偏导数的运算.docx

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偏导数的运算

偏导数的运算

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第二节偏导数

教学目的：

（1）理解多元函数偏导数的概念；

（2）掌握偏导数和高阶偏导数的求法的四则运算法则和复合函数的求导法则；

（3）了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件。

教学重点：

偏导数和高阶偏导数的求法

教学难点：

偏导数存在性的讨论

教学方法：

讲练结合

教学时数：

2课时

、偏导数的定义及其计算

在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论它的变化率。

由于多元函数不止一个自变量，研究起来要复杂得多。

但是，我们可考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，例如：

理想气体的体积：

V=kT,

P

因此，我们引入下面的偏导数概念。

1、偏导数的定义

定义2.1设函数z二f（x,y）在点（xo，y。

）的某一邻域内有定义，当y固定在y。

，而x

在xo处有增量x时，相应地函数有增量：

f（X。

•Ax,y。

）-f（x。

，y。

），

如果|巩f（x。

Xy。

）-f（x°,y。

）存在，则称此极限为函数z二f（x,y）在点（x0,y。

）处对x的偏导数，记为

，—，Zx（x。

，y。

）或fx（x。

，y。

）.

伙（x。

』。

）苏（冷』0）

fx（x。

，y。

）

lim

.x—0

f（X。

X,y。

）一f（x。

，y。

）

zx

同理可定义函数z=f（x,y）在点（x。

』。

）处对y的偏导数，为

f（x。

，y。

y）〜f（x。

，y。

）

记为z

（xo,yo）

，zy（x°,y°）或fy（x°,y。

）.

（xo,y°）

即fy（xo,yo）呷叽％号「（"0）=dLf（xo,y）

yzyo°

如果函数z=f（x,y）在区域D内任一点（x,y）处对x的偏导数都存在，那么这个

偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f（x,y）对自变量x的偏导函数，简称偏导数

_zf,

记作&，孑，zx或fx（x,y）.

同理可以定义函数z=f（x,y）对自变量y的偏导数，记作一z,—,zy或fy（x,y）•cycy

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

如u=f（x,y,z）在（x,y,z）处

fx（x,y，卄啊f（x5,y⑵一f（x,y⑵

f（x,y•：

y,z）-f（x,y,z）fy（X,y,z）pmo-

fzxz）呷fwn®

2、计算:

从偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，若对某一个自变

量求导，只需将其他自变量常数，用一元函数微分法即可。

曰

是，

元函数的求导公式和求

导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。

x23xyy2在点（1,2）处的偏导数.

L、

解法一:

z:

z

2x3y;3x2y.

.x:

y

；:

z

ex（1,2）

2132=8,：

z

£y（1,2）=3汉〔+2乂2_7

解法二:

欣（1,2严宀

i“亠2

dz

Ix^=1+3y+y

（1,2）5）

z

“先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。

如下例

有时,

y^=7

这里我们要知道,

例2:

f（x,y,z）

xyz

二xe

2、cf

（xy）arctanln（1xyz）,求——

ex

（1,0,1）-

解：

fx（x,0,1）=xx0

拼

=x,.——

ex

（1,0,1）=1.

例3已知理想气体的状态方程pV=RT（R为常数），

求证：

空兰1=-1.

V订.:

p

证明：

p：

二E=

VeV

RT-

—

』T

p

PV二

:

T

-P

2T

8

RT

_V2

RT

=-1

PV

有关偏导数的几点说明：

1、偏导数—是一个整体记号，不能拆分;

ex

2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;

例如，z=f（x,y）二

•，莎求fx（0,0）,fy（0,0）.

j

解：

fx（0,0）巳m|x0|-0=0二fy（0,0）.

