最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx

最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx

《最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新试题资料初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习人教版有答案

初中数学《第2章代数式》竞赛专题复习（人教版有答案）

5

第2代数式

21整式的运算

211★化简，其中为大于1的事数．

解析原式．

评注本例可推广为一个一般的形式

．

212★计算

（1）；

（2）．

解析

（2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差式，分别把相同项结合，相反项结合．

原式

．

（2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用式，但

与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方式了．

原式

．

213★设，，求用去除所得的商及余式．

解析1用普通的竖式除法

因此，所求的商，余式．

解析2用待定系数法

由于为3次多项式，首项系数为1，而为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式．

根据，得

．

比较两端系数，得

解得，，，故商式，余式．

214★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值．

解析比较两个代数式，发现它们的相同与不同．

当时，

．

215★若，且，试求的值．

解析，，代入

得，故，，所以．

216★★试确定和，使能被整除．

解析由于，因此，若设

，

假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即

，①

当时，，即

，②

由①，②联立，则有

217★若，求的值．

解析，

所以，．

．

218★将表示成的形式．

解析

．

219★已知，求的值．

解析1由，有

．

解析2由，有

．

评注解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法．

这两种方法在整式恒等变形中常用．

2110★★已知，，，求的值．

解析因为，所以

，

所以．

所以

．

2111★★若，，求的值．

解析把两个方程相加，得，于是有

，

故或．

2112★★★已知，．求的值．

解析因为，所以，从而．所以

．

．

故．

2113★★已知，，，求多项式的值．

解析由

，

又因为，，，故

原式．

2114★★已知实数、、、满足，，求的值．

解析由，得

．

因为，所以．

因而，

．

2115★★已知，试求的值．

解析多项式的系数和，就是．

．

2116★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除．

解析设这个二次三项式为

．

则

①③得

代入②、③得

④⑤得，

代入⑤得．

所求二次三项式为．

2117★未知数、满足

，

其中、表示非零已知数，求、的值．

解析两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．

将已知等式变形为

，

，

即．

所以

因为，所以，．

2118★★已知、、满足，求证

．

解析因为，所以

左边

右边．

2119★已知，证明．

解析因为，所以

，

即，

因此，

即．

2120★证明

．

解析此题看起很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令

，①

，②

，③

则要证的等式变为．

因为

，

所以将①，②，③相加有

，

所以，

所以

．

2121★★已知，且、、、都是正数，求证．

解析由已知可得

，

，

所以

．

因为

，，，所以

，

所以．

又因为、、、都为正数，所以，，所以

，．

所以

，

所以．故成立．

2122★★已知，求证

．

解析用作差法，注意利用的条．

左右

．

所以等式成立．

22因式分解

221★分解因式

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解析

（1）原式

．

（2）原式

．

（3）原式．

本小题可以稍加变形，解法如下

原式．

（4）原式

．

222★分解因式．

解析1

原式

．

解析2

原式

．

评注解析2中，

是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的．

223★★分解因式

．

解析原式中与的和等于，所以考虑用立方和式变开后，再进行分解．

原式

．

224★★分解因式．

解析

原式

3

评注

．

显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立．

如果令，，，则有

．

等号成立的充要条是．这也是一个常用的结论．

225★★分解因式

．

解析这个多项式的特点是有16项，从最高次项开始，的次数顺次递减到0，由此想到应用式分解．因为

，

所以

原式

．

评注在本题分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

226★分解因式．

解析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

方法1将常数项8拆成．

原式

．

方法2将一次项拆成．

原式

．

方法3将三次项拆成．

原式

方法4添加两项．

原式．

评注由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

227★★分解因式

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解析

（1）将拆成．

原式

．

（2）将拆成．

原式

．

（3）将拆成．

原式

．

（4）添加两项．

原式

评注（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加，而且添加项后分成的三项组又无因式，而是无将前两组分解，再与第三组结合，找到因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在．

228★分解因式．

解析原式

229★★分解因式

．

解析

原式

．

2210★★分解因式

．

解析

原式

．

2211★★分解因式．

解析

原式

．

2212★★分解因式

．

解析将原式展开，是关于的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将看作一个整体，并用字母替代，于是原题转化为关于的二次三项式的因式分解问题了．

设，则

原式

．

评注本题也可将看作一个整体，比如令，可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

2213★★分解因式

．

解析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

原式

．

令，则

原式

．

评注对多项式适当的恒等变形是我们找到新元的基础．

．

解析令，，则

原式

，

所以，原式．

2215★★分解因式

．

解析令，则

．

原式

．

所以，原式

．

2216★★分解因式．

解析令，则

原式

．

所以，原式．

2217★★分解因式

．

解析设，则

原式

．

评注由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

2218★★分解因式．

解析1

原式

．

评注本解法实际上是将看作一个整体，但并没有设立新元代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元代替整体．

解析2原式

．

令，则，于是

原式

＝

．

2219★★分解因式

．

解析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令，，用换元法分解因式．

原式．

令，，则

原式

．

2220★分解因式．

解析原式

．

其十字相乘图为

评注凡是可以化成或形式的二次三项式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式．

对于某些二元二次六项式，我们也可以用十字相乘法分解因式，通常称为双十字相乘法．其因式分解的步骤是首先用十字相乘法分解，得到一个十字相乘图（有两列）；然后把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的．

