(1)中A→B的路线长为:
.
(2)中A→B的路线长为:
>AB.
(3)中A→B的路线长为:
AO+OB>AB.
(4)中A→B的路线长为:
AB.
得出结论:
利用展开图中两点之间,线段最短解决问题.在这个环节中,可让学生沿母线剪开圆柱体,具体观察.接下来后提问:
怎样计算AB?
在Rt△AA′B中,利用勾股定理可得
,若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,π取3,则
.
注意事项:
本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面,目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存有可能.但这个拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条.所以教学时因该在学生在圆柱表面感知后,把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上.
方法提炼:
解决实际问题的关键是根据实际问题建立相对应的数学模型,解决这个类几何型问题的具体步骤大致能够归纳如下:
1.审题——分析实际问题;
2.建模——建立相对应的数学模型;
3.求解——使用勾股定理计算;
4.检验——是否符合实际问题的真实性.
合作探究
交流共享
第三环节:
做一做
内容:
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺,
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD长是30厘米,AB长是40厘米,BD长是50厘米,AD边垂直于AB边吗?
为什么?
(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺,他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?
BC边与AB边呢?
解答:
(2)
∴AD和AB垂直.
意图:
使用勾股定理逆定理来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许的工具灵活处理问题.
效果:
先鼓励学生自己寻找办法,再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时,学生可能会在上面解决问题的基础上,想出多种办法,如利用分段相加的方法量出AB,AD和BD的长度,或在AB,AD边上各量一段较小长度,再去量以它们为边的三角形的第三边,从而得到结论.
第四环节:
练习
内容:
1.甲、乙两位探险者到沙漠实行探险,某日早晨8:
00甲先出发,他以6km/h的速度向正东行走,1时后乙出发,他以5km/h的速度向正北行走.上午10:
00,甲、乙两人相距多远?
解答:
如图:
已知A是甲、乙的出发点,10:
00甲到达B点,乙到达C点.则:
AB=2×6=12(km)
AC=1×5=5(km)
在Rt△ABC中:
∴BC=13(km).
即甲乙两人相距13km.
2.如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近?
并求出最近距离.
解答:
.
3.有一个高为1.5m,半径是1m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5m,问这根铁棒有多长?
解答:
设伸入油桶中的长度为xm.
则最长时:
∴最长是2.5+0.5=3(m).
最短时:
.
∴最短是1.5+0.5=2(m).
答:
这根铁棒的长应在2~3m之间.
意图:
对本节知识实行巩固练习,训练学生根据实际情形画出示意图并计算.
效果:
学生能独立地画出示意图,将现实情形转化为数学模型,并求解.
第五环节:
举一反三
内容:
1.如图,在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁,现要向顶点B处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s,且速度保持不变,问蚂蚁能否在20s内从A爬到B?
解:
如图,在Rt△ABC中:
∵500>202.
∴不能在20s内从A爬到B.
2.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:
有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
解答:
设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长为
AD=AB=(x+1)尺,
在直角三角形ABC中,BC=5尺.
由勾股定理得:
BC2+AC2=AB2.
即52+x2=(x+1)2.
25+x2=x2+2x+1.
2x=24.
∴x=12,x+1=13.
答:
水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.
意图:
第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”实行拓展,从圆柱侧面到棱柱侧面,都是将空间问题平面化;第2题,学生能够进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的聪明才智;使用方程的思想并利用勾股定理建立方程.
效果:
学生能画出棱柱的侧面展开图,确定出AB位置,并准确计算.如有可能,还可把正方体换成长方体实行讨论.
学生能画出示意图,找等量关系,设适当的未知数建立方程.
注意事项:
对于普通班级来说,学生完成“小试牛刀”,已经基本完成课堂教学任务.所以本环节能够作为教学中的一个备选环节,共老师们根据学生状况选用.
第六环节:
交流小结
内容:
师生相互交流总结:
1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.
2.在寻求最短路径时,往往把空间问题平面化,利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
意图:
鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史.
效果:
学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结出在寻求曲面最短路径时,往往考虑其展开图,利用两点之间,线段最短实行求解.并赞叹我国古代数学的成就.
第七环节:
布置作业
1.课本习题1.4第1,2,3题.
2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?
请你与同伴交流设计方案?
注意事项:
作业2作为学有余力的学生的思考题.
新知检测
精设预习
新知检测:
1.如图,一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处,如果圆柱的高为8cm,圆柱的半径为
cm,那么最短路径AB长().
A.8B.6C.平方后为208的数D.10
2.一个圆桶,底面直径为24cm,高32cm,则桶内所能容下的最长木棒为().
A.24cmB.32cmC.40cmD.45
3.已知小龙、阿虎两人均在同一地点,若小龙向北直走160m,再向东直走80m后,可到神仙百货,则阿虎向西直走多少米后,他与神仙百货的距离为340m?
A.100B.180C.220D.260
精设预习:
无理数定义
板书设计
1、情境引入;
2、合作探究;
3、做一做;
4、练习;
5、举一反三;
6、交流小结;
7、布置作业.
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