第八章位移法习题解答.docx

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第八章位移法习题解答

8-2、清华8-2c试用位移法计算图示结构，并作力图。

方法一：

列位移法典型方程

AB段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图

解：

（1）D处定向支座与AD段不平行，视为固定端。

直接可以画出来，DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。

结构只有一个转角位移法基本未知量。

基本结构如图（b）。

（2）建立典型方程:

（3）画基本结构的Mp、Mi的弯矩图：

如图（c）、（d）所示。

（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

k1110i;RpPl

Pi

（5）将系数，自由项代入典型方程得Z1。

Z1P-L

10i

（6）利用叠加法求各杆端的最后弯矩，如图（f）：

MMPM1乙

MAC

3i

PI

10i

0.3PI

（左拉）

MAD

4i

PI

10i

0.4PI

（上拉）Mda

PI

2i0.2PI（下拉）

10i

MAE

3i

PI

10i

0.3PI

（右拉）

方法二：

转角位移法

E

IF

EI

P]

l

DEI

EI

BL

F_5

D

SL

A

J

EI

C

I

l

L

JL

l

l

IA

（b）

解：

（1）确定结构的基本未知量。

有一个角位移

ziP

zi，如图所示（b）。

0.3P1

MAE

MadjaMabPl

1-0.4Pl

MAC0.2Pl

（c）i_03Pl

（e）

DA杆D端支座与杆轴线不平行，视为固定端。

mAb

Pl,

MABPl,MAC3iZ1,

Mae

3i

Z1:

>Mad4i

乙，Mda2in

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量

Z1:

M

10

MABMACMADMAE0

Pl

3i

乙4i乙

3i乙0z

（4）

将所求位移代回转角位移方程求各杆端力,

并作结构的弯矩图，如图

（c）所示。

mAb

Pl,

iMABPl>

MAC

3i乙

Pl

3i0.3Pl,Mae3i

3i

Pl

0.3Pl,

10i

10i

Mad

4iZ1

Pl

4i0.4Pl,Mda2i

Z1

2i

Pl

0.2Pl

10iDA

10i

讨论;

本题将

D处的滑动支座改为与杆轴线平行。

（2）列杆端的转角位移方程：

AB段剪力和弯矩静定,

Pl

10i

解：

（1）确定结构的基本未知量。

有一个线位移Z1,如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：

AB段剪力和弯矩静定。

MABPl,MABPl,MAC3iZ1,MAE3iZ1,MADiZ1,MDAiZ1

（3）根据刚结点的力矩平衡，列位移方程，求未知量

M0MabMACMadMae0

PI3iziz,3i乙

0z,

PI

7i

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图（c）所示。

mAbpi,Mabpi,

PI

3

PI

3

3i乙3i

PI,Mae

3i乙

3i

PI,

7i

7

7i

7

.PI

1

.PI

1°

iz（i

PI,MDA

iZ1

i

-PI

7i

7

7i

7

AC

Mad

类8-2d、试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。

解：

1）基本结构如图（b），有两个位移法未知量。

2）列典型方程：

kiizi

k12Z2

R|P

3）画基本结构在下述情况的弯矩图:

M1图以及只让刚臂2发生正的单

荷载单独作用下的MP图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的

位转角的M2图，如图（c）、（d）、（e）。

4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数:

（c）：

rip

25kNm;R2P

（d）:

5i;ki22i

（e）：

k21

2i;k2211i

5）将系数，

自由项代入典型方程得

275

50

51i

Z2

51i

0;

Z1、

Z2。

6）利用叠加法求各杆端的最后弯矩

如图（f）：

M

M

275

50

Mab

15

02i

17

（kN

m）

51i

51i

275

50

MBA

15

04i

11.1

（kN

m）

51i

51i

MBC

00

50

3i

2.9

（kNm）

MiZi

p

（左拉）

（左拉）

（上拉）

M2Z2

MBD

15

2i

MDB

15

4i

275

51i

275

51i

4i

2i

50

51i

50

51i

8.1（kN

34.6（kN

m）

m）

Mde

MED

275

51i

.275

i

51i

5.4（kNm）（下拉）

5.4（kNm）（下拉）

3、清华5-3a试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。

20kN/m

2m

rrrrm

L

D

E

EI=常数

原结构

A

1—"H

■t-

4m

清华题5-3（a）

（左拉）

（左拉）

解：

（1）DE段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。

结构有两个位移法基本未知量。

基本结构如图（b）。

（2）建立典型方程:

