九年级数学第二章 小结与复习.docx
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九年级数学第二章小结与复习
九年级数学第二章小结与复习
【本讲教育信息】
一.教学内容:
第二章小结与复习
【教学目标】
1.了解命题的概念,知道什么是命题,真命题、假命题、逆命题,能区分命题的题设和结论,会把一个命题写成“如果……,那么……”的形式。
2.了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别,能举例将所学过的定理、公理进行说明,能较准确地表达学过的定义、定理等。
3.了解证明的必要性、公理的方法,综合证明的格式,理解推理中要步步有据,会根据题意画出图形,写出已知、求证,并完成一个简单命题的证明。
4.通过举反例判定一个命题是假命题,能掌握用反证法证明的思想方法。
二.重点、难点:
1.教学重点:
理解证明的必要性;了解定义、命题的概念并会判断真假命题,理解本节所给出的公理及相关定理。
2.教学难点:
对证明的逻辑推理过程要熟练掌握,并能较严密地写出证明过程。
3.思想方法:
经历探索、猜测、证明的过程,体会证明的必要性,发展学生初步的演绎推理能力;分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化,已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。
三.主要内容:
(一)本章知识结构图
(二)基本内容
1.理解推理证明的必要性
2.定义:
对一个概念的特征本质的描述,称为它的定义。
3.命题:
(1)定义:
判断一件事情的句子,叫做命题。
(2)结构:
每个命题都由条件和结论两部分组成。
命题一般可以写作“如果……,那么……”或“若……,则……”的形式。
(3)分类:
命题包括真命题和假命题两类。
4.公理、定理、证明:
人们在长期实践中总结出来的公认的真命题,称为公理。
通过推理论证、判断其为真命题,称为定理。
推理的过程叫做证明。
5.命题与逆命题:
两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
任何一个命题都有其逆命题,但一个真命题的逆命题不一定是真命题,所以,不是所有的定理都有其逆定理。
6.证明的一般步骤:
(1)弄清题意,能正确画出图形。
(2)根据题意和图形,写出“已知”和“求证”。
(3)条理清晰地写出证明过程。
(4)检查表达过程是否正确、完善。
【典型例题】
例1.请写出下列命题的逆命题,并判断是真命题还是假命题。
(1)直角都相等。
(2)如果两个数中有一个数是正数,那么这两个数之和是正数。
(3)对角相等的平行四边形是矩形。
分析:
写逆命题应先弄清命题的条件和结论。
解:
(1)相等的角是直角。
(假命题)
(2)如果两个数之和是正数,那么两个数中有一个数是正数。
(真命题)
(3)矩形是对角相等的平行四边形。
(假命题)
说明:
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。
例2.有一次四人游泳比赛,比赛前,四名选手A、B、C、D进行预测性会谈,A说:
“我肯定得第一名”,B说:
“我绝对不会得最末名”,C说:
“我不可能是第一名,也不会得最后一名”,D说:
“那只有我是最末的!
”。
经过比赛成绩揭晓,发现他们之中只有一位预测错误,请指出是哪一位选手?
分析:
我们先将四人谈话内容列出表格,再来讨论。
解:
从表中可看出D没有估计错误。
如果D预测错误,那么自然另有一个选手预测错了,否则就不会出现最末名;如果C预测错误,则他在这次比赛中应得第一名或第四名,但在此情况下,第一名和第四名已分别由A和D占据;如果B预测错误,则他只能是第四名,这里D也成了预测者,但按条件,预测错误的只有一人。
因此预测错误的只能是A,他应是第二名或第三名。
这样,名次可能是:
(1)第一名:
B,第二名:
A,第三名:
C,第四名:
D;
(2)第一名:
B,第二名:
C,第三名:
A,第四名:
D。
这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力,让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值,同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。
例3.有一矩形钢板ABNM,现加工成零件形状,如图,按规定∠ADE、∠BCE应分别是45°和55°,检验工人量得∠DEC=95°,就非常肯定地判定这个零件不合格,你能说明这是为什么吗?
