高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院.docx

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高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院

一、问答题（将解答输入文本框中，共41道小题）

1.

求下列函数的定义域:

（1）y=x2−4,

（2）y=14−x2,（3）设f（x）的定义域是[0,1],求f（ln⁡x）的定义域.

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

D=（−∞, 2]∪[2, +∞）,

（2）

D=（−2, 2）,

（3）由

ln⁡x∈[0,1]可得其定义域为

[1,e].

2.若f（t）=2t2+2t2+5t+5t,证明f（t）=f（1t）.[本题2分]

参考答案：

证明:

f（1t）=21t2+2t2+5t+51t=f（t）.

3.设f（x）=2x2+6x−3,求ϕ（x）=12[f（x）+f（−x）]及ψ（x）=12[f（x）−f（−x）],并指出ϕ（x）及ψ（x）中哪个是奇函数哪个是偶函数?

[本题2分]

参考答案：

解:

ϕ（x）=12[f（x）+f（−x）]=2x2−3是偶函数,

ψ（x）=12[f（x）−f（−x）]=6x是奇函数.

4.

求下列极限:

（1）lim⁡x→1x2−2x+1x2−1;

（2）lim⁡h→0（x+h）2−x2h;（3）lim⁡x→∞x2−12x2−x−1;（4）lim⁡x→∞x2+xx4−3x2+1;（5）lim⁡x→4x2−6x+8x2−5x+4;（6）lim⁡n→∞1+2+3+⋯+（n−1）n2;（7）lim⁡n→∞（n+1）（n+2）（n+3）5n3;（8）lim⁡x→1（11−x−31−x3）

参考答案：

解:

（1）

lim⁡x→1x2−2x+1x2−1=lim⁡x→1（x−1）2（x−1）（x+1）=lim⁡x→1x−1x+1=0.

（2）

lim⁡h→0（x+h）2−x2h=lim⁡h→0 （2x+h）=2x.

（3）

lim⁡x→∞x2−12x2−x−1=lim⁡x→∞1−1x22−1x−1x2=12.

（4）

lim⁡x→∞x2+xx4−3x2+1=lim⁡x→∞1x2+1x31−3x2+1x4=0.

（5）

lim⁡x→4x2−6x+8x2−5x+4=lim⁡x→4（x−2）（x−4）（x−1）（x−4）=lim⁡x→4x−2x−1=23.

（6）

lim⁡n→∞1+2+3+⋯+（n−1）n2=lim⁡n→∞n（n−1）2n2=lim⁡n→∞12（1−1n）=12.

（7）

lim⁡n→∞（n+1）（n+2）（n+3）5n3=lim⁡n→∞15（1+1n）（1+2n）（1+3n）=15.

（8）

lim⁡x→1（11−x−31−x3）=lim⁡x→1x2+x−2（1−x）（x2+x+1）=lim⁡x→1（x−1）（x+2）（1−x）（x2+x+1）=1

5.

计算下列极限:

（1）lim⁡x→0sin⁡ωxx;

（2）lim⁡x→0tan⁡3xx;（3）lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x;（4）lim⁡x→0xcot⁡x;（5）lim⁡x→01−cos⁡2xxsin⁡x;（6）lim⁡x→+∞x（x2+1−x）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）根据重要极限可得

lim⁡x→0sin⁡ωxx=ω.

（2）

lim⁡x→0tan⁡3xx=lim⁡x→0sin⁡3xx1cos⁡3x=3.

（3）

lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x=lim⁡x→0sin⁡2xxxsin⁡5x=25.

（4）

lim⁡x→0xcot⁡x=lim⁡x→0xsin⁡xcos⁡x=1.

（5）

lim⁡x→01−cos⁡2xxsin⁡x=lim⁡x→01−cos⁡2xx2xsin⁡x=lim⁡x→0[sin⁡2xx2]211+cos⁡2x=2.

（6）

lim⁡x→+∞x（x2+1−x）=lim⁡x→+∞xx2+1+x=lim⁡x→+∞11+1x2+1=12

6.

利用夹逼准则证明:

（1）lim⁡n→∞（nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ）=1;

（2）lim⁡x→∞（1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n）=1

参考答案：

证明:

（1）因为

n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ≤n2n2+π,

而

lim⁡n→∞n2n2+π=lim⁡n→∞n2n2+nπ=1,

所以

lim⁡n→∞（nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ）=1.