2221★分解因式

．

解析原式

．

其十字相乘图为

2222★分解因式

．

解析原式

．

其十字相乘图为

2223★分解因式

．

解析原式

＝

．

对于形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别相乘后，构成有相同部分的项，使原式得到简化，再用十字相乘法进行分解．

2224★★分解因式

．

解析

原式

．

对地形如（、、、、、为常数），当时，则把与分别先作法，构成具有相同部分的项，再用十字相乘法进行分解．

2225★★分解因式

．

解析由于．

若原式可以分解因式，那么它一定是的形式．应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决．

设

．

比较两边对应项的系数，则有

解之，得，．

所以，原式．

2226★★分解因式．

解析这是关于的四次多项式，若它可以因式分解，则必为关于的两个二次式之积．可用待定系数法求之．

设

．

比较两边对应项的系数，则有

解之，得，．

所以，原式．

如果设原式，那么由待定系数法解题后知关于与的方程组无解，所以设原式．

2227★★为何值时，可以分解成两个一次因式的乘积？

解析因为，所以如果可以分解成两个一次因式的乘积，那么它的两个一次因式一定是与的形式，其中、都是待定系数．

设

，

．

比较两边对应项的系数，得

解之，得

因此，当时，可以分解成两个一次因式的乘积．

2228★★分解因式．

解析因为

，

所以，原式

．

2229★★分解因式．

解析这个式子是关于、、的五次齐次对称式，令，则原式．故原式有因式．同理，亦有因式，．这样原式还有一个二次齐次对称式

．

所以，可设

原式．

当，时，得

．①

当，，时，得

．②

由①式与②式可解得

，．

所以，原式．

2230★★分解因式．

解析当时，易知原式，所以原式有因式．同理，与也都是原式的因式．

但四次多项式应有四个一次因式，由对称性余下的一个因式必有为，故可设

．

令，，，得．解得．

所以，原式＝．

2231★★分解因式．

解析所给的式子是一个四次对称式．若令，则

原式

．

所以，原式含有因式．

同理，原式含有因式，．

于是，原式含有因式．

由于原式为四次对称式，故还有因式，其中为待定系数．

所以，原式．

比较等式两边的系数，得．

所以，原式．

23分式

231★计算

（1）；

（2）．

解析

（1）．

（2）

．

232★计算

（1）；

（2）．

解析

（1）．

（2）

．

233★★化简分式

．

解析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

原式

．

评注本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

234★★求分式

当时的值．

解析先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差式

，

可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

原式

．

235★计算

．

解析本题如果直接通分化为同分母，去处较繁．而通过分子拆项，分母分解之后，利用，比较简洁．由此可看出，有时需要把分式按分母不变，分子相加减的法则倒过运用，把一个分式拆成几个分式的和差．

原式

．

236★已知．求的值．

解析由已知得且可得，即，所以

．

评注这里利用与互为倒数的特点．巧妙地运用乘法式加以变形，使问题变得较简单．同样地，

，

．

237★已知．求的值．

解析由可得．故

．

评注本题同样通过将已知的条作适当变形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知条与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的，往往需要作整体的代换，而不一定要一一求出每个字母的数值．

238★计算．

解析直接通分比较繁，考虑到这里主要涉及，，三个式子，不妨用换元法．使所求式子的形式变得简单一些．

设，，，则，所以

原式

．

239★★已知，，．

求的值．

解析因为，两边平方得．已知，所以，．又，所以．

同理，，．故

原式

．

2310★★若，求

的值．

解析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．

方法1因为，所以、、都不为零．

原式

．

方法2因为，所以，，．

原式

．

方法3由，得，将之代入原式

原式

．

2311★化简分式

．

解析三个分式一起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

原式

．

评注本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成与两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．

2312★★若实数、、满足，，，求的值．

解析因为

，

所以

，

，

，

故．从而，．所以．

2313★★已知（，且、、不全相等），求

的值．

解析本题字母多，分式复杂．若把条写成，那么题目只与，，有关，为简化计算，可用换元法求解．

令，，，则分式变为，且由已知有．将两边平方得

．

由于、、不全相等，所以、、不全为零，所以，从而有

，

即所求分式的值为．

评注从本题中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．

2314★★已知，求的值．

解析本题的已知条是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

设，于是有

，，．

所以

．

2315★★已知，，求的值．

解析令，，，于是条变为

，①

．②

由②有

，

所以．

把①两边平方得

，

所以，

即．

2316★★已知实数、、满足，，，求的值．

解析因为

，

所以．

同理可得

，

．

结合

可得

，

所以．

结合，，可得．因此，

．

实际上，满足条的、、可以分别为、、．

2317★★已知，求下面代数式的值

．

解析根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．

，

同理

，

．

所以原式．

2318★★若，求分式

的值．

解析

，

所以，所以，即

．

原式分子

，

原式分母，

所以原式．

评注本题的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．

2319★★若，求的值．

解析1利用比例的性质解决分式问题．

（1）若，由等比定理有

，

所以

，，，

于是有

．

（2）若，则

，，，

于是有

．

评注比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．

解析2设参数法．令

，

则

，①

，②

．③

①②③有

，

所以，

故有或．

当时，

．

当时，

．

评注引进一个参数表示以连比形式出现的已知条，可使已知条便于使用．

2320★★一列数，，，…满足对于任意正整数，都有

，

求的值．

解析当时，有

，

，

两式相减，得，

所以，

，，…

故

5