Rp

（3）画基本结构在下述情况的弯矩图:

Mi图以及只让附加连杆2发生正

荷载单独作用下的MP图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的

的单位线位移的M2图，如图（c）、（d）、（e）。

（4）禾9用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数:

R1P30kNm;R>P0；

⑸将系数，自由项代入典型方程得Z1、Z2。

空；塑

23i23i

1506i02i

23il

60l

23i

2.61（kNm）

（左拉）

1506i

04i

翌10.43（kNm）

（左拉）

23il

23i

150

303i

23i

10.43

（kNm）

（上拉）

20（kNm）

MDE

（上拉）

3i601

00

7.83

（kNm）

（左拉）

，如图（f）:

M

MAC

MCA

MCD

MDC

MBD

l23i

8-3c、试用位移法典型方程计算图示刚架，并做弯矩图，EI=常量。

解：

（1）外伸段剪力、弯矩是静定的，弯矩图、剪力图直接可以画出来。

结构有两个位移法基本未知量。

基本结构如图（b）。

（2）建立典型方程:

kiizi

k12Z2

R|P

_ii

120kN

C

EI=常数

A

■

原结构

■

4m

4mD

ji：

j

q

mT

m

k21

3（2i）JL

T

M1图

（d）

3i一

8i

k12、■

36.29

5.

B=

C

6（2i）

k22

（3）画基本结构在下述情况的弯矩图:

荷载单独作用下的MP图、只让刚臂

的单位转角的M2图，如图（c）、（d）、

k22

M2图

（e）

44.03

AM图

・kN・m）44-68

（f）

1单独转过正的单位转角的

Mi图以及只让附加连杆2发生正

（e）。

（4）利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数：

53104

4

（c）:

R）p

30kN%R2P

1026.875kNm；

（d）kn

11i

（e）k22

黑卑1.875i;

4242

K2

3i

（5）将系数,

自由项代入典型方程得

Z1、

Z2o

k]1z^Z2Rjp0

k?

1Z1k?

2Z2R?

p0

11iz1

3iz1

3i

Z2

1.875i

30

（6）利用叠加法求各杆端的最后弯矩

，如图

（f）：

M

MAB

MCB

30

2.097

17.50-

i

3i遊

i

MCD

8i

2.097

12i

MDC

4i

i

2.097

i

4

12i

4

Z2

26.875

Z1

Z2

6i17.688

4

17.688

17.688

i

17.688

i

44.03（kN

36.29（kNm）

36.29（kNm）

44.68（kNm）

m）

2.097

i

17.688

i

Z2

（左拉）

（上拉）

（右拉）

（左拉）

—

120kN

m*

—

B

C

-S

—1

El=常数

m

—

■

A

it

原结构

4m4m

D

■」

图15-15（a）

N

（d）

10kN

mN

5kN•m

T51

—■

（

C

”4

■,

X1

4

El=常数基本结构

D

20kN

（b）

e）

弯矩图、

5kN-m

10kN

36.29

5

IB

20

44.03

44.68

M图kN-m）

（f）

剪力图直接可以画出来。

结构有两个力法基本未知

解：

（1）外伸段段剪力、弯矩是静定的，

量。

基本结构如图（b）。

（2）建立典型方程：

11Z1

21乙

（3）画基本结构在下述情况的弯矩图：

画荷载单独作用下的Mp图、两单位力分别单独的单位弯矩M1图和M2图，如图（c）、（d）、（e）。

12Z2

22Z2

1P0

2P0

4）图乘求系数:

15

4

12

20

1、1

1254

570

1P

（

4）

6EI

El3

2

3EI

3EI

11

1

1

1

330

2P

（

40

8）

（125

41）

El2

2

EI

2

EI

11

114

2

8

；

3EI

3EI

118

1

41

20

22

3EI

EI

3EI

5）将系数，自由项代入典型方程得

X1、X2。

8

2

570

0

11

X112

X2

1P

0

X1

3EI

EIX2

3EI

X1

44.032

21

X122

X2

2P

0

2

20

330

0

X2

36.29

X1

X2

EI

3EI

EI

Mab

01

（44.032）

0（36.29）44.03（kNm）

（左拉）

MBA

5（kN

m）

（左拉）

MCB

00

（44.032）

1（36.29）36.29（kNm）

（上拉）

MCD

00

（44.032）

1（36.29）36.29（kNm）

（右拉）

MDC

125

1（44.032）1（36.29）44.68（kNm）

（左拉）

8-4c、试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。

（2）建立典型方程:

（3）画基本结构在下述情况的弯矩图:

2发生正的单

荷载单独作用下的MP图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的M1图以及只让连杆

位线位移的M2图，如图（c）、（d）、（e）。

（4）禾9用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数:

zv.12i3i15^..6i

（e）:

k22~^r,k12k21—

⑸将系数，自由项代入典型方程得Z1、Z2O

6i

11iZjz200w

6i15i

6Pl

129i11Pl2129i

Z1亍Z2P0z2

解：

（1）C处两链杆与杆段轴线不平行，视为固定端。

结构只有一个转角位移法基本未知量。

基本结构如图（b）。

（2）建立典型方程：

（3）画基本结构的Mp、Mi的弯矩图：

如图（c）、（d）所示。

（4）利用结点的力矩平的平衡求系数：

k1192;RipP

6、清华5-3b试用位移法典型方程计算图示结构，并作力图。

（3）画基本结构在下述情况的弯矩图:

荷载单独作用下的MP图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的M1图以及只让连杆2发生正的单位

线位移的M2图，如图（c）、（d）、（e）。

（4）

利用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数:

kn9.5i;k22~~;k12k210

3

135

19T

Z2

⑹利用叠加法求各杆端的最后弯矩，如图（f）：

MMPM1-Z1M2Z2

67.5

1.5i135

19i

56.84（kNm）

（下拉）

4i

135

19i

28.42

（kN

m）

（右拉）

•2i

135

19i

14.21

（kN

m）

（左拉）

•4i

135

19i

28.42

（kN

m）

（左拉）

）2i

135

14.21

（kN

m）

（右拉）

MCA

MCB

MBC

MCD

MDC

0

0

0

7、清华5-4a试用位移法典型方程计算对称性刚架，并做弯矩图。

10kN/m

-Al

习题5-4a

El=常数

原结构

6m

6m

iML

BD

半结构

C

10kN/m

6m

6m

45

180L

180

105厂

180

--]105

F

C

45

7.5

75

75•7.5

37.5

M图

kN-m）

（g）

37.5丄

弯矩静定（发生单位位移时,

解：

（1）由于对称性可取半结构来分析，BD部分剪力、

不会产生弯矩）

半个结构只有一个位移法基本未知量。

基本结构如图

（b）。

（2）建立典型方程:

knZ1R1p0

、（d）所示。

（3）画基本结构的MP、M1的弯矩图：

如图（c）

（4）禾U用结点的力矩平的平衡求系数:

kn8i;

R]P150kNm

（5）将系数，自由项代入典型方程得Z1。

75

乙石

（6）利用叠加法求各杆端的最后弯矩，如图

（f）：

M

MPM1Zj

Mab2i

75

Mbc4i

4i

75

307.5（kNm）（下拉）

75（kNm）

（左拉）

8-5a、试用位移法典型方程计算对称性刚架,

C

【TI』1I

二H

AB

D

L

■

El=常数

原结构

E

J

■

q=20kN/m

并做弯矩图。

75

4i30105（kNm）（上拉）4i

2i75

4i

37.5（kNm）

（本题请你动动手算算）

（右拉）

m

（a）

习题8-5

80kN

160

（e）M1图

R1P

.

