大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用.docx
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大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析绝对好用
概率论与数理统计》复习提要
第一章随机事件与概率
1.事件的关系2.运算规则3.概率满足的三条公理及性质:
件,有(可以取)(6),若,则,(7)(8)
5.几何概率6.条件概率
(1)
法公式:
若为完备事件组,(4)Bayes公式:
性:
独立(注意独立性的应用)
(1)
(2)(3)(4)
1)
(2)(3)对互不相容的事
(4)(5)
4.古典概型:
基本事件有限且等可能
定义:
若,则
(2)乘
,则有(3)全概率公式:
7.事件的独立第二章随机变量与概率分
布1.离散随机变量:
取有限或可列个值,满足
(1),
(2)(3)对任意,2.连续随机变量:
具有概率密度函数,满足
(1)
(2);
(3)对任意,
4.分布函数,具有以下性质
(1);
(2)单调非降;(3)右连
续;(4),特别;(5)对离散随机变量,;
(6)为连续函数,且在连续点上,5.正态分布的
概率计算以记标准正态分布的分布函数,则有
(1);
(2);(3)
若,则;(4)以记标准正态分布的上侧分位
数,则6.随机变量的函数
(1)离散时,求的值,将相同的概率
相加;
(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导
数,,若不单调,先求分布函数,再求导。
第三章随机向量
1.二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布,有
(1);(2
(3),2.二维连续随机向量,联合密度,边缘密度,有
1);
(2)(4)(3);
或,
(2)设是次独立重复试验中
发生的次数,,则对任意,或理解为若,则第六
章样本及抽样分布1.总体、样本
(1)简单随机样本:
即独立同分
布于总体的分布(注意样本分布的求法);
(2)样本数字特征:
样本均值(,);样本方差)样本标准
样本阶原点矩,样本阶中心矩2.统计量:
样本的函数且不包含任
何未知数3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)
标准正态分布,若且独立,
,其中且独立;(3)分
4.正态总体的抽样分
;(3
,(5)(6)
1)根据参数个数求总体的矩;
(2)
数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到
(1)直接
求最大值,一般为min或max)3.估计量的评选原则,则为无偏;
(2)有效性:
两个无偏估计中方差小的有效;
(1)无偏性:
若
概率论与数理统计》期末试题
(2)与解答一、填空题
由知
.设的分布函数为的分布函数因为,所以,即故在上函数严格单调,反函数为所以
5.似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设为三个事件,且相互独
立,则以下结论中不正确的是(A)若,则与也独立.(B)若,则
(C)若,则与也独立.与也独立(D)若,则与也独立.
()2.设随机变量的分布函数为,则的值为(A).
(B)(C).(D).()
3.设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是(A)与独立.
(B)(C).(D).()4.设离散型随机变量和的
联合概率分布为若独立,则的值为
(A).
(D)正确的是估计量.
()
独立,
(A)..()(C)
.设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中
(A)X1是的无偏估计量.(B)X1是的极大似然
(C)X1是的相合(一致)估计量.(D)X1不是的估计量.
解:
1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(事实上由图可见A与C不独立
.由不相关的等价条件知应选(
应选
D)
2.所以
有
9
估计,应选(A).
三、
B).4
2
.,所以
(A).故应选(A)5
(7分)已知一批产品中
0.02,求
(1)一个产品经检查后被认为是合
90%0.05
X1是的无偏
,一个次
品被误认为是合格品的概率为
格品的概率;
(2)—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解:
设‘任取一产品,经检验认为是合格品’‘任取一产品确
是合格品’则
(1)
(2).
四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3件是相互独立的,并且
概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数,求的分布列、分布函数、数学期
望和方差.解:
的概率分布为
即
五、(10分)设二维随机变量在区域
率密度;
(2)的分布函数与概率密
(2)利用公式
时
当或时
的分布函数为
的分布函数为
匀分布.求
(1)关于的边缘概
(1)的概率密度为
其中
故的概率密度为
或利用
分布函数法
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标
互独立,且均服从分布.求
(1)命中环形区域的概率;
(2)命中点到目标中心距离
1)
度(单位:
差•
(1)
0.05).
