列一元一次方程解应用题技巧学生版.docx
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列一元一次方程解应用题技巧学生版
列一元一次方程解应用题技巧
列方程解应用题的过程,是提高分析问题和解决问题能力的重要过程,列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系,再把各部分分别用代数式表示出来,根据题意中的相等关系列出方程,对于设未知数时,一般是问什么就直接设什么,若直接设未知数有难度,可间接设未知数,列方程时,要检查等量关系是否正确,方程两边的量所用单位是否统一,求得方程的解后必须检验,对照应用题看其是否合理。
因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来,如下:
1,【分配问题】
例1,甲仓库有粮食72t,乙仓库有粮食54t,现有调入粮食42t,问如何分配,才使乙仓库的粮食存量是甲仓库的2/3还多3t?
【解决仓库管理中的等量关系】:
(1)<运出>;
(2)<运进>;
解:
设应调入乙仓库粮食
顿,则调入甲仓库粮食,乙仓库现存粮,甲仓库现存粮食,根据题意,得
例1.1.机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
【练习】
1、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐,共售出1000张门票,已知成人票每张8元,学生票每张5元,共得票款6950元,成人票和学生票各几张?
2、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t,乙池又注入8t后,甲池的水比乙池的水少3t,问原来甲、乙两个水池各有多少吨水?
2、【盈利问题】
【商品的利润与商品进价、售价、利润率之间有如下关系】:
(1)商品售价=;
(2)商品利润=;
(3)商品利润率=;
例2,一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
(只需列出方程)
分析:
探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
例2.1,一件商品的售价为7.20元,利润是成本的20%,则商品的进价是多少?
如果要把利润提高到成本的30%,那么要提高售价多少元?
解:
设这种商品的成品价为
元,则商品的利润是,根据题意,得
【练习】
1、商品原价200元,九折出售,卖价是元;
2、商品进价是30元,售价是50元,则利润是元;
3、某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 元;
4、某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价应为 元;
5、某商品按定价的八折出售,售价是14.8元,则原定售价是 ;
6、某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元,其中一个盈利60%,另一个亏本20%.这次交易是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
7、某商品的进价是1000元,售价是1500元,由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品?
8、某商场将某种DVD产品按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元打的费”的广告,结果每台DVD仍获利208元,则每台DVD的进价是多少元?
3、【居家用电中的方程】
例3,某市居民生活用电基本价格为每度0.40元,若每月用电量超过a度,则超出的部分按基本电价的70%收费。
(1)某户五月份用电84度,共交电费30.72元,求a;
(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元,求六月份用电多少度?
应交电费多少元?
【居家用电中用到的等量关系】:
;
解
(1)基本电费为,超出部分的电费为,根据题意,得
(2)设该用户六月份共用电度,则超出部分的电量为,根据题意,得
4、【存款、贷款中的方程】
(1),顾客存入银行的钱叫做本金;银行付给顾客的酬金叫利息;
本金和利息合称本息和;存入银行的时间叫做期数;
利息与本金的比叫做利率;(利息的20%付利息税);
(2),利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息;
利息税=利息×税率(20%)<需考虑时才考虑>;
例4.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为一年。
一年后共得本息和252.7元,求银行一年期的年利率是多少?
(不计利息税)
【提优】例4.1,为大力发展绿色食品种植业,引进先进技术,国家向农户老赵发放了一笔三年期的农业贷款。
贷款地协议规定,老赵分三年共三次平均还本金,每次同时偿还应缴利息。
已知这笔贷款的利率为年利率的5.31%,老赵三次上缴利息9558元,求这笔贷款是多少元?
解:
设这笔贷款为
元,则每年偿还本金,第一年偿还的利息额为元,
第二年偿还的利息额为元,第三年偿还的利息额为元,
根据题意得方程,得
【练习】
1.小颖的父母给她存了一个三年期的教育储蓄1000元,若年利率为2.70%,则三年后可得利息____元;本息和为_____元;(不计利息税)
2.某人把100元钱存入年利率为2.5%的银行,一年后需交利息税______元;
3.某学生存三年期教育储蓄100元,若年利率为p%,则三年后可得利息_______元;本息和为_______元;(不计利息税)
4.李阿姨购买了25000元某公司1年期的债券,1年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元,这种债券的年利率是多少?
