届高三数学第一轮知识点课后强化训练题21.docx
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届高三数学第一轮知识点课后强化训练题21
基础达标检测
一、选择题
1.(文)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心D.相离
[答案] B
[解析] 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=
=
<
.且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心.
(理)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式.
圆心C(0,0)到直线kx-y+1=0的距离d=
≤1<
.
所以直线与圆相交,故选C.
2.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( )
A.4B.3
C.2D.1
[答案] C
[解析] 法一(直接法)集合A表示圆,集合B表示一条直线,又圆心(0,0)到直线x+y=1的距离d=
=
<1=r,所以直线与圆相交,故选C.
法二 (数形结合法)画图可得,故选C.
3.(文)圆x2+y2+4y=0在点P(
,-1)处的切线方程为( )
A.
x+y-2=0B.
x+y-4=0
C.
x-y+4=0D.
x-y+2=0
[答案] A
[解析] 解法1:
设切线y+1=k(x-
),
即kx-y-
k-1=0.
则圆心(0,-2)到切线距离等于圆的半径2,
∴
=2,∴k=-
,
∴切线方程为
x+y-2=0.
解法2:
∵切点A(
,-1)与圆心C(0,-2)的连线应与切线垂直.
∴切线斜率k=-
=-
,
∴切线方程为y+1=-
(x-
),即
x+y-2=0.
解法3:
∵切点A(
,-1)在切线上,
∴排除B、C、D.
(理)已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是( )
A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0
[答案] A
[解析] 由题意可设圆心坐标为(a,0)(a>0)由点到直线的距离公式可得
=2,
解得a=2或a=-
(舍去),
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.
4.(2013·广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-
=0B.x+y+1=0
C.x+y-1=0D.x+y+
=0
[答案] A
[解析] 设直线方程为x+y+m=0,直线与圆相切,则
=1,m=-
或m=
(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意,故舍去),所以选A.
5.过圆x2+y2=4外一点P(4,2),作圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,则△PAB的外接圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-2)2=1B.x2+(y-2)2=4
C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x-2)2+(y-1)2=5
[答案] D
[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上,故圆心为(2,1),半径为r=
,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
6.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y≤2},其中x,y∈R.若A⊆B,则实数k的取值范围是( )
A.[0,
]B.[-
,0]
C.[-
,
]D.[-
,+∞)
[答案] C
[解析] 集合A表示的点集是单位圆上的点,集合B表示的是二元一次不等式kx-y≤2所表示的平面区域,其边界直线是kx-y=2,该直线必过定点(0,-2),所以要使A⊆B,则圆与直线必须相切或相离,故
≥1,解得-
≤k≤
,故选C.
二、填空题
7.直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得弦长为________.
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的知识,画出示意图,
构造直角三角形求解.
由C(0,2)及直线y=x知,CE=
=
,而CO=2,
则OE=
=
,
∴弦长为2
.
8.(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.
[答案] 2
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想.
点(3,1)在圆内,要使弦长最短,须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直,此时|CN|=
,则弦长为2
=2
.
9.已知圆C1:
x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:
x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所在的直线方程为__________,公共弦长为________.
[答案] 3x-4y+6=0
[解析] 设两圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点满足方程x2+y2+2x-6y+1=0与x2+y2-4x+2y-11=0,将两个方程相减得3x-4y+6=0,即为两圆公共弦所在直线的方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3,用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为d=
=
.
所以利用勾股定理得到AB=2
=
,
即两圆的公共弦长为
.
三、解答题
10.已知圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.
[解析]
(1)由圆C:
x2+y2+2x-4y+3=0,
得圆心坐标C(-1,2),半径r=
,
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零.
设直线l的方程为x+y=a,
∵直线l与圆C相切,
∴
=
,
∴a=-1或a=3.
∴所求直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y),
又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|,
∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
∴2x-4y+3=0,
∴所求点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
能力强化训练
一、选择题
1.设A为圆(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( )
A.(x+1)2+y2=25 B.(x+1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=25D.(x-1)2+y2=5
[答案] B
[解析] 圆心C(-1,0),在Rt△ACP中,
CP=
=
=
.
设P(x,y),则|CP|=
,所以(x+1)2+y2=5,选B.
2.直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M,N,若c2=a2+b2,则
·
(O为坐标原点)等于( )
A.-7B.-14
C.7D.14
[答案] A
[解析] 记
,
的夹角为2θ.
依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于
=1,cosθ=
,cos2θ=2cos2θ-1=2×(
)2-1=-
,
·
=3×3cos2θ=-7.
二、填空题
3.已知圆O:
x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
[答案]
[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力.
由题意知切线的斜率存在,设为k,
切线方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,
由点到直线的距离公式,得
=
,
解得k=-
,∴切线方程为-
x-y+
=0,
令x=0,y=
,令y=0,x=5,
∴三角形面积为S=
×
×5=
.
4.圆心在直线x+y=0上,且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为________.
[答案] x2+y2+6x-6y+8=0
[解析] 设圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0,
即x2+y2+
x+
y-
=0(λ≠-1),
圆心
,∴
-
=0,解得λ=-2.
故所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24-2(x2+y2+2x+2y-8)=0,
即x2+y2+6x-6y+8=0.
三、解答题
5.已知点P(0,5)及圆Cx2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4
,求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
[分析]
(1)根据弦长求法,求直线方程中的参数;
(2)由垂直关系找等量关系.
[解析]
(1)解法1:
如图所示,AB=4
,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=2
,AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,
即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式:
=2,得k=
.
k=
时,直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
解法2:
当直线l斜率存在时,设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即y=kx+5,
联立直线与圆的方程
消去y,得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0,①
设方程①的两根为x1,x2,
由根与系数的关系得
②
由弦长公式得
|x1-x2|
=
=4
,
将②式代入,解得k=
,
此时直线方程为3x-4y+20=0.
又k不存在时也满足题意,此时直线方程为x=0.
∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即
·
=0,
(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
6.设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足
·
=0.
(1)求m的值;
(2)求直线PQ的方程.
[解析]
(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称,
∴圆心(-1,3)在直线上,代入得m=-1.
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程y=-x+b
将直线y=-x+b代入圆方程,得
2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0
Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得
2-3
<b<2+3
.
由韦达定理得
x1+x2=b-4①,x1x2=
②
·
=0
即2x1x2-b(x1+x2)+b2=0
将①②代入得:
b2-6b+1-b2+4b+b2=0
解得b=1,经验证知符合题意
∴PQ方程为y=-x+1.
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