高中数学函数最值的求解方法.docx
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高中数学函数最值的求解方法
函数最值的解法及其在生活中的应用
(渭南师范学院数学与信息科学学院数学与应用数学专业11级2班)
摘要:
函数最值问题是现在高中数学课程中的重要组成部分,也是高考考查的重要内容之一,在高考中占有比较重要的地位.但由于最值问题综合性较强.解法比较灵活.所以对各方面知识及选择何种解题方法方面都有较高的要求.本文主要对函数最值问题进行研究,探讨各种不同的求解方法,阐述函数最值问题研究的重要性,得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.
关键词:
函数;最值;解法
1绪论
函数是高中数学的主体内容,贯穿于整个高中阶段,而函数最值问题是函数的重要内容之一.解决函数最值问题就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化的过程,虽然解决问题的具体方法不完全相同,但就其思维模式来说,一般是将待解决的问题进行一次次的转化,直至划为一类很容易解决或已解决的问题,从而获得原问题的解答.
函数最值问题是一类特殊的数学问题,它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用,而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置,是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一.由于其综合性强,解法灵活,因此解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种所学知识技巧,选择合适的解题方法.
函数最值的定义:
一般地,函数的最值分为最小值和最大值:
设函数yfx的定义域为T,
x0T,且在x0处的函数值是fx0
如果对于定义域T内任意X,不等式fXfXo都成立,那么fXo叫做
函数yfx的最小值,记作yminfx0;
如果对于定义域T内任意X,不等式fXfx0都成立,那么fx0叫做
函数yfX的最大值,记作ymaXfXo.
函数的最值一般有两种特殊情况:
(1)如果函数f(xo)在[a,b]上单调增加(减少),则f(a)是f(x)在[a,b]上的最小值(最大值),f(b)是f(x)在[a,b]上的最大值(最小值).
(2)如果连续函数f(xo)在区间(a,b)内有且仅有一个极大(小)值,而没有极小(大)值,则此极大(小)值就是函数在区间[a,b]上的最大(小)值.
2函数最值的求解方法探究中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础,因此最值问题历来是各类考试的热点。
利用中学数学知识解决最值问题方法很多,如定义法、导数法、配方法、消元法、数形结合法、以及不等式的证明等等,选择合适的方法才能让问题迎刃而解.
定义法
利用定义解决函数最值的相关问题时,其重要的一点就是要把握定义的内涵,准确地加以应用!
需要注意的是:
函数一定有值域,但不一定有最值.
例1设函数fx的定义域为R,下列命题中正确的是:
(1)若存在常数P,使得对任意xR,有fxP,则P是函数fx的最小值;
(2)若存在xoR,使得对任意的xR,有fxfxo,则fX。
是函数fx的最小值;
(3)若存在xoR,使得对任意的xR,且xxo有fxfxo,则fxo是函数fx的最小值;
解析根据函数最小值的定义知,
(1)是假命题:
虽然满足最小值定义中的任意性,但不满足存在性,故错误
(2)(3)正确:
实质上,它们是等价命题,都满
足最值定义中的两个条件导数法
求函数f(x)
x3
6x2
15x5在
6,3的最值
解Tf(x)
x3
6x2
15x5,
•-f'(x)
3x2
12x
15
令f'(x)
3x2
12x
15=3(x
1)(x5)=0
解得x1
1,x2
5
f685,
f
5
105,f1
3,f3
例2
41
可知
比较得
maxx105,fminx
-3.
单调性法
闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的
极值,而极值又来源于f'(x)0的根处的函数值.所以建议求可导函数在闭区间[a,b]上的最值可分以下两步步骤进行:
1.求函数的导数;
2.求函数在[a,b]内令f'(x)0的x的值(称之为”驻点”);
3.判断驻点左右两侧f'(x)的正负,以此判断函数曲线的走向(f'(x)0为上
升,f'(x)0为下降),左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值,反之为
极小值;
4.如果函数驻点较多,分段讨论,并可以列表、画图表达;
5.求最大值,将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较,取最大
的,则为最大值.最小值亦然。
判别式法
对于某些特殊形式的函数的最值问题,经过适当变形后,使函数f(x)出现
在一个有实根的一元二次方程的系数中,然后利用一元二次方程有实根的充要条
件0来求出f(x)的最值.
例3
配方法
般可用此法
如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题,求解.
4
3
22
一即xlog2-,f(x)取得最大
33
例3求f(x)2x23g4x在区间[1,0]内的最值.
解:
配方得f(x)2x23g4x3(2x2)2
3
因为x[1,0],所以丄2x1,从而当2x
2
值4;当2x1即x0时f(x)取得最小值1.
消元法
在求多元函数最值的条件中#若能由条件中的多元关系解出某些变量,则可考虑通过代入消元法#把多元函数问题转化为一元函数来解决,以达到简化的目的!
例4已知x22y23x,求u2x2寸x的最大值
将①代入u2x2y2x化为一元函数,再用配方法即可求得。
数形结合求最值
数形结合法是一种重要的解题方法#其核心就是利用函数的几何意义把函
数的最值问题转化为几何问题来解决!
此法直观性较强#易于理解#有一定的灵活性且常有化难为易的神奇效果。
例5已知直线xy30,求函数S..(x1)2y2+(x1)2y2的最
值•
解此题的几何意义是在直线xy30上求一点M,使得M到点
(1,0),(1,0)的距离之和最小•(如下图3—1)
设:
点代B的坐标分别为(1,0),(1,0),直线I的方程为xy30.由几何光学原理知当点光源从A射出后,经镜面I反射到点B,这时|AM||BM||NB就是所求的最小值.
设点B关于光线l的对称点为N(x「yj,于是
Smin=AMBMNB,由
y1o.