5.王叔叔想用一笔钱买年利率为2.89%的3年期国库券,如果他想3年后本息和为2万元,现在应买这种国库券多少元?
(不计利息税)
6.一年定期的存款,年利率为1.98%,到期取款时须扣除利息的20%,作为利息税上缴国库,假如某人存入一年的定期储蓄1000元,到期扣税后可得利息多少元?
【提优】7.为了使贫困学生能够顺利完成大学学业,国家设立了助学贷款.助学贷款分0.5~1年期、1~3年期、3~5年期、5~8年期四种,贷款利率分别为5.85%,5.95%,6.03%,6.21%,贷款利息的50%由政府补贴。
某大学一位新生准备贷6年期的款,他预计6年后最多能够一次性还清20000元,他现在至多可以贷多少元?
5、【数字游戏中的方程】
数字问题要掌握多位数的代数式表示方法
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
;
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大;偶数用表示,连续的偶数用或表示;奇数用或表示。
例5一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数
例5.1有一个两面位数,它的个位上的数字与十位上的数字之和为13,若把个位上的数字与十位上和数字调换位置,那么所得的新数是原数的2倍少4,求原来的两位数。
例5.2:
一个两位数,十位数字是a,个位数字是b,把这个两位数的十位数字与个位数字对调,所得的数减去原数,差为72,求这个两位数。
例5.3:
有一个两位数,十位数字比个位数字的2倍多1,将两个数字对调后,所得的数比原数小36,求原数。
1、一个三位数,三个数位上的数的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上数的3倍,求这三个数。
2、一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小1,十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一,求这个两位数。
例5.4:
三个连续偶数的和是36,求它们的积。
3、三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10,这三个连续偶数是什么?
它们的和是多少?
6、【工程问题中的方程】
工程问题常把工作总量看做“1”,解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率;
工作效率指的是单位时间内完成的工作量,它通常是单独完成时间的倒数;
工作总量=工作时间×工作效率;
甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量,
例6,检修一处住宅的自来水管理,甲单独完成需要14天,乙单独完成需要18天,丙单独完成需12天,前7天由甲,乙合做,但乙中途离开了一段时间,后2天由乙丙合作完成。
问乙中途离开了几天?
习题:
1、一件工作,甲独作10天完成,乙独作8天完成,两人合作几天完成?
2、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:
再用几小时可全部完成任务?
3、一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
4、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单独做所需天数是乙队单独做所需天数的
问甲、乙两队单独做,各需多少天?
7、【行程计算中的方程】
行程问题主要研究路程、速度、时间三量之间的关系,
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=×。
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追及问题:
相背而行;环形跑道问题。
(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系。
并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。
例7.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
(1)、分析:
相遇问题,画图表示为:
等量关系是:
+=480公里。
解:
设快车开出x小时后两车相遇,根据题意得,
(2)、分析:
相背而行,画图表示为:
等量关系是:
+=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,根据题意得,
(3)、分析:
等量关系为:
-+480公里=600公里。
解:
设x小时后两车相距600公里,根据题意,得,
(4)、分析:
追及问题,画图表示为:
等量关系为:
=+480公里。
解:
设x小时后快车追上慢车,根据题意得,
(5)、分析:
追及问题,等量关系为:
=+480公里。
解:
设快车开出x小时后追上慢车,根据题意得,
【提优】例7.1,解放军某团全体指战员排成二路纵队行军,他们以每小时8km的速度前进,通信员在队尾接到政委命令,要他立即把一个文件交给走在队伍最前面的团长,然后立即返回队尾,通信员以每小时12km的速度赶到队伍前面,又以同样的速度立即返回队尾,一共用了14.4min,求队伍的长度.
解,设通讯员把文件交给团长用
min,则返回队尾用min,根据题意,得
练习
1,已知A、B两地相距100千米,甲以16千米/小时的速度从A地出发,乙以9千米/小时的速度从B地出发。
①两人同时相向而行,经过多少时间,两人相遇?
②两人同时相向而行,经过多少时间,两人相距25千米?
2,甲、乙两人在400米的环行跑道上进行早锻炼,甲慢跑速度为105米/分,乙步行速度为25米/分,两人同时同地同向出发,经过多少时间,两人第一次相遇?
