学年度人教版数学九年级上册一课一练2214 二次函数yax2+bx+c的图象和性质.docx
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学年度人教版数学九年级上册一课一练2214二次函数yax2+bx+c的图象和性质
2018-2019学年度人教版数学九年级上册一课一练
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一.选择题(共12小题)
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=bx+ac在直角坐标系中的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
2.已知y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0),乐老师在用描点法画其的图象时,列出如下表格,根据该表格,下列判断中不正确的是( )
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
2.5
4
2.5
…
A.a<0
B.一元二次方程ax2+bx+c﹣5=0没有实数根
C.当x=3时y=﹣2
D.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根比3大
3.抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为( )
A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣1,3)
4.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方,那么下列判断中正确的是( )
A.a<0,b<0B.a>0,b<0C.a<0,c>0D.a<0,c<0
5.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0)和(3,0),那么对称轴是直线( )
A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.ac<0B.b<0C.b2﹣4ac<0D.a+b+c<0
7.一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2,则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点( )
A.(2,12)B.(2,0)C.(﹣2,12)D.(﹣2,0)
8.若一个二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过五个点A(﹣1,n)、B(3,n)、C(m+1,y1)、D(1﹣m,y2)和E(1,y3),则下列关系正确的是( )
A.y1>y2>y3B.y1=y2>y3C.y1<y2<y3D.y3>y1>y2
9.将抛物线y=
x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( )
A.y=
(x﹣8)2+5B.y=
(x﹣4)2+5C.y=
(x﹣8)2+3D.y=
(x﹣4)2+3
10.二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是( )
A.﹣7B.5C.0D.9
11.一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,﹣1),与y轴的交点(0,﹣4),这个二次函数的解析式是( )
A.y=
x2﹣2x+4B.y=﹣
x2+2x﹣4C.y=﹣
(x+3)2﹣1D.y=﹣x2+6x﹣12
12.将二次函数y=x2﹣4x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式,下列结果正确的是( )
A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2﹣1C.y=(x﹣2)2﹣1D.y=(x﹣2)2+1
二.填空题(共5小题)
13.若函数y=ax2﹣x+a﹣2的图象经过(1,3),则a= .
14.抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是 .
15.抛物线y=ax2+bx+c的大致图象如图,则b的取值范围是 .
16.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(2,5),(4,5),则对称轴是 .
17.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,下列结论中:
①abc<0;②9a﹣3b+c<0;③b2﹣4ac>0;④a>b,
正确的结论是 (只填序号)
三.解答题(共4小题)
18.已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)作出函数的图象;
(2)当1<x<5时,求y的取值范围.
19.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=﹣1是其对称轴,
(1)确定a,b,c,△=b2﹣4ac的符号;
(2)求证:
a﹣b+c>0;
(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时y<0.
20.抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,且满足x1>0,x2﹣x1>1.
(1)试证明:
c>0;
(2)试比较b2与2b+4c的大小;
(3)若c=
,AB=2,试确定抛物线的解析式.
21.如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=﹣2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2:
3两部分,请直接写出P点坐标.
参考答案
一.选择题(共12小题)
1.D.2.D.3.A.4.D.
5.B.6.B.7.A.
8.B.9.D.10.D.11.B.
12.C.
二.填空题(共5小题)
13.
【解答】解:
∵函数y=ax2﹣x+a﹣2的图象经过(1,3),
∴3=a﹣1+a﹣2,
∴a=3,
故答案为3
14.
【解答】解:
∵当x=﹣4时,y=(﹣4)2+8×(﹣4)﹣4=﹣20,
∴抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是(﹣4,﹣20).
15.
【解答】解:
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
当x=1时,y=a+b+c=2,
∴a+c=2﹣b.
∴2﹣b﹣b<0,
∴b>1,
故答案为:
b>1.
16.
【解答】解:
∵点(2,5),(4,5)纵坐标相等,
∴对称轴为直线x=
=3.
故答案为:
直线x=3.
17.
