聊城大学实变函数期末试题资料.docx
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聊城大学实变函数期末试题资料
《实变函数》
一、单项选择题
1、下列各式正确的是(CD)
(A)
;(B)
(C)
;(D)
;
2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是(D)
(A)
c(B)
(C)
(D)
3、下列说法不正确的是(B)
(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测
(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测
4、设
是
上的
有限的可测函数列,则下面不成立的是(A)
(A)若
则
(B)
是可测函数
(C)
是可测函数;(D)若
则
可测
5.下列说法不正确的是(C)
(A)
的任一领域内都有
中无穷多个点,则
是
的聚点
(B)
的任一领域内至少有一个
中异于
的点,则
是
的聚点
(C)存在
中点列
,使
,则
是
的聚点
(D)内点必是聚点
6.设
在
上
可积,则下面不成立的是(C)
(A)
在
上可测(B)
在
上a.e.有限
(C)
在
上有界(D)
在
上
可积
7.设
是一列可测集,
,则有(B)。
(A)
(B)
(C)
;(D)以上都不对
9、设
,则(B)
(A)
(B)
(C)
(D)
10、设
是
上有理点全体,则下列各式不成立的是(D)
(A)
(B)
(C)
=[0,1](D)
11、下列说法不正确的是(C)
(A)若
,则
(B)有限个或可数个零测度集之和集仍
为零测度集(C)可测集的任何子集都可测(D)凡开集、闭集皆可测
12、设
是一列可测集,
,且
,则有(A)
(A)
(B)
(C)
;(D)以上都不对
13、设f(x)是
上绝对连续函数,则下面不成立的是(B)
(A)
在
上的一致连续函数(B)
在
上处处可导
(C)
在
上L可积(D)
是有界变差函数
14.设
是两集合,则
=(C)
(A)
(B)
(C)
(D)
16.下列断言(B)是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;(B)任意个闭集的交是闭集;
(C)任意个闭集的并是闭集;(D)以上都不对;
17.下列断言中(C)是错误的。
(A)零测集是可测集;(B)可数个零测集的并是零测集;
(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集;
18.若
,则下列断言(A)是正确的
(A)
在
可积
在
可积;
(B)
(C)
;
(D)
19、设
是闭区间
中的无理点集,则(A)
是不可测集
是闭集
二、填空题
1、
2、设
是
上有理点全体,则
=
=
=
.
3、设
是
中点集,如果对任一点集
都有
,则称
是
可测的.
4、
可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
5、设
,则
(0,2)
6、设
若
则
是闭集;若
,则
是开集;若
,则
是完备集.
7、设
是一列可测集,则
8、设集合
,则
9、设
为Cantor集,则
,
0,
=
。
10、果洛夫定理:
设
是
上一列
收敛于一个
有限的函数
的可测函数,则对任意
存在子集
,使
在
上一致收敛且
。
11、
在
上可测,则
在
上可积的充要条件是|
|在
上可积.
12、设
为Cantor集,则
c,
0,
=
。
13、设
是一列可测集,则
14、鲁津定理:
设
是
上
有限的可测函数,则对任意
,存在闭子集
,使得
在
上是连续函数,且
。
15、设
为
上的有限函数,如果对任意
,使对
中互不相交的任意有限个开区间
只要
,就有
则称
为
上的绝对连续函数。
16、
因为存在两个集合之间的一一映射为
.
17、设
是
中函数
的图形上的点所组成的集合,则
,
.
18、设
是闭区间
中的全体无理数集,则
.
19、设
若
则称
是
的聚点.
20设
是
上几乎处处有限的可测函数列,
是
上几乎处处有限的可测函数,若
有
则称
在
上依测度收敛于
.
