弹性力学10楔形体受重力和液体压力.docx
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弹性力学10楔形体受重力和液体压力
第三章平面问题直角坐标解答
本节内容
3.5楔形体受重力和液体压力
内容要点:
半逆解法求解楔形体的应力分量表达式。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø问题:
如图,无限长的楔形体受重力和液体
压力,试求应力分量。
(下部无限延伸,侧面
受水压力作用。
)
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
解:
按半逆解法的步骤进行求解。
(1)从量纲分析入手,来假定应力分量的函数形式
Ox
楔形体内任意点的应力由重力和液体压
力所引起,两部分应力分别与1g和2g成
正比,此外应力分量还与、x、y有关。
应力量纲(N/m2)比1g和2g的量纲(
g
N/m3)高一次幂的长度量纲。
的量纲
是1,x、y的量纲是(m)。
因此应力分量
如果有多项式解答,那只能是1g和2g
与x和y的一次式相乘,亦即应力中只
能包含x和y的纯一次式。
y
g
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
(2)由应力推出应力函数的一般形式;
由方程(2-24)可知,应力函数应比应力的量纲提高长
度的二次幂,所以应力函数应为x和y的纯三次式,
而纯三次多项式有四项,即
(xyax3bx2ycxy2dy3
)
(3)校核应力函数
此纯三次多项式自然满足相容方程
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
(xyaxbxycxydy
)
3223
(4)由应力函数求应力分量
将应力函数代入式(2-26),可得应力分量:
x
2
y
2
f
x
x
2cx
6dy
y
2
x
2
f
y
y
6ax
2by
gy
1
注意体力项
xy
2
xy
2bx
2cy
Ø校核应力分量:
上述应力分量是自然满足平衡微分方程和相容方程的。
其中的4个待定常数由边界条件来确定。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
(5)考察边界条件:
只有两个边界,均为主要边界(大边界
),都应精确满足应力边界条件;
Ø首先考察左边界上的应力边界条件:
(
x0gy
2
),()
x
xyx
0
0
将应力分量在相应边界处的值代入上述条件,得到如
下待定常数:
c
g
0,d2
6
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø其次考察右边界x=ytan上的应力边界条件式(2-15),由于
Ox
没有面力,故:
(lm)0
xxy
xytan
gN
(lm)0
xyy
x
ytan
gy
将该边界的外法线方向余弦和应力分量
在相应边界处的值代入上述条件,化为关
于y的表达式:
2
g
lcos,msin
y
1
x2cx6dy,6ax2bygy,2bx2cy
yxy
可求解得到如下待定常数:
ggg
b
23
2cot,acotcot
12
263
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
综上所述,将各待定常数代回,可得应
力分量的最终解答为:
g
gy
gy
x2
(gcot2gcot)x
3
y12
(gcotg)y
2
21
gxcot
2
——李维(Levy)解答
xy2
Ø应力分量x沿水平方向没变化
O
y
x
(
)
(
)
g
沿水平方向的应力分布
x
y
xy
Ø应力分量
y沿水平方向按直线变化,可求出其在左右两边
界上值
y
12y2
(ggcot2)y,gycot
x0xytan
Ø应力分量xy也按直线变化,可求出其在两边界上值为
2
xy
xy2
0,gycot
x0xytan
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø以上解答一向被当作三角形重力坝中应力的基本解答,但
要注意以下三点:
1、沿着坝轴,坝身往往截面不同,并且坝身常常不是无限长
,因此严格讲,这不是一个平面问题。
但是,如果可将坝身分
为若干段,每段范围内坝身截面可当作不变化,z向切应力也
可当作0,则可作为平面问题来求解。