分析:
这也是一道训练逻辑思维的题目,零件是否合格、取决于角度之间是否相等。
即若∠ADE+∠BCE=∠DEC,则零件合格,否则零件不合格。
解:
过E作EF∥AD
∴∠ADE=∠FED
又AM∥BN,∴EF∥BC
∴∠FEC=∠ECB
现量得∠DEC=95°
∴这个零件不合格
例4.如图,已知AB∥CD,EF交CD于H,交AB于I,EG⊥AB,垂足为G,若∠GHE=125°,求∠FEG的度数。
分析:
略
解:
∵AB∥CD,∠CHE=125°(已知)
∴∠AIE=∠CHE=120°
又EG⊥AB(已知)
∴∠EGI=90°(垂直定义)
又∠AIE是△EIG的一个外角
∴∠AIE=∠FEG+∠EGI
例5.证明:
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。
已知:
如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,对角线AC⊥BD。
求证:
四边形EFGH是矩形。
分析:
要证四边形EFGH是矩形,先需证明它是平行四边形。
由于E、F、G、H分别是各边中点。
由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形,再根据AC⊥BD去证明EFGH中有一个角为直角即可。
证明:
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点(已知)
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD,EF∥AC
∴∠1=90°
又EH∥BD(三角形中位线定理)
∴∠2+∠1=180°
即∠2=90°
∴四边形EFGH是矩形
例6.先阅读第
(1)问的题目及证明过程,然后完成
(2)问的问题。
(1)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E为CD中点。
求证:
AE⊥BE
证明:
过点E作EF∥BC交AB于F
∵E是CD的中点
∴F是AB的中点
∴EF是梯形ABCD的中位线
(2)在第
(1)题的证明过程中,第_________步(填写
(1)题中证明步骤中的序号),我们用到了定理:
“如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
”
现在请你证明这个定理(要求写出已知、求证和证明)。
解:
本题
(1)中第<4>步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
”,证明如下:
求证:
△ACB是直角三角形。
分析:
略
证明:
∵CD是AB边上的中线
即∠ACB=90°
∴△ACB是直角三角形
说明:
这类阅读理解题近年来越来越常见,主要考查同学们阅读理解和自学能力,希望同学们加强这方面的训练。
【模拟试题】(答题时间:
70分钟)
一.选择题。
1.给出下列语句:
(1)连结AB并延长到C;
(2)对顶角不相等;
(3)求线段AB的长度;
(4)全等三角形的周长相等。
其中是命题的有()
A.仅有(4)
B.
(2)(4)
C.
(2)(3)(4)
D.
(1)
(2)(3)(4)
2.下列命题中是真命题的是()
A.同位角相等
B.两条直线或者相交,或者平行
C.同旁内角相等,两直线平行
D.在同一平面内,过一点能作且只能作一条直线与已知直线垂直
3.下列命题正确的有()
(1)若
,则
;
(2)若∠1=30°,∠2=30°,则∠1=∠2;
(3)若
,则∠1=∠2;
(4)两条直线相交,有且只有一个交点。
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.“两直线相交成直角,称这两条直线互相垂直”是()
A.公理B.定理C.定义D.命题
5.下列命题的逆命题是假命题的是()
A.平行四边形的对角线互相平分
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.若
,则
D.矩形的对角线相等
6.如图,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,AB∥CD,则∠AEC的度数为()
A.70°B.80°C.180°D.90°
7.正方形具有而菱形没有的性质有()
A.对角线互相平分
B.每一条对角线平分一组对角
C.对角线相等
D.对边相等
8.已知:
如图,∠ADB=∠ACB=90°,AD=BC,AC与BD交于O,有下列结论:
(1)AC=BD;
(2)∠DBC=∠CAD;
(3)AO=BO;(4)AB∥CD。
其中正确的是()
A.
(1)
(2)(3)B.