三、判断
1、设
,若E是稠密集,则
是无处稠密集。
F
2、若
,则
一定是可数集.F
3、若
是可测函数,则
必是可测函数。
F
4.设
在可测集
上可积分,若
,则
F
5、A为可数集,B为至多可数集,则A
B是可数集.T
6、若
,则
F
7、若
是可测函数,则
必是可测函数F
8.设
在可测集
上可积分,若
,则
F
9、任意多个开集之交集仍为开集F
10、若
,则
一定是可数集.F
11、
收敛的函数列必依测度收敛。
F
12、由于
,故不存在使
之间
对应的映射。
F
13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
T
14、若
可测,
且
则
.F
15、设
为点集,
则
是
的外点.F
16、点集
为闭集.F
17、任意多个闭集的并集是闭集.F
四、解答题
1、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
解:
在
上不是
可积的,因为
仅在
处连续,即不连续点为正测度集,因为
是有界可测函数,
在
上是
可积的
因为
与
相等,进一步,
考生答题不得超过此线
2、求
解:
设
,则易知当
时,
又因
,(
),所以当
时,
从而使得
但是不等式右边的函数,在
上是
可积的,故有
,
3、求极限
解:
记
则
在[0,1]上连续,因而在[0,1]上(R)可积和(L)可积.
又
且
在
上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得
4、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
解:
在
上不是
可积的,因为
仅在
处连续,
即不连续点为正测度集
因为
是有界可测函数,所以
在
上是
可积的
因为
与
相等,进一步,
5、求极限
.
解:
设
,则易知当
时,
又
,但是不等式右边的函数,在
上是
可积的
故有
6、设
求出集列
的上限集和下限集
证明:
设
,则存在N,使
,因此
时,
,即
,所以
属于下标比N大的一切偶指标集,从而
属于无限多
,得
,
又显然
得分
阅卷人
若有
,则存在N,使任意
,有
,因此若
时,
,此不可能,所以
五、证明题
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
.
证明:
设
。
得分
阅卷人
复查人
2.设
使
,则E是可测集。
证明:
对任何正整数
,由条件存在开集
使
令
,则
是可测集
又因
对一切正整数
成立,因而
,
即
是一零测度集,所以也可测.
由
知,
可测。
得分
阅卷人
复查人
3.试用Fatou引理证明Levi定理.
证明:
设
为可测集
上的一列非负可测函数,且在
上有
,令
由
为单调可测函数列知,
可测,且
于是
从而
…(*)
另一方面,因
为可测集
上的一列非负可测函数,由Fatou引理知
…(**)
由(*)、(**)两式即证
得分
阅卷人
复查人
4、试证
证明:
记
中有理数全体
令
显然
所以
考生答题不得超过此线
5、设
是可测集
的非负可积函数,
是
的可测函数,且
,则
也是
上的可积函数。
证明:
,
是可测集
的非负可积函数
是
上的可积函数.
同理,
也是
上的可积函数.
是
上的可积函数。
得分
阅卷人
复查人
7.设
在
上可积,则对任何
,必存在
上的连续函数
,使
.
证明:
设
由于
在
上
有限,故
由积分的绝对连续性,对任何
,使
令
,在
上利用鲁津定理,存在闭集
和在
上的连续函数
使
(1)
(2)
时,
,且
所以
8、设
且
为可测集,
.根据题意,若有
证明
是可测集.
证明:
令
则
且
为可测集,于是对于
都有
故
令
得到
故
可测.从而
可测.
9.证明:
证明:
1、设
是
上的实值连续函数,则对于任意常数
是闭集。
P51
2、设
在
上可积,
,则
.P132
得分
阅卷人
复查人
3、设
是
上
有限的函数,若对任意
,存在闭子集
,使
在
上连续,且
,证明:
是
上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理)P94
4.设
为E上可积函数列,
.于E,且
,k为常数,则
在E上可积.P133
5.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
,证明:
收敛于
.P94
得分
阅卷人
复查人
6、设f(x)是
上的实值连续函数,则对任意常数c,
是一开集.P51
7、设
在
上积分确定,且
于
,则
在
上
也积分确定,且
P108
8、设在
上
而
成立,
则有
P95
得分
阅卷人
复查人
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