届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理11081147.docx
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届高考数学专题十九圆锥曲线综合精准培优专练理11081147
培优点十九圆锥曲线综合
1.直线过定点
例1:
已知中心在原点,焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
,过左焦点
且垂直于
轴的直线交椭圆
于
,
两点,且
.
(1)求
的方程;
(2)若直线
是圆
上的点
处的切线,点
是直线
上任一点,过点
作椭圆
的切线
,
,切点分别为
,
,设切线的斜率都存在.求证:
直线
过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】
(1)
;
(2)证明见解析,
.
【解析】
(1)由已知,设椭圆
的方程为
,
因为
,不妨设点
,代入椭圆方程得
,
又因为
,所以
,
,所以
,
,
所以
的方程为
.
(2)依题设,得直线
的方程为
,即
,
设
,
,
,
由切线
的斜率存在,设其方程为
,
联立
得,
,
由相切得
,
化简得
,即
,
因为方程只有一解,所以
,所以切线
的方程为
,
即
,同理,切线
的方程为
,
又因为两切线都经过点
,所以
,所以直线
的方程为
,
又
,所以直线
的方程可化为
,
即
,令
,得
,
所以直线
恒过定点
.
2.面积问题
例2:
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,焦距为4,直线
与椭圆相交于
、
两点,
关于直线
的对称点
在椭圆上.斜率为
的直线
与线段
相交于点
,与椭圆相交于
、
两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形
面积的取值范围.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)由椭圆焦距为4,设
,
,连结
,设
,
则
,又
,得
,
,
,
解得
,
,所以椭圆方程为
.
(2)设直线
方程:
,
、
,
由
,得
,所以
,
由
(1)知直线
:
,代入椭圆得
,
,得
,由直线
与线段
相交于点
,得
,
,
而
与
,知
,
,
由
,得
,所以
,
四边形
面积的取值范围
.
3.参数的值与范围
例3:
已知抛物线
的焦点
,点
在抛物线
上,过焦点
的直线
交抛物线
于
,
两点.
(1)求抛物线
的方程以及
的值;
(2)记抛物线
的准线与
轴交于点
,若
,
,求
的值.
【答案】
(1)
,
;
(2)
.
【解析】
(1)
抛物线
的焦点
,
,则
,抛物线方程为
;
点
在抛物线
上,
.
(2)依题意,
,设
,设
、
,
联立方程
,消去
,得
.
所以
①,且
,
又
,则
,即
,
代入①得
,消去
得
,
,则
,
,
则
,
当
,解得
,故
.
4.弦长类问题
例4:
已知椭圆
的左右顶点是双曲线
的顶点,且椭圆
的上顶点到双曲线
的渐近线的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若直线
与
相交于
,
两点,与
相交于
,
两点,且
,求
的取值范围.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)由题意可知:
,又椭圆
的上顶点为
,
双曲线
的渐近线为:
,
由点到直线的距离公式有:
,∴椭圆方程
.
(2)易知直线
的斜率存在,设直线
的方程为
,代入
,消去
并整理得:
,
要与
相交于两点,则应有:
,
设
,
,
则有:
,
.
又
.
又:
,所以有:
,
,②
将
,代入
,消去
并整理得:
,
要有两交点,则
.③
由①②③有
.
设
、
.有
,
,
.
将
代入有
.
,令
,
,
令
,
.
所以
在
内恒成立,故函数
在
内单调递增,
故
.
5.存在性问题
例5:
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)是否存在斜率为2的直线
,使得当直线
与椭圆
有两个不同交点
,
时,能在直线
上找到一点
,在椭圆
上找到一点
,满足
?
若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
;
(2)不存在,见解析.
【解析】
(1)设椭圆
的焦距为
,则
,
∵
在椭圆
上,∴
,
∴
,
,故椭圆
的方程为
.
(2)假设这样的直线存在,设直线
的方程为
,
设
,
,
,
,
的中点为
,
由
,消去
,得
,
∴
,且
,故
且
,
由
,知四边形
为平行四边形,
而
为线段
的中点,因此
为线段
的中点,
∴
,得
,
又
,可得
,∴点
不在椭圆上,
故不存在满足题意的直线
.