(2)(3)(4)
C.
(1)
(2)(4)D.
(1)
(2)(3)(4)
9.如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于E,给出三个论断:
(1)DE=EF;
(2)AE=CE;(3)FC∥AB
以其中一个论断为结论,另两个论断为条件,可得出三个命题,其中正确的命题个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
10.如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,AP平分∠DAB,PB平分∠ABC,点P恰在DC上,下面的结论:
(1)AP⊥BP;
(2)PD=PC;(3)点P到直线AD、BC的距离相等。
其中正确的结论是()
A.
(1)
(2)(3)B.
(1)(3)
C.仅
(1)D.仅(3)
二.填空题。
1.把命题“平行四边形两组对边分别相等”改写成“如果……,那么……”的形式是_____________________________。
2.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是_____________________________,结论是_________________________________。
3.给出定理:
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题:
________________
____________________________________________。
4.如图,△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠A=70°,则∠BEC=___________。
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,
,D为AB的中点,DE⊥AC于E,则△CDE的周长为___________。
6.已知正数a和b,有下列命题:
(1)若
,则
;
(2)如果
,则
;
(3)如果
,则
。
根据以上三个命题所提供的规律写出一个命题:
若
,则
___________,这个命题是__________命题(填“真”或“假)。
三.解答题。
1.举反例说明下列命题是假命题。
(1)两个无理数的和仍是无理数。
(2)互补的两个角一个是锐角,一个是钝角。
2.求证:
等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端的距离相等。
3.如图,在矩形ABCD中,F是BC边上一点,AF的延长线交DC延长线于G,DE⊥AG于E,且DE=DC,根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论。
4.用反证法证明:
一个三角形中,不能有两个角是直角。
5.A、B、C三人在一起争论一个问题时,A指责B说谎话,B指责C说谎话,C指责A和B都说谎话,现请你推测一下,到底谁说真话?
谁说谎话?
6.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD,把一个含60°角的三角尺与菱形ABCD叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合,将三角尺绕点A逆时针旋转。
(1)当三角尺两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时[如图
(1)],通过观察或测量BE、CF的长度,你能得出什么结论?
并证明你的结论。
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时[如图
(2)],你在
(1)中得到的结论还成立吗?
简要说明理由。
试题答案
一.选择题。
1.B2.D3.D4.C5.D
6.D7.C8.D9.D10.A
二.填空题。
1.如果一个四边形是平行四边形,那么它的两组对边分别相等。
2.条件:
两个角是邻补角,结论:
它们的平分线互相垂直。
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
4.125°
5.
6.
,真
三.解答题。
1.
(1)如:
两个无理数分别为
和
,则
,是有理数。
(2)如:
,但这两个角为直角。
2.已知:
如图△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于点O。
求证:
OB=OC
提示:
先证△BCE≌△CBD,得∠OBC=∠OCB即可。
3.提示:
△ADE≌△FAB(DE=DC=AB,∠AED=∠B=90°,∠DAE=∠BFA,利用AD∥BC可得。
)
4.已知:
△ABC中
求证:
△ABC中不能有两个直角
证明:
假设△ABC中能有两个角是直角
不妨设∠A=∠B=90°,则∠A+∠B=180°
∴∠A+∠B+∠C>180°
这与“三角形三内角和等于180°”相矛盾。
∴假设△ABC中能有两个角是直角不成立
∴△ABC中不能有两个直角
5.B说真话,A和C说谎话。
6.
(1)如图
(1),BE=CF
提示:
证△ABE≌△ACF(ASA)
(2)如图
(2),BE=CF
证明:
∵△ABC、△ACD为等边三角形
∴AC=AD,∠ACB=∠ADC=60°
∴∠ACE=∠ADF=120°
又∠CAD=∠EAF=60°
∴∠CAE=∠DAF(等量减等量)
∴△ACE≌△ADF(ASA)
∴CE=DF
∴CE+BC=DF+CD
即BE=CF
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