【解答】解:
∵抛物线开口向下
∴a<0,
∵对称轴为x=﹣1
∴
=﹣1
∴b=2a<0,
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c>0
∴abc>0故①错误
∵由图象得x=﹣3时y<0
∴9a﹣3b+c<0故②正确,
∵图象与x轴有两个交点
∴△=b2﹣4ac>0故③正确
∵a﹣b=a﹣2a=﹣a>0
∴a>b故④正确
故答案为②③④
三.解答题(共4小题)
18.
【解答】解:
(1)y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,则函数顶点坐标是(1,﹣1),函数的对称轴是x=2,
方程x2﹣4x+3=0的根是x1=1,x2=3.则函数与x轴的交点是(1,0)和(3,0).
则抛物线y=x2﹣4x+3的图象如图所示:
;
(2)y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,则函数顶点坐标是(2,﹣1),
当x=5是,y=25﹣20+3=8,
则当1<x<5时,y的范围是﹣1<y<8.
19.
【解答】解:
(1)∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵对称轴x=﹣
=﹣1,
∴b<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,
∴c>0,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0;
(2)证明:
∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=﹣1,
∴当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0;
(3)根据图象可知,
当﹣3<x<1时,y>0;当x<﹣3或x>1时,y<0.
20.
【解答】
(1)证明:
将y=x2+bx+c代入y=x,得x=x2+bx+c,
整理得x2+(b﹣1)x+c=0,
∵抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,
∴x1+x2=1﹣b,x1•x2=c,
∵x2﹣x1>1,
∴x2>x1+1,
∵x1>0,
∴x2>0,
∴c=x1•x2>0;
(2)解:
∵b2﹣(2b+4c)=b2﹣2b﹣4c=(b﹣1)2﹣1﹣4c=(1﹣b)2﹣4c﹣1,
∵x1+x2=1﹣b,x1•x2=c,
∴b2﹣(2b+4c)=(x1+x2)2﹣4x1•x2﹣1=(x2﹣x1)2﹣1,
∵x2﹣x1>1,
∴(x2﹣x1)2>1,
∴b2﹣(2b+4c)>0,
∴b2>2b+4c;
(3)解:
∵c=
,
∴y=x2+bx+
,
∵AB=2,A(x1,y1)、B(x2,y2),
∴(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2=4,
∵y1=x1,y2=x2,
∴(x2﹣x1)2=2,
∴(x1+x2)2﹣4x1•x2=2,
∵x1+x2=1﹣b,x1•x2=c=
,
∴(1﹣b)2﹣4×
=2,
∴b=﹣1或3,
∵x1>0,x2﹣x1>1,
∴x1+x2=1﹣b>1,
∴b<0,
∴b=﹣1,
∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+
.
21.
【解答】解:
(1)由题意得:
x=﹣
=﹣
=﹣2,c=2,
解得:
b=4,c=2,
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2;
(2)∵抛物线对称轴为直线x=﹣2,BC=6,
∴B横坐标为﹣5,C横坐标为1,
把x=1代入抛物线解析式得:
y=7,
∴B(﹣5,7),C(1,7),
设直线AB解析式为y=kx+2,
把B坐标代入得:
k=﹣1,即y=﹣x+2,
作出直线CP,与AB交于点Q,过Q作QH⊥y轴,与y轴交于点H,BC与y轴交于点M,
可得△AQH∽△ABM,
∴
=
,
∵点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2:
3两部分,
∴AQ:
QB=2:
3或AQ:
QB=3:
2,即AQ:
AB=2:
5或AQ:
QB=3:
5,
∵BM=5,
∴QH=2或QH=3,
当QH=2时,把x=﹣2代入直线AB解析式得:
y=4,
此时Q(﹣2,4),直线CQ解析式为y=x+6,令y=0,得到x=﹣6,即P(﹣6,0);
当QH=3时,把x=﹣3代入直线AB解析式得:
y=5,
此时Q(﹣3,5),直线CQ解析式为y=
x+
,令y=0,得到x=﹣13,此时P(﹣13,0),
综上,P的坐标为(﹣6,0)或(﹣13,0).
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