教学设计四边形和平行四边形.docx

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教学设计四边形和平行四边形

初二几何

第四章第一单元四边形和平行四边形

一.教法建议

【抛砖引玉】

在教学中强调四边形、多边形概念及内角和定理，同时要侧重一些数学方法上，如类比和扩展方法的使用，把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想方法要贯穿在教学的始终。

平行四边形的概念和性质是全章重点，一定要讲清楚，进而要抓住平行的判定理进行系统传授，归纳出五种判定方法，教学要理论联系实际，尽可能与实践结合。

【指点迷津】

在解题中将四边形、多边形转化为一些三角形，便可找到解决问题的突破口，要正确理解平行四边形的对角、对边、高，指出与三角形对角，对边的区别，高的区别。

学过平行四边形判定方法后，凡是用平行四边形能证明的问题就不要再回到三角形全等去证明了，要培养学生接受新事物观点。

防止旧知识对新知识的干扰。

二.学海导航

【精点题解】

例.已知：

如图，平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求：

BE=DF

揭示思路：

欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法一。

证法一：

∵在平行四边形ABCD中，AB=DC，AB∥DC，

∴∠BAE=∠DCF

　∵BE⊥AC，DF⊥AC

∴∠AEB=∠CFD=90°

在△ABE与△CDF中

AB=DC

∠BAE=∠DCF

∠AEB=∠CFD

　∴△ABE≌△CDF

∴BE=DF

揭示思路：

由题设发现S△ABC=S△ADC。

便萌生计算三角形面积公式，便可得到证法：

证法二：

在平行四边形ABCD中，S△ABC=S△CDA

∴

AC·BE=

AC·DF

∴BE=DF

这是一个非常普通的基本图形，由此能脱胎出不少新题目，得出新的情况，但上述原证法亦然是打开思路“向导”

变更题

（一）

原题的已知条件和圆形不变，求证：

（1）AE=CF；

（2）AF=CE；（3）∠ABE=∠CDF

（4）四边形BFDE为平行四边形（5）BD与EF互相平分。

变更题

（二）

题设变化，如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF以上各结论亦然成立。

本例所给出的图形是一个基本图形，必须把握住基本图形的特点和它的变形，才能攻克一道道难题，不少难题，只要认真分析，把图形分解，便可找到基本图形，以基本图形当“向导”，便可打开思路，因而，精解习题时，必须留心基本图形，掌握它的特点，才能更好地应用图形性质解题。

【思维扩散】

扩散思维是创造思维的重要特性，训练扩散思维，使问题想的宽、想的深、想的细。

例如图在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个三等分点，求证四边形BFDE是平行四边形

扩散1.准确的图形是证题的“向导”，它可把图形的各种关系及特点显露出来，观察图形，可发现四边形DEBF中，DE=BF，DF=BE，这就提醒我们证明两线段的相等，通常转化证明三角形全等，根据题设条件，设法证三角形全等即可。

∵ABCD是平行四边形

∴AD=BC，AB∥BC，∠DAE=∠BCF

又E、F为AC的两个三等分点

∴AE=FC

在△AED和△CFB中

AD=BC

∠DAE=∠BCF

AE=FC

∴△AED≌△CFB

∴DE=BF

同理：

BE=DF

∴四边形BFDE为平行四边形.（平行四边形判定定理2）

扩散2:

