届北师大版理 八立体几何与空间向量 单元测试.docx

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届北师大版理八立体几何与空间向量单元测试

单元滚动检测八　立体几何与空间向量

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间120分钟，满分150分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2016·济宁一模）直线l1，l2平行的一个充分条件是（　　）

A．l1，l2都平行于同一个平面

B．l1，l2与同一个平面所成的角相等

C．l1平行于l2所在的平面

D．l1，l2都垂直于同一个平面

2．（2016·南昌一模）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的主视图与左视图的面积之比为（　　）

A．1∶1B．2∶1C．2∶3D．3∶2

3．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是（　　）

A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β

B．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β

C．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

D．如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余

4.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是侧棱长的2倍，D，E分别是A1C1，AC的中点，则下面判断不正确的是（　　）

A．直线A1E∥平面B1DC

B．直线AD⊥平面B1DC

C．平面B1DC⊥平面ACC1A1

D．直线AC与平面B1DC所成的角为60°

5．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m

β，则α⊥β；

②若m

α，n

α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m

α，n⃘α，m、n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⃘α，n⃘β，则n∥α且n∥β.

其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．③④D．①④

7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上部分，则剩余几何体的左视图为（　　）

8.如图所示，已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长为

，底面边长为

，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为（　　）

A．90°B．60°

C．45°D．30°

9.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（　　）

①动点A′在平面ABC上的投影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．

A．①B．①②C．①②③D．②③

10．（2016·山西四校联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.

B.

C.

D．πa3

11．（2016·江西五校联考）

如图三棱锥V－ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC＝∠ACB＝30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（　　）

A．4∶

B．4∶

C.

∶

D.

∶

12．（2016·北京东城区模拟）

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是AA1，CC1的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BM＝x，平行四边形EMFN的面积为S，设y＝S2，则y关于x的函数y＝f（x）为（　　）

A．f（x）＝2x2－2x＋

，x∈[0,1]

B．f（x）＝

C．f（x）＝

D．f（x）＝－2x2＋2x＋

，x∈[0,1]

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，四棱锥A－BB1D1D的体积为6，则AA1＝________.

14.

如图所示，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝a，BC＝b，CD＝c，且a2＋b2＋c2＝1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________．

15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角为________．

16．如图是物理实验装置，它由两块互相垂直的正方形木板构成．已知两个正方形的边长都为1，在正方形ABCD的对角线AC上有一滑片M，在正方形ABEF的对角线BF上有一滑片N，无论两个滑片如何滑动，始终满足滑片M到点C的距离等于滑片N到点B的距离．当两滑片的距离最小时，滑片M到点C的距离为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）（2017·海口一中质检）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．

（1）请在图2中补充完整该几何体的直观图，并求它的体积；

（2）证明：

A1C⊥平面AB1C1；

（3）若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

18.（12分）（2016·江西师大附中第一次月考）

如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．

（1）求证：

平面ADF⊥平面CBF；

（2）求证：

PM∥平面AFC.

19.（12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点．

（1）求证：

DE∥平面ABC；

（2）求证：

B1F⊥平面AEF；

（3）设AB＝a，求三棱锥D－AEF的体积．

20.（12分）（2016·兰州一中第一次月考）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，AC＝AP＝2.

（1）求证：

PC⊥AE；

（2）求二面角A－CE－P的余弦值.

21.（12分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．

（1）求证：

GF∥平面ADE；

（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

22.（12分）（2016·成都第二次诊断性检测）

如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，侧棱AA1⊥底面ABCD，E是CD的中点，CD＝2AB＝2AD，AD＝1，AA1＝

.

（1）求证：

EA1⊥平面BDC1；

（2）求二面角D－BC1－D1的余弦值．

答案解析

1．D　[对A，当l1，l2都平行于同一个平面时，l1与l2可能平行、相交或异面；对B，当l1，l2与同一个平面所成角相等时，l1与l2可能平行、相交或异面；对C，l1与l2可能平行，也可能异面，只有D满足要求，故选D.]