（2）因为

nn2+n≤1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n≤nn2+1,

而

lim⁡n→∞nn2+1=lim⁡n→∞nn2+n=1,

所以

lim⁡x→∞（1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n）=1.

7.

研究下列函数的连续性:

（1）f（x）={x2,  0≤x≤1,2−x, 1

（2）f（x）={x,−1≤x≤1,1,x<−1或x>1.

[本题2分]

参考答案：

证明:

（1）仅需要讨论在

x=1点的连续性.因为

lim⁡x→1−f（x）=lim⁡x→1−x2=1,

lim⁡x→1+f（x）=lim⁡x→1−（2−x）=1,

所以

f（x）在

x=1点连续.

（2）仅需要讨论在

x=±1点的连续性.因为

lim⁡x→1−f（x）=lim⁡x→1−x=1,

lim⁡x→1+f（x）=lim⁡x→1−1=1,

所以

f（x）在

x=1点连续.同理

lim⁡x→−1−f（x）=lim⁡x→1−1=1,

lim⁡x→−1+f（x）=lim⁡x→1−x=−1,

所以

f（x）在

x=−1点不连续.

8.

证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.

[本题2分]

参考答案：

证明:

设

f（x）=x5−3x−1,

显然是连续的,又

f

（1）=1−3−1=−3<0,

f

（2）=25−6−1=25>0,

由零点定理知存在

c∈（1, 2）,

使得

f（c）=c5−3c−1=0,

即方程

x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.

9.

求下列函数的导数:

（1）y=x4;

（2）y=x23;（3）y=x1.6;（4）y=1x;（5）y=1x2;（6）y=x3x5

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=4x3,

（2）

y′=23x−1/3,

（3）

y′=1.6x0.6,

（4）

y′=−12xx,

（5）

y′=−2x3,

（6）

y′=165x11/5

10.

求曲线y=cos⁡x上点（π3,12）处的切线方程和法线方程.

[本题2分]

参考答案：

解:

k=−sin⁡x|x=π/3=−32,

所以切线方程和法线方程分别为:

y−12=32（x−π2）,

y−12=−23（x−π2）

11.求曲线y=ex在点（0,1）处的切线方程.[本题2分]

参考答案：

解:

k=ex|x=0=1,

所以切线方程和法线方程分别为:

y−1=x,

y−1=−x.

12.

设函数f（x）={x2,x≤1,ax+b,x>1.

为了使函数f（x）在x=1处连续且可导,a、b应取什么值?

[本题2分]

参考答案：

解:

由连续性可知

1=lim⁡x→1+f（x）=a+b,

由可导知

2=（ax+b）′|x=1=a所以

a=2,  b=−1.

13.

求下列函数的导数:

（1）y=5x2−2x+3ex;

（2）y=2tan⁡x+sec⁡x−1;（3）y=sin⁡x⋅cos⁡x;（4）y=x2ln⁡x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=10x−2xln⁡2+3ex,

（2）

y′=2sec⁡2x+sec⁡xtan⁡x,

（3）

y′=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x,

（4）

y′=2xln⁡x+x

14.写出曲线y=x−1x与x轴交点处的切线方程.[本题2分]

参考答案：

解:

交点为

（±1, 0）,

斜率为

k=y′=（1+1x2）|x=±1=2,

所以切线方程为:

y=2（x±1）

15.

求下列函数的导数:

（1）y=（2x+5）4;

（2）y=cos⁡（4−3x）;（3）y=ln⁡（1+x2）;（4）y=sin⁡2x;（5）y=sin⁡2xx;（6）y=ln⁡（x+a2+x2）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=8（2x+5）3,

（2）

y′=3sin⁡（4−3x）,

（3）

y′=2x/（1+x2）,

（4）

y′=sin⁡2x,

（5）

y′=2xcos⁡2x−sin⁡2xx2,

（6）

y′=（x+a2+x2）−1（1+xa2+x2）=1a2+x2

16.