揭示思路：

观察图形可直觉发现DE∥BF，BE∥DF，此时只要设法证明二直线平行即可，即证一组内错角、同位角相等，（同旁内角互补）。

证两角等，又转化为证明三角形全等，可以仿扩散1可证得：

△AED≌△CFB

∴∠AED=∠CFB

∴∠DEF=180°－∠AED，∠BFE=180°－∠CFB

∴∠DEF=∠BFE

∴DE∥EF

同理可证：

BE∥BF

∴四边形BFDE为平行四边形（平行四边形的定义）

扩散3：

揭示思路：

（由题设告知ABCD为平行四边形，容易想起对角线互相平分，进而缺一条对角线，必须添设辅助线补上（连结BD）则OB=OD，只要证OE=OF，思路便畅通了。

连结BD交AC于点O

∵ABCD为平行四边形

∴OB=OD，OA=OC

∵E、F为AC的三等分点

∴AE=CF

∴OE=OA－AE，OF=OC－CF

∴OE=OF

∵OB=OD

∴四边形BFDE为平行四边形（平行四边形判定定理3）

扩散4

揭示思路：

观察图形，直觉发现DE

BF（或BE

DF），只要证明一组条件成立，问题便可解决，证明两线段相等与平行，又转化为证明两个三角形全等，即打开思路。

仿扩散1可证得△AED≌△CFB

则DE=BF，∠AED=∠CFB

再仿扩散2可证得DE∥BF

∴DE

BF

∴四边形DEBF为平行四边形（平行四边形判定理4）

扩散5：

将原题设中的三等分AC改为四等AC，其它条件都不变，原结论成立吗？

回答是肯定的，原证法都适用吗？

完全适用，留给读者探索。

扩散6：

将原题中的三等分AC改为五等分AC，其它条件都不变，原结论成立吗？

（原结论成立），原证法适用吗？

（完全适用），读者不妨一试。

扩散7：

由扩散5和扩散6我们可发现，把ACn等分，（n≥3的整数），将其它条件不变，原结论都成立，证法也相仿，请读者探索吧！

扩散8：

将AC进行n等分（n≥3的整数），其它条件不变，如图4，继续连结成四边形，第二个四边形，第三个四边形，……，第n个四边形，它们都是什么四边形？

提出你的猜想，并进行证明可以吗？

扩散9：

原题设不变，图形不变，结论改为，求证：

S四边形DEBF=

S四边形ABCD

扩散10：

如图6，将AC五等分，其它题设不变，求证：

SDGBH=

SABCD

扩散11：

将AC进行n等分（n≥3的整数）其它条件不变，继续连结成四边形，那么第n个四边形面积是原四边形面积的几分之几？

提出你的猜想并进行证明。

扩散12：

如图5，原题设不变，在AC可在直线上截取AE=CF，求证：

四边形BEDF为平行四边形。

此时证题思路与原题相仿，仍然要转化为证明两个三角形全等，请读者完成，不再叙述。

扩散13：

如图8，原题设不变，在AC截取AE=CF=2EF，（继续截取AE=CF=3EF，4EF，……，nEF），它们结论还成立吗？

（即四边形DEBF还是平行四边形吗？

）提出你的猜想并进行证明。

【集中分析】

由上述分析可知，几何思路的寻觅，一般地说，准确画出图形（尽量把图形画的准确），因为准确图形，可发现线段之间，角之间的关系，即感性认识，再进行分析找出依据，即理性认识，产生飞跃，达到目的，如何能借助题设与“向导”准确找出思路，写出依据呢？

必须认真学好课本的基础知识，如本例，必须熟练掌握判定四边形为平行四边形的方法，即平行四边形的定义和四个判定定理。

这样才能心中有数，要证什么？

怎样才能达到证题的目的呢？

这样才能确定找什么，按照题设，结合图形，一定能找到要找到的条件，达到证题的目的。

我们归纳几何证题思路为：

要什么，找什么，缺什么，补什么，最后一定找到“它”。

本例不是在思维方法上进行扩散，而是在改变命题上进行扩散，对提高自身扩散思维能力培养大有裨益，开阔眼界，以一不变，应万变，学一例，会一类，精通一片，以少胜多，是值得倡导的一种好的学习方法。

为了把同学们培养“四有”新人，本例把问题由有限扩散到无限，由静变动，变化万千，培养同学猜想能力，归纳思维能力，这样对自身数学素养的提高将十分凑效。

只有通过这样进行扩散思维，才能更好学好课本知识，掌握学习的方法，真正变“学会”为“会学”，成为学习主人，能把自己培养成跨世纪人才。

【难题解析】

例：

如图，ABCD为平行四边形，作EF∥AB分别交AD、BC于点E、F，作GH∥BC分别交AB、EF、CD于点G、O、H，

求证：

2S△AOC=S平行四边形OEDH－S平行四边形OGBF

揭示思维一：

本例乍一看来无法入手，辅助线添设也插不进，此时必须观察图形中有多个平行四形，结合结论，进一步探索它们之间的和差关系，可发现

S△AOB=S△ABC－S△AOG－S△COF－S平行四边形OGBF，再观察结论与我们观察图形直观写出的等式比较左边少个系数2，抓住这个2的信息，必须立即把它补上，即各项乘以2，得