Cm),今抽取容量为求的置信度为0.95
(附注)
七、(11分)设某机器生产的零件长
16样本,测得样本均值,样本方
区间;
(2)检验假设(显著性水平为
解:
(1)的置信度为
下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,的拒绝域为,
《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答
10.2132)
(2)
因为,所以接受
一、填空题(每小题
3分,共15分)
(1)设事件与相互独立,事件与互不相容,事件与
互不相容,,,则事件、、中仅发生或仅概率为
(2)甲盒中
有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为(3)设随机
变量的概率密度为现对察,用表示观察值不大于0.5的次
数,则.(4)设二维离散型随机变量的分布列为
若,则(
5)
设是总体的样本,是样本方差,若,
(注:
,,)
解:
(1)因为
与不相容,与不相容,
所以,故
同理
B
B
(2)设‘四个球是同
一颜色的',
‘四个球都是白球',
‘四个球都是黑球'
则
.所求概率为
所以
(3)
其
中
(4)
的分布为
这是因为,由
得
,故
(5)
即,
亦即
■
二、单项选择题(每小题3分,共15
分)
(1)设、
、为三个事件,且,则有
(A)(B)
(C)(
D)
(2)设随机变量的概率密度为
且,则在下列各组数中应取(A)(B)(C)
(D)(3)设随机变量与相互独立,其概率分布分别为
则有
(
))
(A)
、,一、tZ>→f∕∙,rt→、、I——⅜_rt、
(B)
Λ
(C)
(D)
(
)(4)对任意随机变量,若存在,
则等于
(A)
(B)
(C)(D)
()
(5)设
为正态总体的一个样本,
表示样本均值,则的
置信度
为的置信区间为
(B)
(C)
(
)(D)
解
(1)由知,故
A)
应选C.
(2)
即
时
故当
应选
(3)
应选
(4)应选
(5)
因为方差已知,所以的置信区间为
应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,求丢失的也是一等品的概率。
解:
设‘从箱中任取2件都是一等品'‘丢失等号'.
则
;所求概率为
四、(10分)设随机变量的概率密度为求
(1)常
数;
(2)的分布函数;(3)解:
(1)•••
(2)的分布函数为
(3)五、(12分)设的概率密度为
求
(1)边缘概率密度;
(2);(3)的概率密度
(2)
3)
时
六、(10分)
(1)设,且与独立,求;
(2)设且与独立,
求.
;
(2)因相互独立,所以
七、(10分)设总体的概率密度为试用来自总
体的样本,求未知参数的矩估计和极大似然估计解:
先求矩估计
故的矩估计为再求极大似然估计
所以的极大似然估计为《概率论与数理统
设测量零件的长度产生的误差服从正态分布,今随机地测量
,.在置信度0.95下,的置信区间为
(2)故.
(3),其
(4)设第件元5)的置信度下的置信区间系统的寿命为,
所以的置信区间为().二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入()中,每小题3分,共15分)
(1)是任意事件,在下列各式中,不成立的是(A)(B)
(C)..(D).
()
(2)设是随机变量,其分布函数分别为,为使是某一随机变
量的分布函数,在下列给定的各组数值
中应取
.(B)
(C).
(D).(
)
3)设随机变量的分布
函数为,
则的分布函数为
(A)
(A).
(B).
(D).
()
(4)设随机变量的概率分布为.
且满足,则的相关
系数为
(C).
C).(D).
()
相互独立,根据切比(5)设随机变量雪
夫不等式有
(A)0.
(B
■
(C).(D).
()
解:
(1)(A)
:
成立,
(B):
应选(B)
(A).(B)
(2).
应选
(C)(3)
应选(D)
(4)
的分布
为
,所以,
于是
B
应选(A)
(5)
由切比雪夫不等式
应选(D)三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从
参数为的泊松分布,而进入超市的每一个人购买种商品的概率为,若顾
客购买商品是相互独立的,求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。
解:
设‘一天中恰有个顾客购买种商品'‘一天中有个顾客
进入超市'则
四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩(即
参数之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考
生的成绩,以表示成绩在60分至84分之间的人数,求
(1)的分布列.
(2)和.解:
(1),其中
分)二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求的概
率密度。
设的概率密度为,则
当或时当时所以的密度为
解2:
分布函数法,设的分布函数为,则
故的密度为七、(9
分)已知分子运动的速度具有概率密度为的简单
随机样本
(1)求未知参数的矩估计和极大似然估计;
(2)验
一、判断题(每小题3分,本)⑴设A、B是Ω中的随机事()⑵设A、B是Ω中的随)⑶若X服从二项分布
⑷样本均是母体
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- 大学 概率论 数理统计 复习资料 试题 解析 绝对