3,甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米。
①甲让乙先跑5米,问甲几秒可追上乙?
②甲让乙先跑1秒,问甲几秒可追上乙?
4,一天小聪步行去上学,每小时走4千米。
小聪离家10分钟后,天气预报午后有阵雨,小聪的妈妈急忙骑车去给小聪送伞,骑车的速度是12千米/小时。
当小聪妈妈追上小聪时,小聪已离家多少千米?
5、甲、乙两列火车的长分别为144米和180米,甲车比乙车每秒多行4米。
(1)两列火车相向行驶,从相遇到全部错开需9秒,问两车速度各是多少?
(2)若两车同向行驶,甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车,需要多长时间?
6、学校规定学生早晨7时到校。
拉拉若以每分60米的速度步行,提前2分钟到校;若以每分50米的速度步行,要迟到2分钟。
问拉拉的家到学校有多少米?
他是什么时候从家里动身上学的?
8、【电话收费中的方程】
等量关系:
总费用=月租+通话费
例8,根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题
方式一
方式二
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
(1) 一个月内在本地通话200分和350分,按方式一需交费多少元?
按方式二呢?
(2) 对于某本通话时间,会出现按两种计费方式一样多吗?
解:
(1)
(2)设累计通话t分,则按方式一要收费元,按方式二要收费元.
根据题意,得
9.【等积变形问题】
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积。
例9.1:
用直径为4厘米的圆钢,铸造三个直径为2厘米,高为16厘米的圆柱形零件,问需要截取多长的圆钢?
1、要锻造一个直径为70毫米,高为45毫米的圆柱形零件毛胚,要截取直径为50毫米的圆钢多少毫米?
2、某机器加工厂要锻造一个毛胚,上面是一个直径为20毫米,高为40毫米的圆柱,下面也是一个圆柱,直径为60毫米,高为20毫米,问需要直径为40毫米的圆钢多长?
例9.2:
某工厂锻造直径为60毫米,高20毫米的圆柱形瓶内装水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下?
若装不下,那么瓶内水面还有多高?
若未能装满,求杯内水面离杯口的距离。
3、将一罐满水的直径为40厘米,高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里,问这时水的高度是多少?
4、一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶,已装满水,向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水,当铁盒装满水时,水桶中的水高度下降了多少米。
例9.3:
一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块,熔化成一个圆柱体,其底面直径为20厘米,请求圆柱体的高(π不需化成3.14)
5、有一块棱长为4厘米的正方体铜块,要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块,铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗)?
6、有一个圆柱形铁块,底面直径为20厘米,高为26厘米,把它锻造成长方体毛胚,若使长方体的长为10π厘米,宽为13厘米,求长方体的高。
例9.4:
小圆柱的直径是8厘米,高6厘米,大圆柱的直径是10厘米,并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍,则大圆柱的高是多少厘米?
7、用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器,油液中浸有钢珠,若从中捞出546π克钢珠,问液面下降了多少厘米?
(1立方厘米钢珠7.8克)
10.【年龄问题】:
基本数量关系:
大小两个年龄差不会变。
这类问题主要寻找的等量关系是:
抓住年龄增长,一年一岁,人人平等。
例10、小强比他叔叔小30岁,而两年前,小强的年龄是他叔叔的
,求小强叔叔今年的年龄?
例10.1,今年哥俩的岁数加起来是55岁。
曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍。
哥哥今年几岁?
11,【日历中的方程】
例11.1:
小明和小红作游戏,小明拿出一张日历说;“我用笔圈出了2╳2的一个正方形,它们数字的和是76,你知道我圈出的是哪几个数字吗?
”你能帮小红解决吗?
1、在日历上任意画一个含有9个数字的方框(3╳3),然后把方框中的9个数字加起来,结果等于90,试求出这9个数字正中间的那个数。
例11.2:
小华参加日语培训,为期8天,这8天的和为100,问小华几号结束培训?
2、将55分成四个数,如果第一个数加1,第二个数减去1,第三个数乘以2,第四个数除以3,所得的数都相同,求这四个数分别是多少?
例11.3:
若今天是星期一,请问2004天之后是星期几?
3、小明今年的生日的前一天、当天和后一天的日期之和是78,小明今年几号过生日?
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