高中数学 指数函数及其性质基础知识讲解 新人教A版必修1.docx
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高中数学指数函数及其性质基础知识讲解新人教A版必修1
指数函数及其性质
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域;
2.掌握指数函数图象:
(1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质;
(2)掌握底数对指数函数图象的影响;
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别.
3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型;
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法;
5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题.
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念:
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R.
要点诠释:
(1)形式上的严格性:
只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数.像
,
,
等函数都不是指数函数.
(2)为什么规定底数a大于零且不等于1:
①如果
,则
②如果
,则对于一些函数,比如
,当
时,在实数范围内函数值不存在.
③如果
,则
是个常量,就没研究的必要了.
要点二、指数函数的图象及性质:
y=ax
0 a>1时图象 图象 性质 ①定义域R,值域(0,+∞) ②a0=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点 ③ax=a,即x=1时,y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时,ax>1 x>0时,0 ⑤x<0时,0 x>0时,ax>1 ⑥既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“ ”和“ ”两种情形讨论。 (2)当 时, ;当 时 。 当 时, 的值越大,图象越靠近 轴,递增速度越快。 当 时, 的值越小,图象越靠近 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数 与 的图象关于 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1) 1 ② ③ ④ 则: 0<b<a<1<d<c 又即: x∈(0,+∞)时, (底大幂大) x∈(-∞,0)时, (2)特殊函数 的图像: 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法: 化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若 ; ; ; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 ,或 即可. 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1.函数 是指数函数,求 的值. 【答案】2 【解析】由 是指数函数, 可得 解得 ,所以 . 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点: 利用指数函数的定义来判断; (2)关键点: 一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量 . 举一反三: 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数? (1) ; (2) ;(3) ;(4) ; (5) ;(6) . 【答案】 (1)(5)(6) 【解析】 (1)(5)(6)为指数函数.其中(6) = ,符合指数函数的定义,而 (2)中底数 不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数 的乘积;(4)中底数 ,所以不是指数函数. 类型二、函数的定义域、值域 例2.求下列函数的定义域、值域. (1) ; (2)y=4x-2x+1;(3) ;(4) (a为大于1的常数) 【答案】 (1)R,(0,1); (2)R[ );(3) ;(4)(-∞,-1)∪[1,+∞) [1,a)∪(a,+∞) 【解析】 (1)函数的定义域为R(∵对一切x R,3x≠-1). ∵ ,又∵3x>0,1+3x>1, ∴ ,∴ , ∴ ,∴值域为(0,1). (2)定义域为R, ,∵2x>0,∴ 即x=-1时,y取最小值 ,同时y可以取一切大于 的实数,∴值域为[ ). (3)要使函数有意义可得到不等式 ,即 ,又函数 是增函数,所以 ,即 ,即 ,值域是 . (4)∵ ∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞), 又∵ ,∴ ,∴值域为[1,a)∪(a,+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题中 不能遗漏. 举一反三: 【变式1】求下列函数的定义域: (1) (2) (3) (4) 【答案】 (1)R; (2) ;(3) ;(4)a>1时, ;0 【解析】 (1)R (2)要使原式有意义,需满足3-x≥0,即 ,即 . (3)为使得原函数有意义,需满足2x-1≥0,即2x≥1,故x≥0,即 (4)为使得原函数有意义,需满足 ,即 ,所以a>1时, ;0 . 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3.讨论函数 的单调性,并求其值域. 【思路点拨】对于x∈R, 恒成立,因此可以通过作商讨论函数 的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果. 【答案】函数 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3] 【解析】 解法一: ∵函数 的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2, ∴ , , . (1)当x1<x2<1时,x1+x2<2,即有x1+x2-2<0. 又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知 . 又对于x∈R, 恒成立,∴ . ∴函数 在(-∞,1)上单调递增. (2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0. 又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知 .∴ . ∴函数 在[1,+∞)上单调递减. 综上,函数 在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数. ∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1, , . ∴函数 的值域为(0,3]. 解法二: ∵函数 的下义域为R,令u=x2-2x,则 . ∵u=x2―2x=(x―1)2―1,在(―∞,1]上是减函数, 在其定义域内是减函数,∴函数 在(-∞,1]内为增函数. 又 在其定义域内为减函数,而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1,+∞)上是增函数,∴函数 在[1,+∞)上是减函数. 值域的求法同解法一. 【总结升华】由本例可知,研究 型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有: 即当a>1时, 的单调性与 的单调性相同;当0<a<1时, 的单调与 的单调性相反. 举一反三: 【变式1】求函数 的单调区间及值域. 【答案】 上单增,在 上单减. 【解析】[1]复合函数——分解为: u=-x2+3x-2,y=3u; [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间;[3]求值域. 设u=-x2+3x-2,y=3u, 其中y=3u为R上的单调增函数,u=-x2+3x-2在 上单增, u=-x2+3x-2在 上单减, 则 在 上单增,在 上单减. 又u=-x2+3x-2 , 的值域为 . 【变式2】求函数 的单调区间. 【解析】当a>1时,外层函数y=au在 上为增函数,内函数u=x2-2x在区间 上为减函数,在区间 上为增函数,故函数 上为减函数,在区间 上为增函数; 当0 上为减函数,内函数u=x2-2x在区间 上为减函数,在区间 上为增函数,故函数 在区间 上为增函数,在区间 上为减函数. 例4.证明函数 在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。 【解析】定义域为x R,任取x1 . ∵ ,∴ , 又a>1,x1 ,∴ ,∴f(x1) 则 在定义域上为增函数. 另: ,∵ ,a>1且x2-x1>0, ∴ ,∴ . 【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后,所学的第一个具体函数.因此,在学习中,尽量体会从一般到特殊的过程. 例5.判断下列各数的大小关系: (1)1.8a与1.8a+1; (2) (3)22.5,(2.5)0, (4) 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。 【答案】 (1)1.8a<1.8a+1 (2) (3) (4)当a>1时, ,当0 【解析】 (1)因为底数1.8>1,所以函数y=1.8x为单调增函数,
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