上海市华师大二附中学年上期高二数学期末试题及答案解析WORD版.docx
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上海市华师大二附中学年上期高二数学期末试题及答案解析WORD版
上海市华师大二附中2018-2019学年
上期高二数学期末试卷
一、选择题(本大题共4小题,共16.0分)
1.关于x,y的二元一次方程组,其中行列式Dx为( )
A.B.C.D.
2.使复数z为实数的充分而不必要条件为( )
A.为实数B.为实数C.D.
3.下列动点M的轨迹不在某一直线上的是( )
A.动点M到直线和的距离和为3
B.动点M到直线和的距离和为2
C.动点M到直线和的距离差为4
D.动点M到点和到的距离相等4
4.在平面直角坐标系xOy中,已知两圆C1:
x2+y2=12和C2:
x2+y2=14,又点A坐标为(3,-1),M、N是C1上的动点,Q为C2上的动点,则四边形AMQN能构成矩形的个数为( )
A.0个B.2个C.4个D.无数个
二、填空题(本大题共10小题,共40.0分)
5.在平面解析几何中,直线的倾斜角θ的取值范围为______.
6.抛物线y=-2x2的准线方程为______.
7.若复数z满足z=(1+2i)(3-4i),(i是虚数单位),则=______.
8.若,(i是虚数单位),则a2+b2=______.
9.设点(x,y)位于线性的约束条件所表示的区域,则目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值______.
10.若方程表示椭圆,则k的取值范围是______.
11.已知直线ax+by+c=0与圆:
x2+y2=1相交于A、B两点,且,则=______.
12.已知F1,F2分别是椭圆的两焦点,点P是该椭圆上一动点,则的取值范围为______.
13.若圆x2+y2=R2(R>0)和曲线恰有六个公共点,则R的值是______.
14.已知2a+b-ab=0(a>0,b>0),当ab取得最小值时,曲线上的点到直线的距离的取值范围为______.
三、解答题(本大题共4小题,共42.0分)
15.已知复数(i是虚数单位)
(1)复数z是实数,求实数m的值;
(2)复数z是虚数,求实数m的取值范围;
(3)复数z是纯虚数,求实数m的值.
16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A,与右支交于点B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求k的取值.
17.已知F1、F2为双曲线:
的左、右焦点,点P在双曲线上,点Q在圆C:
x2+(y-3)2=4上.
(1)若|PF1|+|PF2|=8,求点P的坐标;
(2)若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点,求直线l的方程.
18.已知椭圆¬:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),M点的坐标为(0,b),O为坐标原点,△OMF是等腰直角三角形.
(1)求椭圆¬的方程;
(2)设经过点C(0,2)作直线AB交椭圆¬于A、B两点,求△AOB面积的最大值;
(3)是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为△PQM的垂心(垂心:
三角形三边高线的交点)?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.C
【解析】
解x,y的二元一次方程组
,系数行列式:
Dx=
.
故选:
C.
利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.
本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.
2.D
【解析】
解:
设复数z=a+bi(i是虚数单位),则
复数z为实数的充分必要条件为b=0
由此可看出:
对于A,z2为实数,可能z=i是纯虚数,没有充分性,故不符合题意;
对于B,同样若z是纯虚数,则z+
=0为实数,没有充分性,故不符合题意;
对于C,若z=a+bi,
=a-bi,z=
等价于b=0,故是充分必要条件,故不符合题意;
对于D,若|z|=z≥0,说明z是实数,反之若z是负实数,则|z|=z不成立,符合题意.
故选:
D.
一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0,根据这个充要条件对各个先项加以判别,发现A、B都没有充分性,而C是充分必要条件,由此不难得出正确的选项.
本题考查了复数的分类,共轭复数和充分必要条件的判断,属于基础题.熟练掌握书本中的复数有关概念,是解决本题的关键.
3.A
【解析】
解:
直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为:
=3,所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3,动点的轨迹是平行线之间的区域.满足题意.
动点M到直线(1,0)和(-1,0)的距离和为2,是两点之间的线段,轨迹在一条直线上,所以B不正确;
动点M到直线(0,2)和(0,-2)的距离差为4,是两条射线,在一条直线上,所以C不正确;
动点M到点(2,3)和到2x-y-1=0的距离相等4,动点M的轨迹是经过(2,3)与直线垂直的直线,所以D不正确;
故选:
A.
利用平行线之间的距离,判断选项A的正误;利用两点间距离个数判断B的正误;轨迹方程判断C,D的正误;
本题考查轨迹方程的求法,考查分析问题解决问题的能力.
4.D
【解析】
解:
如图所示,任取圆C2上一点Q,
以AQ为直径画圆,
交圆C1与M、N两点,
若MN=AQ,即可得出四边形AMQN是矩形,
由Q的任意性知,四边形AMQN能构成无数个矩形.
故选:
D.
根据题意画出图形,结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个.
本题考查了两圆的位置关系应用问题,是难题.
