第五单元四边形四边形中的证明与计算解答题巩固集训试题.docx
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第五单元四边形四边形中的证明与计算解答题巩固集训试题
第五单元 四边形
四边形中的证明与计算解答题巩固集训
(建议答题时间:
50分钟)
1.(2017河池)
(1)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证AE=BF;
(2)如图②,将
(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.
第1题图
2.(2017呼和浩特改编)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC,点O是对角线AC的中点,过点O作EF⊥AC交AD于E,交BC于F.
(1)求证:
DE=BF;
(2)若∠B=30°,四边形AFCE的面积为6,点M在AB上且BM∶AM=1∶2,连接MF,求△BMF的面积.
第2题图
3.(2017台州模拟)已知:
如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.
(1)求证:
AE=ED;
(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.
第3题图
4.已知:
如图,四边形ABCD是正方形,∠PAQ=45°,将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N,连接MN.
(1)求证:
△ABM∽△NDA;
(2)连接BD,当∠BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.
第4题图
5.(2018原创)
(1)如图①,平行四边形ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC于E,将三角形ABE沿射线BC方向平移,使得点B与点C重合,得到△DCE′.猜想四边形AEE′D的形状,并说明理由;
(2)如图②,若点F在EE′上,且EF=4,将△AEF沿EE′方向平移,得到△DE′F′.
①求证:
四边形AFF′D是菱形;
②求AF′的长.
第5题图
6.如图,△ABC中,∠BCA=90°,CD是边AB上的中线,分别过点C,D作BA,BC的平行线交于点E,且DE交AC于点O,连接AE.
(1)求证:
四边形ADCE是菱形;
(2)若AC=2DE,求sin∠CDB的值.
第6题图
7.(2017遵义)边长为2
的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合).连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.
(1)连接CQ,证明:
CQ=AP;
(2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式,并求当x为何值时,CE=
BC;
(3)猜想PF与EQ的数量关系,并证明你的结论.
第7题图
答案
1.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,
∴∠ABM+∠CBF=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠BAM+∠ABM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∴△ABE≌△BCF(ASA),
∴AE=BF;
(2)3AE=2BF.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠C=90°,
∴∠ABM+∠CBF=90°,
∵AE⊥BF,
∴∠ABM+∠BAM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∴△BAE∽△CBF,
∴
=
=
,
即3AE=2BF.
2.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,
∵O是AC的中点,
∴AO=CO,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,
∴DE=BF;
(2)解:
∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠ACB=∠B=30°,∠BAC=120°,
∵EF⊥AC,AO=CO,
∴AF=FC,
∴∠FAC=∠FCA=30°,
∴∠BAF=90°,
∴BF=2AF=2FC,
∴S△ABF=2S△AFC,
由
(1)知AE=CF,又AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴S▱AFCE=2S△AFC=6,
∴S△ABF=6,
∵BM∶AM=1∶2,
∴S△BMF=
S△ABF=2.
3.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵点F在CD的延长线上,
∴AB∥DF,
∵DF=CD,∴AB=DF,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴AE=DE;
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠COD=90°,
∵四边形ABDF是平行四边形,
∴AF∥BD,
∴∠CAF=∠COD=90°.
4.
(1)证明:
如解图①,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°,AB=AD,
∵∠PAQ=45°,
∴∠1+∠2=45°,
∵ND平分∠FDC,MB平分∠EBC,
∴∠EBM=∠FDN=45°,
∴∠ABM=∠ADN=135°,
∴∠2+∠3=45°,
∴∠1=∠3,
∴△ABM∽△NDA;
(2)当∠BAM=22.5°时,四边形BMND为矩形.
理由:
如解图②,连接BD,
∵∠1=22.5°,∠EBM=45°,
∴∠4=22.5°,
∴∠1=∠4,∴AB=BM,
同理AD=DN,
∵AB=AD,∴BM=DN,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
∴∠BDN=∠DBM=90°,
∴∠BDN+∠DBM=180°,
∴BM∥DN,
∴四边形BMND为矩形.
图①
图②
第4题解图
5.
(1)解:
矩形;
理由:
∵△ABE平移得到△DCE′,∴△ABE≌△DCE′,∴BE=CE′,∴BE+EC=EC+CE′,即BC=EE′.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=EE′,即ADEE′,∴四边形AEE′D是平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠EAD=∠AEC=90°,∴四边形AEE′D是矩形;
(2)①证明:
∵AF=DF′,
∴四边形AFF′D是平行四边形,
由
(1)易得,AE=3,又EF=4,∠E=90°,∴AF=5,
又∵AD=5,
∴AD=AF,
∴四边形AFF′D是菱形;
②解:
如解图,连接AF′、DF,
在Rt△AEF′中,AE=3,EF′=EE′+E′F′=AD+EF=9,
∴AF′=
=3
.
第5题解图
6.
(1)证明:
∵DE∥BC,CE∥AB,
∴四边形DBCE是平行四边形,
∴CE=BD,
又∵CD是边AB上的中线,
∴BD=AD,
∴CE=DA,
又∵CE∥DA,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵∠BCA=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴AD=CD,
∴四边形ADCE是菱形;
(2)解:
如解图,过点C做CF⊥AB于点F,
由
(1)可知,BC=DE,
设BC=x,则AC=2x,
在Rt△ABC中,AB=
=
x,
∵
AB·CF=
AC·BC,
∴CF=
=
x,
∵CD=
AB=
x,
∴sin∠CDB=
=
.
第6题解图
7.
(1)证明:
由题意知BP=BQ,∠PBQ=90°,
在正方形ABCD中,AB=CB,∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠PBQ,
∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,即∠ABP=∠CBQ,
在△ABP和△CBQ中,
,
∴△ABP≌△CBQ(SAS),
∴CQ=AP;
(2)解:
在正方形ABCD中,AC为对角线,
∴∠BAP=∠PCE=45°,
由旋转可知△PBQ为等腰直角三角形,
∴∠BPQ=∠PQB=45°,
在△ABP中,∠BPC=∠BAP+∠ABP=45°+∠ABP,
又∠BPC=∠BPQ+∠CPE=45°+∠CPE,
∴45°+∠ABP=45°+∠CPE,即∠ABP=∠CPE,
又∠BAP=∠PCE,
∴△BAP∽△PCE,
∴
=
,
在等腰Rt△ABC中,AB=2
,
∴AC=4,
又AP=x,CE=y,
∴CP=4-x,
∴
=
,即y=-
x2+
x,
当CE=
BC时,即CE=y=
×2
=
,
∴
=-
x2+
x,解得x1=1,x2=3;
(3)猜想:
PF=EQ,
证明:
①当点F在线段AD上时,如解图①
在CE上取一点H,使HQ=EQ,则∠QEH=∠QHE,
在正方形ABCD中,∵AD∥BC,
∴∠DFE=∠QEH,
∴∠DFE=∠QHE,
∴180°-∠DFE=180°-∠QHE,即∠AFP=∠CHQ,
由
(1)知△ABP≌△CBQ,AP=CQ,∠BAP=∠BCQ=45°,
∴∠FAP=∠BAP=∠BCQ=45°,
在△AFP和△CHQ中,
,
∴△AFP≌△CHQ(AAS),
∴FP=HQ,
又HQ=EQ,
∴FP=EQ;
②当点F在线段AD延长线上时,如解图②
在BE上取一点H,使HQ=EQ,
同理可证△AFP≌△CHQ(AAS),得FP=EQ.
第7题解图
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