X11
X11y1
解得x13,y12
所以SminAMBMNB
(31)2(20)2
换元法求最值
换元变换是一种重要的数学变换#在数学中有着广泛的应用!
正确而灵活地
运用换元法可使问题化繁为简,化难为易。
例6设x2xyy212,求x2y2的最值.
解xrcos,yrsin(为参数),则
222/2
xxyyr(coscossin
sin
2)
21
=r2(1-sin2)12
2
从而x2y2r2(cos2sin2)=r2
12
1
1
sin2
2
因-1sin21,
当sin21(即xy2)时,故(x2y2^8;
当sin21(即xy2、3)时,故(x2y2)max24.
最值不等式的证明
定理设f(x)mxmaxbxc(a0,m1,mN)若非负整数k满足:
(1)ak2bkclogm[(2akb)]k0,
(2)ak2bkcZ,
那么有
(I)满足条件
(1)的k值是唯一的;
2
(II)当xk时,的最小值为f(x)minf(k)mkmakbkc.
2
例7证明2x32x6,(xR).
22
证令x3x,那么2x32x2x2x6x9f(x),
这里m2,a1,b6,c9.由条件
(1)可得
k26k9log2(62k)k0
••
kZ,若方程k26k9
log2(62k)k0有解,
必须满足
62k
2P(pZ),
由
此可知k
的取值只能是
1,2.
经过验证只有k
2是方程
k26k
9log2(6
2k)k0的解,且ak2
2
6kc2629
1Z,满
足条件
(2),故由结论(II),可得
2
f(X)m.f
(2)22226296,
2
即2x32x6,成立•
注文中定理利用高等数学知识可推广为:
定理设f(x)mxmaXbxc(m1,a0),若存在常数k满足
ak2bkclogm[(2akb)]k0
2
那么f(x)minf(k)mkmakbkc.
3求解函数最值时应注意的一些问题
注意定义域
求最值问题的时候,在求解的过程当中,要注意观察定义域的变化情况,首先看到题目的时候,应该先把确定函数的定义域;在解题过程中,当函数变形时应注意定义域是否发生改变,如果引入新变量也应该确定新变量的取值范围,以免在后面的求解过程中出现错误;在解题结束时,必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内
例求函数y二丄兰的最值.
x-2
错解:
将y二X两边同时平方并去分母得y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.x-2
因为x?
R,所以D=(4y2-1)2-4y2(4y2-1)?
0,化简得4y2£1.
1111
所以-2#y2,故ymin=-2,ymax=•
分析:
这个答案致错原因是两边平方及去分母,使函数的定义域扩大了•
正解:
将y=1-;两边平方并去分母,得y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.
因为x?
R,所以D=(4y2-1)2-4y2(4y2-1)?
0,化简得4y2£1.
11
所以--#y-,注意到原函数的定义域是x£1,则有.1-x?
0,x-2<0,于
22
是必有y£0.
所以-1#y0,故ymin=-1,ymax=°■
22
注意值域
求函数的最值,不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉,而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化.
参考文献
[1[1]方晓华,吴凤香,黄宝存.函数最问题的解法探讨.金华职业技术学院学报,2002,2
(2).
[2]潘玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].南阳师范学院学报,2005(9).
[3]戴宝尔,李杏莲.初等方法求解函数最值问题[J].科技资讯,2008(20).
[4]戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法[J].2011(11)]
⑸人民教育出版社中学教学室.数学第三册必修l[M].北京:
人民教育出版社,2006:
50-51.
⑹袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方案第5次[M].北京:
科学出版社,2005:
45-47.
[7]陈传理,张同君.数学建模教程第二版[M].北京:
高等教育出版社,2005:
149.
[8]周汉良.数学规划及其实用[M].超星数字图书馆,1995:
56-60.
[9]人民教育出版社中学教学室.数学第三册必修l[M].北京:
人民教育出版社,2006:
50.
[7]董国阳.关于求函数最值问题的探讨[J].2011(11).
[13]张维进.一类指数函数最小值的初等求法[J].电子学报,1999,
(2).
Discussiononthefunctionmostvalueintheapplicationof
life
YangJing
(WeinanTeachersUniversity,ShanxiWeinan)
Abstract:
Applicationofmathematicsisanimportanttaskintheteachingofmathematics.Thispaperwillthroughthedefinitionofthevaluefunctionandthemethodofsolvingthemostvalue,thevalueofthefunctionandsystem,whichisanimportantandbasicpropertiesandfunctions,whichmadepeoplerealizethefunctionmostvaluequestionhasacloserelationshipwiththeactualtheproblem.Finally,thevaluefunctioncanusetheknowledge,tosolvetheproblemsinreallife.
Firstly,thevaluefunctionandthevaluefunctionofthedefinitionofrelatedtheory.Andgiventhevaluefunctionandtherelationshipbetweenthe(lower)bound;secondly,givessomemethodstosolvethevaluefunction(suchasthevalueof
thederivativeofgeneralmethod,eliminationmethod,
combinationmethod,substitutionmethod,andtoproveinequalityetc.);andthenusethesesomeoftheproblemsinreallife(forexample,tosolvetheminimumcostmaximumprofit,thefastestspeed,etc.)andthelifeofsomeofthemostvalueofsomephenomenon;thelastisasummaryofthevaluefunctionoftheactuallifeplayedacertaineffectofthevaluefunction,andthenthefurtherdevelopmentandresearchofthepositiverole.
Thispaperrelatestotheapplicationcanbedividedintothefollowingseveralpoints:
1thevalueofapplicationinreallife;
2thevalueoftheapplicationinEconomicsKeywords:
mostvalue;application.
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