2、假定了下端是无限长,可以自由变形。
实际上坝身是有限
高的,底部与地基相连,即受约束,因此对于底部,以上解答
是不精确的。
3、坝顶不会是尖顶,而且还会受其它的荷载,因此,在坝顶
处,以上解答也不适用。
关于重力坝的较精确的应力分析,目前大多采用有限元
方法来进行。
第三章平面问题直角坐标解答
3.5楔形体受重力和液体压力
Ø从本章几节内容可以看出,所有解答均与弹性常数无关:
1.本节将三角形水坝当做平面应变问题对待,得到的解答与
平面应力问题是一样的。
——体力为常数时式(3-7)三个方
程均不含弹性常数。
2.该性质可用于进行试验分析,用不同的材料做结构模型进
行试验分析(要考虑材料重度不同),试验模型得到的应力
分布与实际结构物的应力分布一致,因为二者解答与材料弹
性常数无关。
例如可以用环氧树脂材料做混凝土大坝模型,
进行应力试验分析,所得的模型应力分布与实际混凝土大坝
应力分布情况一致,由此可以给大坝设计人员提供参考依据
。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结
(1)逆解法与半逆解法回顾
Ø逆解法
设定
带入
式(2-24)
求出应
力分量
带入求出面
力合力
式(2-15)
确定解决什
么问题
Ø半逆解法
假定相关
应力分量
应力函数
式(2-24)
积分
基本形式
满足
Ñ40
导出应力
式(2-24)
表达式
是
式(2-15)
满足边
界条件
是
得到正
确解答
否
否
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结
(2)边界条件
Ø在校核应力边界条件时,必须注意以下几点:
1、首先考虑主要边界(大边界)上的条件,然后考虑次要边界
(小边界)上的条件;
2、在主要边界上,必须精确地满足边界条件,每个边界应有两
个条件;
3、在次要边界上,如不能满足边界条件,可以应用圣维南原理
,用三个积分的边界条件(主矢量和主矩的条件)来代替;
4、必须把边界方程代入边界条件;
5、分清边界条件中应力和面力的不同符号规定;
6、除一个次要边界外,其他所有边界条件都必须进行校核并使
之满足。
当平衡微分方程、相容方程和其他应力边界条件都满足
以后,未校核的一个次要边界上的三个积分边界条件必然满足。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结(3)常体力平面问题解答中的应力分量
本章:
3.2梁纯弯曲、3.4简支梁均布荷载、3.5楔形体受
力所解得的应力分量均不含弹性常数(常体力情况下相容方程
不含弹性常数),因此:
(1)应力解答结果即可用于平面应力问题,又可用于平面应
变问题(位移及应变不可以)。
(2)可采用与结构物材料不同的廉价的材料来制作结构物模
型进行试验分析,所得的应力与实际结构物应力分布一致。
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结(4)典型题型分类及相应解法
所有问题归结为两种;矩形梁(板)和三角形楔形体。
(一)多项式解答——逆解法
已经给出应力函数,判断其能够解决什么样的问
题。
由应力函数解得应力分量,然后带入边界方
程,确定其边界应力条件。
习题3-1、2、3、4。
(二)梁、长板类弹性体应力函数方法——半逆解法
应力分量与梁内力的关系可表示为:
x
M(1yqxf(y)
x)f()()
2
y
q(x)f()
3y
考虑挤压应力影响导致
xy
Q(f4(y)
x)然后由:
2
2
2
xy
22
yxy
x
yx
Ñ确定应力函数的具体形式。
4
0
第三章平面问题直角坐标解答
本章小结(4)典型题型分类及相应解法
Ox
(三)三角形板、楔形体的求解方法——半逆解法
量纲分析法确定应力函数初步形式:
侧面受水压作用:
2g(N/m3)(水的容重);
自重作用:
g(N/m)(楔形体的容重)。
3
1
2g
2g
分析思路:
1g
1g
(a),g,g
x
∵1g、2g的量纲为:
N/m3
x的量纲为:
N/m2。
∴x的形式应为:
gx,gy,
gx,gy的线性组合。
y
2
(b)由2推理得:
x
y
应为x、y的纯三次函数。
3223
(x,y)axbxycxydy3223
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- 关 键 词:
- 弹性 力学 10 楔形 重力 液体 压力