学年宁夏吴忠中学高二上学期期末考试数学文试题及答案解析.docx
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学年宁夏吴忠中学高二上学期期末考试数学文试题及答案解析
绝密★启用前
2020-2021学年宁夏吴忠中学高二上学期期末考试数学(文)试题
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.椭圆
的焦点坐标为()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
根据公式可直接计算焦点的坐标.
解:
因为椭圆的方程为
,故焦点在
轴上,且
,
设
为半焦距,故
,故焦点坐标为:
.
故选:
A.
2.已知命题
,
,下列
形式正确的是()
A.
,使得
B.
,使得
C.
,
D.
,
答案:
B
全称命题的否定是特称命题,否定量词,否定结论.
解:
否定量词,否定结论,即
,使得
.
故选:
B.
点评:
本题考查了全称命题的否定,属于基础题.
3.设
,
是两条不同的直线,
,
,
是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若
,
,则
;
②若
,
,
,则
;
③若
,
,
,则
;
④若
,
,则
.
其中真命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
答案:
B
根据空间中的线面关系的性质定理或判断定理或反例逐项判断后可得正确的选项.
解:
对于①,若
,
,则
或
异面,故①错误.
对于②,因为
,
,故
,而
,故
,故②正确.
对于③,如图,
,
,
,但
,故③错误.
对于④,如图,在正方体
中,平面
平面
,
平面
平面
,但平面
平面
,故④错误.
故选:
B.
点评:
方法点睛:
对于几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题,应该根据已知判断定理、性质定理来处理,也可以在正方体中考虑它们成立与否,因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系.
4.设
,则
的一个必要不充分条件是()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
根据条件关系得到两者的包含关系,从而得到正确的选项.
解:
的必要不充分条件对应的集合真包含了
,
故只有B中对应的集合满足这一个要求,
故选:
B.
5.下列四个结论,正确的是()
①
②
③
④
A.①②B.②③C.①③D.①④
答案:
C
【解析】对于①,因为
,所以
,所以
,故正确;对于②,当
,则
故错误;对于③,因为
所以
,故正确;对于④,因为
,所以
,所以
,故错误,故选C.
6.设
是等差数列
的前
项和,若
则
A.
B.
C.
D.
答案:
A
【解析】
,
,选A.
7.如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱
中,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
由题意结合棱柱的几何特征可得
或其补角为异面直线
与
所成角,再结合余弦定理即可得解.
解:
如图,连接
,
,
,
,
四边形
为平行四边形,
,
或其补角为异面直线
与
所成角,
在
中,由已知可得
,
,
.
异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选:
D.
点评:
本题考查了棱柱几何特征的应用及异面直线夹角的求解,考查了余弦定理的应用及运算求解能力,属于基础题.
8.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.akmB.
akm
C.
akmD.2akm
答案:
B
先根据题意确定
的值,再由余弦定理可直接求得
的值.
解:
在
中知∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×
=3a2,∴AB=
a.
故选:
B.
点评:
本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
9.若直线
过点
,则
的最小值等于()
A.2B.3C.4D.5
答案:
C
【解析】试题分析:
∵直线
(
,
)过点
,∴
.则
,当且仅当
时取等号.故答案为C.
【解析】基本不等式.
10.在正项等比数列
中,
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
【解析】由正项等比数列
的性质可知:
,则
=
11.已知
分别是
的内角
的的对边,若
,则
的形状为( )
A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形
答案:
A
由已知结合正弦定理可得
利用三角形的内角和及诱导公式可得,
整理可得
从而有
结合三角形的性质可求
解:
解:
是
的一个内角,
,
由正弦定理可得,
又
,
,即
为钝角,故选A.
点评:
本题主要考查了正弦定理,三角形的内角和及诱导公式,两角和的正弦公式,属于基础试题.
12.已知椭圆
的焦点为
,
,过
的直线与
交于
,
两点.若
,
,则椭圆
的方程为()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
由椭圆的定义
,结合
,得到
,再由
,得到A为椭圆的上(下)顶点,然后由
,求得点B的坐标,再由点B在椭圆上求解.,
解:
由椭圆的定义得:
,
因为
,
所以
,
又
,
所以
,
所以A为椭圆的上(下)顶点,
设
,
因为
,
所以
,即
,
解得
,
所以
,
又因为点B在椭圆上,
所以
,
解得
,又
,
所以
,
所以椭圆
的方程为
,
故选:
B
二、填空题
13.设
,
满足约束条件
,则
的最小值是______.
答案:
由约束条件画出可行域,然后运用线性规划来求解最小值
解:
由题意约束条件作出可行域,用阴影部分表示,如图所示
当目标函数
过点
时取得最小值
最小值为
故答案为
点评:
本题主要考查了线性规划,解题步骤为:
画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值,注意在判定可行域时的方法.