2S△AOB=2S△ABC－2S△AOG－2S△COF－2S平行四边形OGBF

由图形还可发现：

S平行四边形ABCD=2S△ABC

S平行四边形AGOE=2S△AOG

S平行四边形OFCH=2S△COF

S平行四边形OEDH=S平行四边形ABCD－S平行四边形AGOE－S平行四边形OFCH

啊，思路已经打通了，只要再把2S平行四边形OGBF=S平行四边形OGBF+S平行四边形OGBF进行一分为二，要证的结论就呈现在眼前，证法请读者自己写出。

揭示思路二：

观察图形（可设字母如图）可直观发现：

S△AOC=S△ABC－S△AOG－S△COF－S△OGBF

=

（m+n）（h1+h2）－

mh2－

nh1－nh2

=

（mh1+mh2+h1n+h2n）－

mh2－

nh1－nh2

=

（mh1+mh2+nh1+nh2－mh2－mh1－2nh2）

=

（mh1－nh2）

∴S△ADC=mh1－nh2

即2S△AOC=S平行四边形OEDH－S平行四边形OGBF

由上法可知，第二种思路多么自然，一路看风，使我们品尝面积证法的甜美，借助三角形面积公式，平行四边形面积公式，计算一下便得出要证明的结果，面积公式独特的功效一定不可忽视，在遇到有关面积方面的难题，一定要想到它，它可为你助一臂之力！

以上两种证法的获取，其关键是善于观察，捕捉图形之间关系，不知不觉就找到思路，真是踏破铁鞋“无觅”处，得来全不费功夫。

为什么“无觅”，主要是基础知识不牢固，再者观察不仔细，（必须深入细致地观察，研究）造成的，吸取教训，注意培养自己敏锐观察力，洞察细微，发现蛛丝马迹，便可由此觅到思路。

三.智能显示

【心中有数】

四边形及平行四边形是本章中的重中之重，那么，学好这一单元内容尤显得重要，它决定本章内容学习好坏的关键，必须强化这一部分内容的学习。

【动脑动手】

（1）一个多边形除了一个内角外，其余内角的和是2750°，则这个多边形的边数是

（2）一个多边形的内角和等于它的外角和的2

倍，则这个多边形的边数是

共有条对角线。

2.

（1）平行四边形ABCD的周长是28，AC、BD相交于O点，若△OAB的周长比△OBC的周长多4，则AB=，BC=

（2）在平行四边形ABCD中，AB=

AD，M为AD的中点，则∠BMC=

（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形吗？

为什么？

（4）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P，在BD上那么图中有哪两个平行四边形面积相等？

为什么？

3.

（1）平行四边形对边且，对角，对角线。

（2）平行四边形常用判定方法有：

①②③④

⑤。

（3）两条平行线线中，一条直线上叫做这两条平行间的距离。

（4）在平行线段相等。

4.

（1）能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）

（A）AB∥CD，AD=BC（B）∠A=∠B，∠C=∠D

（C）AB=CD，AD=BC（D）AB=AD，∠B=∠D

（2）在给定条件中，能画出平行四边形的是（）

（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边

（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边

（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边

（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边

5.已知：

如图平行四边形ABCD中，AE⊥BD，

CF⊥BD，垂足为E、F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：

EF和GH互相平分。

6.已知E、F分别为平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，若AE=

AB，DF和FC满足DF2－2DF·FC－3F=0，求证：

四边形BFDE为平行四边形

7.如图，在平行四边形ABCD中,AB∶BC=4∶5，若周长为35,∠B=60°，求平行四边形ABCD的面积。

8.如图，平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，求证：

四边形BFDE为平行四边形（要求用五种方法证明）

【动手动脑】答案或提示

1～4略：

5.提示：

先证△AED≌△CFB，再证：

△AEG≌△CFH

6.用DF2－2DF·FC－3FC=0左边分解因式；

解：

（DF－3FC）（DF+FC）=0∵DF+FC≠0

∴DF=3FC

∴FC=

DC

∴BE∥DF，BE=DF可证

7.作AE⊥BC于E，连AC，AE=

∴S平行四边形=2S△ABC=

8.证法一：

可证两组对边分别平行

证法二：

可证两组对边分别相等

证法三：

先证△ABF≌△CDE结合证法二，可证两组对角分别相等

证法四：

由证法2中得到DF=BE，再由平行四边形ABCD得DF∥DE，∵DF

DE，∴BFDE为平行四边形

证法五：

先证△ABF≌△CDE，再证AECF为平行四边形，进而证EF与DB互相平分，可证。

四、步题库

一、填空题

1.一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是.