求下列函数的二阶导数:

（1）y=2x2+ln⁡x;

（2）y=e2x−1;（3）y=xcos⁡x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=4x+1x,

y″=4−1x2,

（2）

y′=2e2x−1,

y′′=4e2x−1,

（3）

y′=cos⁡x−xsin⁡x,

y′′=−2sin⁡x−xcos⁡x

17.设f（x）=（x+10）6,求f‴

（2）=?

[本题2分]

参考答案：

解:

f′（x）=6（x+10）5,

f′′（x）=30（x+10）4,f‴（x）=120（x+10）3,

所以

f‴

（2）=120⋅（12）3

18.

验证函数y=exsin⁡x满足关系式:

y″−2y′+2y=0.

[本题2分]

参考答案：

解:

y′=ex（sin⁡x+cos⁡x）,

y′′=2excos⁡x,

所以

y″−2y′+2y=0.

19.

用对数求导数法求下列函数的导数:

（1）y=（x1+x）x;

（2）y=x−5x2+255

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

ln⁡y=xln⁡x−xln⁡（1+x）,

所以

y′=y[ln⁡x−ln⁡（1+x）+11+x].

（2）

ln⁡y=15[ln⁡（x−5）−15ln⁡（x2+2）],

所以

y′=y25（5x−5−2xx2+2）

20.不用求函数f（x）=（x−1）（x−2）（x−3）（x−4）的导数,说明方程f′（x）=0有几个实根,并指出它们所在区间.[本题2分]

参考答案：

解:

由罗尔定理知

f′（x）=0有三个不同的实根,分布在（1,2）,（2,3）,（3,4）.

21.设a>b>0,n>1,证明:

nbn−1（a−b）

参考答案：

证明:

设

f（x）=xn,

在

[b,a]区间上使用中值定理得:

an−bn=nξn−1（a−b）,

其中

a>ξ>b>0,

所以

an−1>ξn−1>bn−1,

故不等式

nbn−1（a−b）

22.

证明方程x5+x−1=0只有一个正根.

[本题2分]

参考答案：

证明:

设

f（x）=x5+x−1,

则

f（0）=−1<0, f

（1）=1>0,

由零点定理知方程

x5+x−1=0在0和1之间有一个（正）根.若方程

x5+x−1=0有两个正根

a,b, a>b>0,

则由罗尔定理知存在

ξ:

 a>ξ>b>0,

使得

5ξ4+1=0,

但这显然是不可能的,所以方程

x5+x−1=0只有一个正根.

23.

用洛必达法则求下列极限:

（1）lim⁡x→0ln⁡（1+x）x;

（2）lim⁡x→0ex−e−xsin⁡x;（3）lim⁡x→πsin⁡3xtan⁡5x;（4）lim⁡x→0xcot⁡2x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

lim⁡x→0ln⁡（1+x）x=lim⁡x→011+x=1,

（2）

lim⁡x→0ex−e−xsin⁡x=lim⁡x→0ex+e−xcos⁡x=2,

（3）

lim⁡x→πsin⁡3xtan⁡5x=−lim⁡x→πsin⁡3xsin⁡5x=−lim⁡x→π3cos⁡3x5cos⁡5x=−35,

（4）

lim⁡x→0xcot⁡2x=lim⁡x→0xtan⁡2x=12

24.

确定下列函数的单调区间:

（1）y=2x3−6x2−18x−7;

（2）y=2x+8x（x>0）;（3）y=xne−x（n>0,x≥0）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=6x2−12x−18=6（x−1）（x−2）,

所以单增区间:

（−∞,1）, （2,+∞）,

单减区间:

（1,2）.

（2）

y′=2−8x2=2（x-2）（x+2）x2,

所以单增区间:

 （2,+∞）,

单减区间:

（0,2）.

（3）

y′=xn−1（n-x）e−x,

所以单增区间:

[0,n],

单减区间:

（n,+∞）

25.

证明不等式:

当x>0时,1+12x>1+x

[本题2分]

参考答案：

证明:

设

f（x）=1+12x−1+x,

则

f′（x）=12−121+x>0, （∀ x>0）,

所以

f（x）在

[0,+∞）上单增,从而当

x>0时,有

f（x）=1+12x−1+x>f（0）=0,

即

1+12x>1+x.

26.

试证方程sin⁡x=x只有一个实根.