例4:

设f（x,沪宀°,沪（0,°）,求f（x,y）的偏导数。

〔0（x,y）=（0,0）

解：

当（x,y）=（0,0）时，fx（x,y）=y（x2y2）—2xxy

y（y2-x2）

fy（x,y）=

222

（xy）

222'

（xy）

“22、小

x（xy）_2yxy

222

（xy）

222'（xy）

当（x,y）=（0,0）时，按定义可知

仁（0,0）侧305。

。

）

=l.im卫-0,

」0j.x

f（0,3）—f（0,0）fy（0,0）少0（，y（，

啊十0,

、/y（y-x）

故fx（x,y）=*（X2+y2）2

b

3、偏导数存在与连续的关系

（x,y）=（O,O）

（X,y）=（0,0）

^22

x（x-y）

r/、-~2T~2

fy（x,y）=<（x+y）

（x,A（0,0）

（x,y）=（0,0）

元函数中在某点可导，函数在该点一定连续，但多元函数中在某点偏导数存在，函数

'xy

例如，函数f（x,y）=*

x2+y2

0,

未必连续

x2y2-0

依定义知在（0,0）处，

x2y2二0

fx（0,0）=fy（0,0）=0.但函数在该点处并不连续•

4、偏导数的几何意义

设M0（X0,y0,f（Xo’y。

））是曲面z二f（x,y）上一点，则

偏导数fx（x0,y0）就是曲面被平面y二y0所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜

率；偏导数fy（x0,y0）就是曲面被平面x二x0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴

的斜率.

二、高阶偏导数

设函数z=f（x,y）在区域D内的两个偏导数fx（x,y）、fy（x,y）的偏导数也存在，则

称它们是函数Z=f（x,y）的二阶偏导数。

记作

-2

:

:

z

=fxx（x,y）,=

JfHy^=fyy（x,y）

d（cz^

一一I

-2

:

z

列\、px3cxcy

=fxy（x,y）,

:

z

-2

:

z

二fyx（x,y）

定义：

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

例5设z=x3y2—3xy3

.：

2z

-xy1，求亍

;2z

：

2z

z223

解：

3xy-3y

:

x

-：

z

-y,-

32

二2xy-9xy

：

：

2z

-x;

2Cz2

6xy,36y,

；：

2z

-2

■y

二2x3T8xy;

；：

2z

■n2

:

z

=6xy—9y-1,

：

x：

y:

y：

x

例6设u=eaxcosby，求二阶偏导数.

axuax

解：

aecosby,besinby;

.xy

.2.2

:

U2axU,2ax

2aecosby,2becosby,.x；y

=-abeaxsinby,_：

x；：

y

「u=-abeaxsinby.

■y.x

问题：

混合偏导数都相等吗?

例7设f（x,y）=t

x3y

0

（X"）珂0,0，求fxy（0,0）,fyx（0,0）.

（x,y）=（0,0）

解：

当（x,y）=（0,0）时,

fx（x,y）二

3x2y（x2y2）-2xx3y

/22、2

（xy）

3x2y2x4y

~2_~2,

xy（xy）

fy（x,y）二

332

x2xy

""2_~2r~2,

xy（xy）

当（x,y）=（0,0）时，按定义可知:

fx（0,0）=叽f（gf（0Q）

=lim

匚xx

f（0,Ay）—f（0,0）

fy（0,0）Pm0y

二lim2=0,

y—0._.y

fxy（0,0）^^=0

显然fxy（0,0）=fyx（0,0）.

问题：

具备怎样的条件才能使混合偏导数相等?

定理2.1如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数

2厂2

及上Z在区域D内连

；：

y：

：

xfx；：

y

续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

例8验证函数u（x,y）=1nx2y2满足拉普拉斯方程

.■.2.■.2

:

'Uu

220-

:

x:

y

证明:

m、,x2

=丄1n（x

y2）,二

：

：

u

.:

u

:

y

-2/2222.2

；■u（xy）-x2xy-x:

-u

一2■22^"2,一2.x（xy）（xy）；y

（x2y2）-y2y

（xy）

x-y

/2.2X2-

（xy）

2影2222

:

uruy「xx-y

+—+n

=0.x；:

y（xy）（xy）

内容小结：

1•偏导数的定义（偏增量比的极限）

2•偏导数的计算、偏导数的几何意义

3•高阶偏导数：

纯偏导，混合偏导及其相等的条件

思考题：

若函数f（x,y）在点Po（xo，yo）连续，能否断定f（x,y）在点Po（x。

，y。

）的

偏导数必定存在?

思考题解答：

不能。

例如f（x,y）—x2•y2在（0,0）处连续，但fx（0,0）=fy（0,0）不存在。

作业：

练习册P5---P8.