2．A　[由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的

，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的

，又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是1∶1，故选A.]

3．D　[对于A，若α⊥β，那么α内平行交线的直线平行于β，故A为真命题；

对于B，根据面面垂直的判定定理可知，若α内存在直线垂直于β，则α⊥β，与已知矛盾，故B为真命题；

对于C，如果α⊥γ，β⊥γ，设α，β的交线为a，β，γ的交线为b，在γ内取a，b外的一点O，作OA⊥a于A，OB⊥b于B，

∵α⊥γ，α∩γ＝A，OA

γ，OA⊥a，∴OA⊥α，

∵α∩β＝l⇒l

α，∴OA⊥l，

同理OB⊥l，

∵OA，OBγ，OA∩OB＝O，

∴l⊥γ，故C为真命题；

对于D，只要当l与两面的交线垂直时，该结论才成立，

故D为假命题．]

4．D　[∵A1E∥DC，A1E

平面B1DC，DC

平面BDC，

∴A1E∥平面B1DC，故A正确；

∵底面边长是侧棱长的2倍，

∴AD2＋DC2＝2AD2＝2（A1D2＋A1A2）＝4A1D2＝AC2，

即AD⊥DC，易得B1D⊥平面A1ACC1，

∴B1D⊥AD，则AD⊥平面B1DC，故B正确；

结合B中结论，由面面垂直的判定定理可得平面B1DC⊥平面ACC1A1，故C正确；

由B中结论知，∠ACD＝45°，∠ACD即直线AC与平面B1DC所成的角，故D错误．]

5．A　[在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，

所以SA＝

＝

；同理SB＝

.

过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，

因为△SAC≌△SBC，所以BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，

且平面ABD为等腰三角形，因为∠ASC＝30°，

所以AD＝

SA＝

，

则△ABD的面积为

×1×

＝

，

则三棱锥的体积为

×

×2＝

.]

6．D　[根据面面垂直的判定定理知①正确；②若m∥n，

则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确．]

7．C　[

设过点A，E，C1的截面与棱DD1相交于点F，

则F是棱DD1的中点，

该正方体截去上半部分后，剩余几何体如图所示，

则它的左视图应选C.]

8．B　[连接AC，BD，设AC，BD交于点O，

连接EO，则EO∥SC，

所以直线BE与SC所成的角等于直线BE与EO所成的角，即∠BEO.

在△EBO中，通过计算可知EO＝

，

BE＝

，OB＝

，

所以EO2＋OB2＝BE2，

所以EO⊥OB，cos∠BEO＝

＝

，

所以∠BEO＝60°.]

9．C　[①中由已知可得面A′FG⊥面ABC，

所以点A′在面ABC上的投影在线段AF上．

②中BC∥DE，

根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.

③中当面A′DE⊥面ABC时，

三棱锥A′－FED的体积达到最大．]

10．A　[由三视图可知该几何体为一个圆锥的

，其中圆锥的底面圆的半径为a，高为2a，所以该几何体的体积V＝

×πa2×2a×

＝

.故选A.]

11．A　[因为△ABC为直角三角形，且∠ACB＝30°，故

＝

.

记三棱锥V－ABC的高为h，故正视图面积S1＝

·AC·h；

侧视图面积S2＝

·CB·sin∠ACB·h＝

·AC·h，

故S1∶S2＝4∶

，故选A.]

12．A　[由题意得四边形EMFN为菱形，

且EF＝

＝

.

当x∈[0，

]时，在线段DN上截取DG＝BM，连接MG，BD，

则四边形BMGD为矩形，NG＝1－2x，NG⊥MG，

所以MN＝

＝

，

则f（x）＝（

MN·EF）2＝2x2－2x＋

，x∈[0，

]；

当x∈（

，1]时，

在线段D1N上截取D1G＝B1M，连接MG，B1D1，

则四边形B1MGD1为矩形，NG＝2x－1，NG⊥MG，

所以MN＝

＝

，

则f（x）＝（

MN·EF）2＝2x2－2x＋