14.数列
中
为
的前n项和,若
,则
_______.
答案:
6
【解析】试题分析:
由题意得,因为
,即
,所以数列
构成首项
,公比为
的等比数列,则
,解得
.
【解析】等比数列的概念及等比数列求和.
15.如图,在平面直角坐标系
中,
是椭圆
的右焦点,直线
与椭圆交于
两点,且
,则该椭圆的离心率是__________.
答案:
【解析】由题意得
,故
,
,
又
,所以
【解析】椭圆离心率
【名师点睛】椭圆离心率的考查,一般分两个层次,一是由离心率的定义,只需分别求出
,这注重考查椭圆标准方程中量的含义,二是整体考查,求
的比值,这注重于列式,即需根据条件列出关于
的一个等量关系,通过解方程得到离心率的值.
三、双空题
16.在
中,角
,
,
所对的边分别为
,
,
.若
,
,
,则
=___________,
=___________.
答案:
3
由正弦定理求出
,由余弦定理列出关于
的方程,然后求出
.
解:
因为
,
,
,所以由正弦定理得
.由余弦定理
可得
,所以
.
故答案为:
;3.
点评:
本题考查正弦定理和余弦定理,在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边.
四、解答题
17.给定命题
:
对任意实数
都有
成立;命题
:
关于
的方程
有实数根.如果
为真命题,
为假命题,求实数
的取值范围.
答案:
根据
为真命题,
为假命题,可判断出
与
一真一假,分类讨论即可得出实数
的取值范围.
解:
对任意实数
都有
恒成立
或
;
关于
的方程
有实数根
;
由于
为真命题,
为假命题,则
与
一真一假;
(1)如果
真,且
假,有
,且
;
(2)如果
真,且
假,有
或
,且
.
所以实数a的取值范围为:
.
点评:
本题主要考查根据复合命题的真假求参数的取值范围,考查不等式恒成立问题及一元二次方程存在解问题,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
18.如图,在三棱柱
中,侧棱垂直于底面,
分别是
的中点.
(1)求证:
平面
平面
;
(2)求证:
平面
;
(3)求三棱锥
体积.
答案:
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直;
(2)证明直线与平面平行;(3)求三棱锥的体积就用体积公式.
(1)在三棱柱
中,
底面ABC,所以
AB,
又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面
,因为AB
平面
,所以平面
平面
.
(2)取AB中点G,连结EG,FG,
因为E,F分别是
、
的中点,所以FG∥AC,且FG=
AC,
因为AC∥
,且AC=
,所以FG∥
,且FG=
,
所以四边形
为平行四边形,所以
EG,
又因为EG
平面ABE,
平面ABE,
所以
平面
.
(3)因为
=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=
,
所以三棱锥
的体积为:
=
=
.
【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明;考查几何体的体积的求解等基础知识,考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.
19.如图,点
分别是椭圆
的左、右焦点.点A是椭圆C上一点,且满足
轴,
,直线
与椭圆C相交于另一点B.
(1)求椭圆C的离心率e;
(2)若
的周长为
,求椭圆C的标准方程.
答案:
(1)
;
(2)
(1)通过求解直角三角形,得到
,
,结合椭圆定义即可求得离心率;
(2)通过椭圆定义,结合三角形的周长,求出
,再利用离心率和
,即可得解.
解:
(1)
中,
,
,
,即
,解得
,
,即
,解得
,
由椭圆的定义,得
,即
,
离心率
;
(2)
的周长
,
,
,
,
,
椭圆C的标准方程为
.
点评:
本题主要考查椭圆的离心率和标准方程的求解,其中涉及到椭圆的定义,考查了学生对这些知识的掌握能力,属于基础题.
20.在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为
的矩形区域(如图所示),按规划要求:
在矩形内的四周安排
宽的绿化,绿化造价为200元/
,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/
.设矩形的长为
,总造价为
(元).
(1)将
表示为关于
的函数;
(2)当
取何值时,总造价最低,并求出最低总造价.
答案:
(1)
;
(2)当
时,总造价最低且最低为
.
(1)根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积,从而可得
表示为关于
的函数;
(2)利用基本不等式可求何时取何最值.
解:
(1)因为矩形区域的面积为
,故矩形的宽为
,
绿化的面积为
,
中间区域硬化地面的面积为
,
故
,
整理得到
,
由
可得
,
故
.
(2)由基本不等式可得
,
当且仅当
时等号成立,
故当
时,总造价最低且最低为
.
点评:
方法点睛:
利用基本不等式解决应用问题时
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- 学年 宁夏 吴忠 中学 高二上 学期 期末考试 数学 试题 答案 解析