2.n边形的内角和是外角和的倍.

3.五边形内角和为，n边形内角和为.

4.任意多边形的外角和等于,一个多边形的每一个外角都等于45°，则它的边数为.

5.六边形的每一内角都相等，它的每一个内角是，一个六边形有条对角线.

6.已知在ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C=.

7.已知一个平行四边形的一组对角和为214°，那么这个平行四边形相邻的两个内角的度数分别为.

8.平行四边形相邻两个内角和等于，对角线.

9.如图2-1-15，在四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的外角分别是80°，90°，∠A比∠D大20°，那么∠A=，∠B=，∠C=，∠D=.

图2-1-15图2-1-16

10.如图2-1-16，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BC=8，AC=6，那么对角线BD长的取值范围是.

11.一个平行四边形的周长为56cm，两邻边长的比为4∶3，那么此两邻边的长为

和.

12.在ABCD中，∠A的余角和∠B的补角相等，那么∠C的度数为.

13.已知ABCD的边AB=12cm，它的长是周长的

，那么BC=，CD=.

14.一平行四边形的两邻边长分别为15cm和19cm，它们的夹角为45°，那么，此平行四边形的面积为.

15.已知平行四边形较短的一边长为22，两条高的比是3∶2，两高之和为15，那么平行四边形的面积为.

二、选择题

1.一个多边形的内角和等于外角和的一半，那么这个多边形是（）.

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）均错

2.如图2-1-17，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=90°n.那么n=（）.

（A）2（B）3（C）4（D）5

3.如图2-1-18，已知ABCD的周长为8cm，△ABC的周长是7cm.那么AC的长是（）.

（A）1cm（B）2cm

（B）3cm（C）4cm

图2-1-17图2-1-18

4.平行四边形一组对角的平分线（）.

（A）一定互相平行（B）一定相交

（C）可能平行、也可能相交（D）平行或共线

5.已知ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（）.

（A）1∶2∶3∶4（B）1∶2∶2∶1

（C）2∶2∶1∶1（D）2∶1∶2∶1

6.如图2-1-19，在ABCD中，EF过对角线交点O，AB=4cm，AD=3cm，OF=1.3cm，那么四边形BCEF的周长是（）.

（A）8.3cm（B）9.6cm（C）12.6cm（D）13.6cm

图2-1-19

7.下面性质中，平行四边形不一定具备的是（）.

（A）对角互补（B）邻角互补

（C）对角相等（D）内角和是360°

8.四边形的四个内角（）.

（A）都是锐角（B）都是直角（C）都是钝角（D）和为四个直角

9.能判定四边形是平行四边形的条件是（）.

（A）一组对边平行，另一组对边相等（B）一组对边平行，一组对角相等

（C）一组对边平行，一组邻有互补（D）一组对边相等，两条对角线相等

10.如图2-1-20，已知ABCD的顶点A、C和EBFD的顶点E、F在一条直线上，那么下列关系成立的是（）.

（A）AE>CF（B）AE=CF

（C）AE

图2-1-20

11.如图2-1-21，已知在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，DE、BF分别交AC于G、H，那么（）.

（A）AG=DG（B）AG⊥DG（C）AG=DF（D）AG=GH

12.如图2-1-22，已知在ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，那么有（）.

（A）AE=BE（B）AB=2AE（C）BE=

CD（D）AE=DC

13.如图2-1-23，平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形有（）.

（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对

图2-1-21图2-1-22图2-1-23

14.已知四边形四边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd那么这个四边形是（）.

（A）任意四边形（B）对角线相等的四边形

（C）对角线垂直的四边形（D）平行四边形

15.如果A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）.

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

三、计算、证明题

1.如图2-1-24，已知在ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠ABC的平分线BE交AD于E.

求DE的长.

2.如图2-1-25，已知在ABCD中，AC、BD相交于O，AC=28cm，AD=BD=24cm.

求△BOC的周长.

3.如图2-1-26，已知在ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，BE=2cm，BF=3cm，

∠EBF=60°.

求ABCD的面积.