[本题2分]

参考答案：

证明:

设

f（x）=x−sin⁡x,

显然0是一个根,下证唯一性.

f′（x）=1−cos⁡x>0,

（

−π2

而在区间

−π2

）,所以

f（x）在

−π2

27.

求下列函数的极值:

（1）y=x2−2x+3;

（2）y=2x3−3x2;（3）y=2x3−6x2−18x+7;（4）y=x−ln⁡（1+x）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）由

y′=2x−2=0得

x=1,

且

y′′=2>0,

所以

x=1是极小值点,极小值为:

2.

（2）由

y′=6（x2−x）=0得

x=0, 1,

且

y′′=12x−6,

所以

x=0是极大值点,极大值为:

0,

x=1是极小值点,极小值为:

−1.

（3）由

y′=6（x2−2x−3）=6（x+1）（x−3）=0得

x=− 1, 3,

容易从单调性可知:

x=−1是极大值点,极大值为:

17,

x=3是极小值点,极小值为:

−47.

（4）由

y′=1−11+x=0得

x=0,

且

y′′=1（1+x）2>0,

所以

x=0是极小值点,极小值为:

0

28.

试问a何值时,函数f（x）=asin⁡x+13sin⁡3x在x=π3处取得极值?

它是极大值还是极小值?

[本题2分]

参考答案：

解:

由极值的必要条件知

f′（π/3）=（acos⁡x+cos⁡3x）|π/3=0得

a=2.

又

f′′（π/3）=（−2sin⁡x−3sin⁡3x）|π/3=−3<0,

此为极大值.

29.

求下列函数的最大值、最小值:

（1）y=2x3−3x2,−1≤x≤4;

（2）y=x4−8x2+2,−1≤x≤3

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）由

y′=6（x2−x）=0,

得

x=0, 1,

且

y（−1）=−5,

y（0）=0,

y

（1）=−1,

y（4）=80.

所以函数

y=2x3−3x2在区间

−1≤x≤4上的最大值为:

80,最大值为:

−5.

（2）由

y′=4（x3−4x）=0得

x=0, ±2,

且

y（−1）=−5,

y（0）=2,

y（±2）=−14,

y（3）=11,

所以函数

y=x4−8x2+2在区间

−1≤x≤3上的最大值为:

11,最大值为:

−14

30.

判定下列曲线的凹凸性:

（1）y=4x−x2;

（2）y=x+1x（x>0）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）由

y′=4−2x, y″=−2<0,

所以函数

y=4x−x2在定义域内是凸的.

（2）由

y′=1−1x2, y″=1x3>0,（x>0）,

所以函数

y=x+1x在

（0,+∞）上是凹的.

31.

求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:

（1）y=x3−5x2+3x+5;

（2）y=xe−x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）由

y′=3x2−10x+3, y″=6x−10知函数

y=x3−5x2+3x+5在

（−∞, 53）上是凸的,在

（53,+∞）上是凹的.

（2）由

y′=（1−x）e−x,  y″=（x−2）e−x知函数

y=xe−x在

（−∞, 2）上是凸的,在

（2,+∞）上是凹的.

32.

求下列不定积分:

（1）∫dxx2;

（2）∫xxdx;（3）∫（x−2）2dx;（4）∫dxx2x;（5）∫（x2−3x+2）dx;（6）∫cos⁡2x2dx;（7）∫（2ex+3x）dx

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

∫dxx2=−1x+C,

（2）

∫xxdx=25x2x+C,

（3）

∫（x−2）2dx=13（x−2）2+C,

（4）

∫dxx2x=−231xx+C,

（5）

∫（x2−3x+2）dx=13x3−32x2+2x+C,

（6）

∫cos⁡2x2dx=∫12（1+cos⁡x）dx=12（x+sin⁡x）+C,

（7）

∫（2ex+3x）dx=2ex+3ln⁡|x|+C

33.

求下列不定积分（其中a、b、ω、ϕ均为常数）:

（1）∫e5tdt;

（2）∫dx2−3x3;（3）∫sin⁡ttdt;（4）∫xe−x2dx;（5）∫sin⁡xcos⁡3xdx;（6）∫dx（x+1）（x−2）;（7）∫dx1+2x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

∫e5tdt=15e5t+C;

（2）

∫dx2−3x3=−12（2−3x）23+C;

（3）

∫sin⁡ttdt=−2cos