80

Mp图

（d）kNm）

8-10（d）、作有剪力分配法作白皮书《教材》

P.2158-10（d）

160kN-

基本结构

E

160

\

-7.2

J

/

2_21.8-

亠1

14.5j

-M

图■-

L

（c）

160

（g）kNm）

EI

EI

EI

题8-10d）

（a）

EA—aEA—8

m

Nm

EI

EA—aDEA—a

El

El

F45kN

CL

（b）

（c）

40

j

r

亠

C

T7^

80

BEA—aDEA—a

80

FA—a

EA—aF45kN

F45kN

解:

（1）

其中RP

（d）忻m）

（e）m'图

fkN-m）

120

C

12^^

（f）M"图

kN-m）

E

12^^

基本结构不是受结点荷载作用，将其分解为（b）、（c）两种情况。

3108358301545kN，分别作出两种情况的弯矩图，再叠加。

88

（2）由于（b）图加上集中力后，立柱顶端不发生侧移，故直接查表获得其弯矩图，弯矩图如⑴所示。

（3）图（c）受结点荷载作用，可采用有剪力分配法。

先求各柱的剪力，再求柱底的弯矩。

由于各柱的高

1

度、和线刚度、支座完全相同，各柱的剪力分配系数-。

3

1

VBAVdcVfe34515kN

弯矩图如（e）所示。

（4）叠加（f）和（e）所图示弯矩图，可得原结构的弯矩图如（d）所示。

10、补充作业：

利用对称性取半结构，采用典型位移法方程，作图示刚架的弯矩图。

Rp0

（2）画基本结构在下述情况的弯矩图:

荷载单独作用下的Mp图、只让刚臂1单独转过正的单位转角的M1图以及只让刚臂2发生正的单

位转角的M2图，如图（c）、（d）、（e）。

（3）禾9用结点的力矩平衡，和横梁力的平衡求系数:

k114i3i7i

ki22ik224i3i4i11i

Rip30R2P0

（4）将系数，自由项代入典型方程得Z1、Z2。

kHzl眾Z2Rip033060

Z|—

k2iZik22Z2R2P073i73i

（5）利用叠加法求各杆端的最后弯矩。

利用对称性可画原结构的弯矩图如图（f）所示。

m

Mp

m

1Z1

M2

Z2

MAB

0

0

2i（

60、

石）

1.64

（kN

m）

（左拉）

MBA

0

0

4i（

-60）

73i

3.29

（kN

m）

（右拉）

Mbc

0

2i

330

4i（

聲

5.75

（kN

m）

（右拉）

73i

73i

Mcb

0

4i

330

2i（

-60）

16.4

（kN

m）

（左拉）

73i

73i

330,+、

Mcd303i16.4（kNm）（上拉）

73i

Mbe003i（-60）2.46（kNm）Meb（上拉）

73i

EI为常量。

8-10c、采用转角位移法计算图示结构，并作其弯矩图。

立柱的

30kN|

BEA-

->sD

EA-

->sF

EI

EI

EI

m

C

E

■

题8-10c）（a）

EAis

EATs£Z1

JC

（b）

解：

（1）确定结构的基本未知量。

有一个线位移Z1,如图所示（b）。

（2）列杆端的转角位移方程：

MABMCDMEF~~Z1

3i

8

MbaMDCMFE0

/3i3iv

'BA2Z1Z1VDC

l64

（3）根据横梁的力的平衡，列位移方程，求未知量

Vfe

Zi:

3i

X030VbaVdcVfe0303—

64

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图

Zi

3i

（c）所示。

MabMcdMef3i64080kNmM

83i

BAMDC

Mfe

3i640

64百VdcVfe10kN

12、采用转角位移法，画出最后弯矩图。

MBC

MBA

vBC

A

VBA

2P|—L

9

2Pl

9

VDE

2Pl—

M图

■旦"

MBD

9

9

（a）

（b）

（c）

解：

（1）基本未知量：

取结点

立柱侧移

Z2为未知量。

（2）

因为iAB=iDE=iBC=i,iBD=2i，

杆的线刚度

故：

杆端弯矩、

剪力:

MBC

4iZ|

6i

l

Z2

Vba

6i

MBD

MBA

MDB

MDE

6i

l

0

（3）

列位移法方程:

mB0MBCMBD

VBAVDE

VBC

Mba

VbcP

l

6.

1

3i

PZ2

Z1

Zi

12i

12i

■prZ2

0

0（剪力投影正负规定向右为正）

6i

（4i

Z，T

Z2）

3i

Zi（4iz,

6i

12i

3i

（

TZ1

l2

Z2）

jTZ2（

10iz.

0

Z

0

27i

Pl2

2Z2

P

0

Z2

l2

27i

6i

l

Z2）

0

6i

12i

——

Zi

rZ2）P0

（4）将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并作结构的弯矩图，如图

（c）所示。