图2-1-24图2-1-25图2-1-26

4.如图2-1-27，已知ABCD的周长为120cm，对角线AC、BD相交于O，△AOB的周

长比△BOC的周长少10cm.

求ABCD的两邻边长.

5.如图2-1-28，已知在ABCD中，DE⊥AB于E，且AE=EB，ABCD的周长为7.6cm，

△ABD的周长比ABCD的周长少2cm.

求ABCD各边的长.

6.如图2-1-29，已知在ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=60°，BE=2，DF=3.

求ABCD的周长.

7.如图2-1-30，已知在ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，∠1=∠2.

求证：

AE=CF.

图2-1-28图2-1-29图2-1-30

8.如图2-1-31，已知DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC.

求证：

四边形ABCD是平行四边形.

9.如图2-1-32，已知在△ABC中，∠1=∠2，BE∥GF,EF∥AB.

求证：

AF=BG.

10.如图2-1-33，已知在ABCD中，AE、FC分别为∠BAD、∠BCD的平分线.

求证：

AC、EF互相平分.

图2-1-31图2-1-32图2-1-33

11.如图2-1-34，已知在ABCD中，AB=2BC，E为CD的中点.

求证：

AE⊥BE.

图2-1-34图2-1-35

12.如图2-1-35，已知在ABCD中，由顶点向对角线作垂线AE、BF、CG、DH垂足分

别是E、F、G、H.

求证：

EF∥GH.

参考答案

同步题库参考答案

电脑动手

1~4略:

5.提示:

先证△AED≌△CFB,再证:

△AEG≌CFH.

6.由DF2-2DF·FC-3FC=0,左边分解因式,

得（DF-3FC）（DF+FC）=0,∵DF+FC≠0

∴DF=3FC

∴FC=

∴DE∥DF,BE=DF可证.

7.作AE⊥BC于E,连AC,AE=4

∴S◇=2S◇ABC=40

8.【证法一】可证两组对边分别平行.

【证法二】可证两组对边分别相等.

【证法三】先证△ABF≌△CDE结合证法二,可证两组对角分别相等.

【证法四】由证法2中得到DF=BE,再由◇ABCD得DF∥DE,∵DFDE,

∴BFDE为◇.

【证法五】先证△ABF≌△CDE,再证AECF为◇,进而证EF与DB互相平分,可证.

一、填空题

1.82.

3.540°·（n-2）·180°4.360°85.120°96.70°7.

107°和73°8.120°互相平分9.95°100°90°75°10.10

cm215.198cm2

二、选择题

1.A2.C3.C4.D5.D6.B7.A8.D9.B10.B11.D12.C13.B14.D

15.C

三、计算、证明题

1.【解】∵AE为∠ABC的平分线

∴∠ABE=∠CBE

又∵AD∥BC∴∠CBE=∠AEB

∴∠ABE=∠AEB

∴AB=AE

AE=AB=6cm，AD=BC=10cm

∴DE=AD-AE=4cm.

2.【解】∵ABCD为平行四边形

∴CO=AO=

AC=14cm

BO=DO=

BD=12cm

AD=BC=24cm

∴C△BOC=BC+C0+OB

=14+24+12

=50cm.

3．【解】∵BE⊥DC，AB∥DC

∴BE⊥AB

又∵∠EBF=60°

设AF=x，则Rt△ABF中，AB=2x

x2+32=（2x）2

∴

∴S

=

cm.

4.【解】C△AOB=AB+BO+OA

C△BOC=BC+CO+OB

又OA=OC

∴C△AOB-C△BOC=BC-AB=10cm

设AB=x则BC=x+10

2（x+x+10）=120

x=25

∴AB=25,BC=35.

5.【解】∵DE⊥AB，AE=EB

∴AD=BD

∴C

=2AD+2AB=7.6cm

C△=2AD+AB=7.6-2=5.6cm

解之得AB=2，AD=1.8

∴各边长分别为2，1.8，2，1.8.

6.【解】由已知可得∠DAF=30°

又∵∠AFD=90°，DF=3

∴AD=6

类似可得AB=4，

∴周长为2（AD+AB）=20.

7.【证明】∵BE∥DF

∴∠1=∠ECD

又∠1=∠2∴∠ECD=∠2

∴EC∥AF

又AE∥CF

∴AFCE为平行四边形

∴AE=CF.

8.【证明】∵∠ADB=∠DBC

∴AD