中考数学解直角三角形试题归总附答案.docx
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中考数学解直角三角形试题归总附答案
2012年中考数学解直角三角形试题归总(附答案)
2012年全国各地中考数学压轴题汇编第30章解直角三角形1.(2012绍兴)如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米,坡角∠BAC为32°。
(1)求一楼于二楼之间的高度BC(精确到0.01米);
(2)电梯每级的水平级宽均是0.25米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每秒上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米(精确到0.01米)?
备用数据:
sin32°=0.5299,con32°=0.8480,tan32°=6249。
考点:
解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
解答:
解:
(1)sin∠BAC=,∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米。
(2)∵tan32°=,∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为:
20×0.156225≈3.12米。
2.(2012•扬州)如图,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A位于B的北偏西30°的方向上.求A、C之间的距离.(结果精确到0.1海里,参考数据≈1.41,≈1.73)
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题。
专题:
应用题;数形结合。
分析:
作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程,解出x的值后即可得出答案.解答:
解:
作AD⊥BC,垂足为D,由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°,设CD=x,在RT△ACD中,可得AD=x,在RT△ABD中,可得BD=x,又∵BC=20,即xx=20,解得:
∴AC=x≈10.3(海里).答:
A、C之间的距离为10.3海里.点评:
此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般.3.(2012•连云港)已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km).(参考数据:
sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,≈1.41,≈2.24)
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题。
分析:
根据在Rt△ADB中,sin∠DBA=,得出AB的长,进而得出tan∠BAH=,求出BH的长,即可得出AH以及CH的长,进而得出答案.解答:
解:
BC=40×=10,在Rt△ADB中,sin∠DBA=,sin53.2°≈0.8,所以AB==20,如图,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H,在Rt△AHB中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°-37°=26.6°,tan∠BAH=,0.5=,AH=2BH,BH2+AH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8,在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,CH=2,所以AC=AH-CH=8-2=6≈13.4,答:
此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km.点评:
此题主要考查了解直角三角形中方向角问题,根据已知构造直角三角形得出BH的长是解题关键.
4.(2012广东)如图,小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,求小山岗的高AB(结果取整数:
参考数据:
sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
解答:
解:
∵在直角三角形ABC中,=tanα=,∴BC=∵在直角三角形ADB中,∴=tan26.6°=0.50即:
BD=2AB∵BD�BC=CD=200∴2AB�AB=200解得:
AB=300米,答:
小山岗的高度为300米.
5.(2012安顺)丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形,作为要制作的风筝的一个翅膀.请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度(精确到个位,≈1.7).考点:
解直角三角形的应用。
解答:
解:
由∠ABC=120°可得∠EBC=60°,在Rt△BCE中,CE=51,∠EBC=60°,因此tan60°=,∴BE===17≈29cm;在矩形AECF中,由∠BAD=45°,得∠ADF=∠DAF=45°,因此DF=AF=51,∴FC=AE≈34+29=63cm,∴CD=FC�FD≈63�51=12cm,因此BE的长度均为29cm,CD的长度均为12cm.
6.(2012•资阳)小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°,测得办公大楼底部点B的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD=10米.求点P到AD的距离(用含根号的式子表示).
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析:
连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N,将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量,设PM=x米,在Rt△PMA中,表示出AM,在Rt△PNB中,表示出BN,由AM+BN=46米列出方程求解即可.解答:
解:
连接PA、PB,过点P作PM⊥AD于点M;延长BC,交PM于点N则∠APM=45°,∠BPM=60°,NM=10米设PM=x米在Rt△PMA中,AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x(米)在Rt△PNB中,BN=PN×tan∠BPM=(x�10)tan60°=(x�10)(米)由AM+BN=46米,得x+(x�10)=46解得,,∴点P到AD的距离为米.(结果分母有理化为米也可)点评:
此题考查了解直角三角形的知识,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.
7.(2012•湘潭)如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.4m,∠DCF=30°,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米?
(,结果保留两位有效数字.)
考点:
解直角三角形的应用。
分析:
分别在直角三角形BCF和直角三角形AEF中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长.解答:
解:
在直角三角形DCF中,∵CD=5.4m,∠DCF=30°,∴sin∠DCF===,∴DF=2.7,∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠DCF,∵AD=BC=2,∴cos∠ADE===,∴DE=,∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米.点评:
本题考查了解直角三角形的应用,如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键.