一、解答题
1.已知动圆
过点
并且与圆
相外切,动圆圆心
的轨迹为
.
(1)求曲线
的轨迹方程;
(2)过点
的直线
与轨迹
交于
、
两点,设直线
,设点
,直线
交
于
,求证:
直线
经过定点.
【答案】
(1)
;
(2)见解析.
【解析】
(1)由已知
,
,
轨迹
为双曲线的右支,
,
,
,
曲线
标准方程
.
(2)由对称性可知,直线
必过
轴的定点,
当直线
的斜率不存在时,
,
,
,知直线
经过点
,
当直线
的斜率存在时,不妨设直线
,
,
,
直线
,当
时,
,
,
得
,
,
,
下面证明直线
经过点
,即证
,即
,
即
,由
,
,
整理得,
,即
即证
经过点
,直线
过定点
.
2.已知点
在椭圆
上,设
,
分别为椭圆的左顶点、下顶点,原点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设
为椭圆
在第一象限内一点,直线
,
分别交
轴、
轴于
,
两点,求四边形
的面积.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】
(1)因为椭圆
经过点
,有
,
由等面积法,可得原点
到直线
的距离为
,
联立两方程解得
,
,所以椭圆
的方程为
.
(2)设点
,则
,即
.
直线
,令
,得
.
从而有
,同理,可得
.
所以四边形的面积为
.
所以四边形
的面积为
.
3.已知点
为圆
的圆心,
是圆上的动点,点
在圆的半径
上,且有点
和
上的点
,满足
,
.
(1)当点
在圆上运动时,判断
点的轨迹是什么?
并求出其方程;
(2)若斜率为
的直线
与圆
相切,与
(1)中所求点
的轨迹交于不同的两点
,
,且
(其中
是坐标原点),求
的取值范围.
【答案】
(1)是以点
,
为焦点,焦距为2,长轴长为
的椭圆,
;
(2)
.
【解析】
(1)由题意
是线段
的垂直平分线,
所以
,
所以点
的轨迹是以点
,
为焦点,焦距为2,长轴长为
的椭圆,
∴
,
,
,
故点
的轨迹方程是
.
(2)设直线
:
,
,
,
直线
与圆
相切,得
,即
,
联立
,消去
得:
,
,得
,
,
,
∴
,
所以
,得
,
∴
,解得
或
,
故所求范围为
.
4.已知椭圆
的焦距为
,离心率为
,圆
,
,
是椭圆的左右顶点,
是圆
的任意一条直径,
面积的最大值为2.
(1)求椭圆
及圆
的方程;
(2)若
为圆
的任意一条切线,
与椭圆
交于两点
,
,求
的取值范围.
【答案】
(1)
,
;
(2)
.
【解析】
(1)设
点到
轴距离为
,则
,易知当线段
在
轴时,
,
,
,
,
,
,
,
所以椭圆方程为
,圆的方程为
.
(2)当直线
的斜率不存在时,直线
的方程为
,此时
;
设直线
方程为:
,直线为圆的切线,
,
,
直线与椭圆联立,
,得
,
判别式
,由韦达定理得:
,
所以弦长
,令
,
所以
;
综上,
,
5.如图,己知
、
是椭圆
的左、右焦点,直线
经过左焦点
,且与椭圆
交
,
两点,
的周长为
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)是否存在直线
,使得
为等腰直角三角形?
若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
;
(2)不存在,见解析.
【解析】
(1)设椭圆
的半焦距为
,因为直线
与
轴的交点为
,故
.
又
的周长为
,即
,故
,所以,
.
因此,椭圆
的标准方程为
.
(2)不存在.理由如下:
先用反证法证明
不可能为底边,即
.
由题意知
,设
,
,假设
,则
,
又
,
,代入上式,消去
,
得:
.
因为直线
斜率存在,所以直线
不垂直于
轴,所以
,故
.
(与
,
,
矛盾)
联立方程
,得:
,所以
矛盾.
故
.
再证明
不可能为等腰直角三角形的直角腰.
假设
为等腰直角三角形,不妨设
为直角顶点.
设
,则
,在
中,由勾股定理得:
,此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.
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