5.[0,π)
【解析】
解:
直线的倾斜角θ的取值范围为[0,π).
故答案为:
[0,π).
直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可.
本题考查了直线的倾斜角的范围,是基础题.
6.y=
【解析】
解:
抛物线y=-2x2即为x2=-
y,
由x2=-2py的准线方程y=
,
由x2=-
y,可得p=
,
可得所求准线方程为y=
.
故答案为:
y=
.
先将抛物线的方程化为标准方程,再由x2=-2py的准线方程y=
,计算即可得到所求方程.
本题考查抛物线的准线方程的求法,注意将方程化为标准方程,考查运算能力,属于基础题.
7.
【解析】
解:
z=(1+2i)(3-4i)=11+2i.
则
=
.
故答案为:
.
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,再由复数模的公式计算得答案.
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.
8.1
【解析】
解:
化简行列式如下:
=(a-i)(1+i)-1•(b-2i)=a+ai-i+1-b+2i=(a+1-b)+(a+1)i,
∵
=0
∴(a+1-b)+(a+1)i=0,
∴可得,方程组:
,
解得a=-1,b=0,
∴a2+b2=1,
故答案为1.
本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理,然后根据虚数的概念可算出a,b的值,答案即出.
本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念,不是太难,属基础题.
9.
【解析】
解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
(阴影部分).
由z=2x+y得y=-2x+z,
平移直线y=-2x+z,
由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线y=-2x+z的截距最大,
此时z最大.
由
,解得B(
,
),
代入目标函数z=2x+y得z=2×
+
=
.
即目标函数z=2x+y的最大值为
,
由
,解得C(
,
)
函数的最小值:
,
目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值:
.
故答案为:
.
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值与最小值,然后求解比值.
本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
10.
【解析】
解:
∵方程
表示椭圆,
∴
∴-
<k<1且k≠-1,
故答案为:
.
由题意列出不等式组,解不等式可求k的范围.
本题主要考查了椭圆的标准方程的应用,椭圆的简单性质的应用,属于基础试题.
11.
【解析】
解:
依题意可知角∠AOB的一半的正弦值,
即sin
=
所以:
∠AOB=120°
则
•
=1×1×cos120°=
.
故答案为:
.
直线与圆有两个交点,知道弦长、半径,不难确定∠AOB的大小,即可求得
•
的值.
初看题目,会被直线方程所困惑,然而看到题目后面,发现本题容易解答.本题考查平面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系.是基础题.
12.[-2,1]
【解析】
解:
由椭圆
,焦点知F1(-
,0),F2(
,0),设P(x,y),-2≤x≤2,
则
=(-
-x,-y)(
-x,-y)=x2+y2-3=
(3x2-8),
∵-2≤x≤2,
∴0≤x2≤4,故
∈[-2,1],
故答案为:
[-2,1].
求得椭圆的焦点坐标,利用向量的坐标运算,求得
=
(3x2-8),由-2≤x≤2,即可求得答案.
本题考查椭圆的简单几何性质,向量的坐标运算,一元二次函数的最值,考查计算能力,属于中档题.
13.3
【解析】
解:
圆x2+y2=R2(R>0)和曲线
恰有六个公共点,如图所示,此时R=3.
故答案为3.
可作出圆x2+y2=R2(R>0)和曲线
恰有六个公共点,根据图形判断即可.
本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
14.(0,]
【解析】
解:
∵2a+b-ab=0(a>0,b>0),
∴ab=2a+b≥2
,化为
(
-2
)≥0,
∴
≥2
,
解得ab≥8.
当且仅当b=2a=4时取等号.
∴曲线为
-
=1.
画出图形:
由图形可知:
直线y=
x分别是曲线
=1,曲线-
+
=1的渐近线.因此点到直线y=
x的距离d>0.
设直线y=
x+m与曲线
+
=1(x≥0,y≤0)相切.
联立化为
,
令△=8m2-16(m2-4)=0,解得m=-2
.
∴切线为y=
.
两平行线y=
,y=
x的距离d=
=
.
∴曲线
上的点到直线
的距离取值范围是(0,
].
故答案为(0,
].
利用基本不等式可得b=2a=4.再对x,y分类讨论,画出图形,利用直线与曲线相切的性质即可得出.
本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
15.解:
(1)若复数z是实数,则,得,
即m=5;
(2)复数z是虚数,则,即,
即m≠5且m≠-3;
(3)复数z是纯虚数,则,得,
即m=3,或-2
【解析】
(1)根据复数是实数得到虚部为零
(2)复数是虚数,则虚部不为零
(3)复数是纯虚数,则实部为零虚部不为零
本题主要考查复数的有关概念,根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键.
16.解:
(1)由直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1,得(3-k2)x2-2kx-2=0,
因为A.B在双曲线的左右两支上,所以3-k2≠0,<0,
解得-<k<;
(2)假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则kOA•kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,
∴x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0,
即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,
∴(k2+1)•+k•=0,
整理得k2=1,符合条件,
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