8.(2012娄底)如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度(结果保留两位有效数字,≈1.732).考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析:
首先根据题意可得GB=EF=CD=1.5米,DF=CE=8米,然后设AG=x米,GF=y米,则在Rt△AFG与Rt△ADG,利用正切函数,即可求得x与y的关系,解方程组即可求得答案.解答:
解:
根据题意得:
四边形DCEF、DCBG是矩形,∴GB=EF=CD=1.5米,DF=CE=8米,设AG=x米,GF=y米,在Rt△AFG中,tan∠AFG=tan60°===,在Rt△ADG中,tan∠ADG=tan30°===,∴x=4,y=4,∴AG=4米,FG=4米,∴AB=AG+GB=4+1.5≈8.4(米).∴这棵树AB的高度为8.4米.点评:
本题考查仰角的定义.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想与方程思想的应用.
9.(2012江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB.CD相交于点O,B.D两点立于地面,经测量:
AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm.
(1)求证:
AC∥BD;
(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°);(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?
请通过计算说明理由.(参考数据:
sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器)考点:
相似三角形的应用;解直角三角形的应用。
分析:
(1)根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA=(180°�∠BOD)和∠OBD=∠ODB=(180°�∠BOD),进而利用平行线的判定得出即可;
(2)首先作OM⊥EF于点M,则EM=16cm,利用cos∠OEF=0.471,即可得出∠OEF的度数;(3)首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH,进而得出AH的长即可.解答:
(1)证明:
证法一:
∵AB.CD相交于点O,∴∠AOC=∠BOD…1分∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=(180°�∠BOD),同理可证:
∠OBD=∠ODB=(180°�∠BOD),∴∠OAC=∠OBD,…2分∴AC∥BD,…3分证法二:
AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,∴OB=OD=85cm,∴…1分又∵∠AOC=∠BOD∴△AOC∽△BOD,∴∠OAC=∠OBD;…2分∴AC∥BD…3分;
(2)解:
在△OEF中,OE=OF=34cm,EF=32cm;作OM⊥EF于点M,则EM=16cm;…4分∴cos∠OEF=0.471,…5分用科学记算器求得∠OEF=61.9°…6分;(3)解法一:
小红的连衣裙会拖落到地面;…7分在Rt△OEM中,=30cm…8分,过点A作AH⊥BD于点H,同
(1)可证:
EF∥BD,∴∠ABH=∠OEM,则Rt△OEM∽Rt△ABH,∴…9分所以:
小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.解法二:
小红的连衣裙会拖落到地面;…7分同
(1)可证:
EF∥BD,∴∠ABD=∠OEF=61.9°;…8分过点A作AH⊥BD于点H,在Rt△ABH中,AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm…9分所以:
小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm>晒衣架的高度AH=120cm.点评:
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键.10.(2012•恩施州)新闻链接,据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.2012年5月18日,某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔,保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船,立即掉头离去.(见图1)
解决问题如图2,已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时,渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向,位于“中国渔政310”船西南方向,“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向,AB=海里,“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息,请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题。
分析:
过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值,同理在Rt△ADC中求出AC的值,再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可.解答:
解:
过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD中,∵AB=,∠B=60°,∴AD=AB•sin60°=×=70,在Rt△ADC中,AD=70,∠C=45°,∴AC=AD=140,∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为=7小时.答:
“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时.点评:
本题考查的是解直角三角形的应用�方向角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.
11.(2012年中考)在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度,如图
(1),虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高;如图
(2)设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角1减至2,这样楼梯所占用地板的长度由d1增加到d2,已知d1=4米,∠1=40°,∠2=36°,楼梯占用地板的长度增加率多少米?
(计算结果精确到0.01米,参考数据:
tan40°=0.839,tan36°=0.727)12.(2012•南通)(本小题满分8分)如图,某测量船位于海岛P的北偏西60º方向,距离海岛100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于海岛P的西南方向上的B处.求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号).【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】计算题.【分析】将AB分为AE和BE两部分,分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解.要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答.【解答】解:
∵AB为南北方向,∴△AEP和△BEP分别为直角三角形,再Rt△AEP中,∠APE=90°-60°=30°,AE=12AP=12×100=50海里,∴EP=100×cos30°=503海里,在Rt△BEP中,BE=EP=503海里,∴AB=(50+503)海里.答:
测量船从A处航行到B处的路程为(50+503)海里.【点评】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题,找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键.
13、(2012•常德)如图5,一天,我国一渔政船航行到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以12海里�M小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东60º方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔船。
问我渔政船的航行路程是多少海里?
(结果保留根号)知识点考察:
①解直角三角形,②点到直线的距离,③两角互余的关系④方向角,⑤特殊角的三角函数值。
能力考察:
①作垂线,②逻辑思维能力,③运算能力。
分析:
自C点作AB的垂线,垂足为D,构建Rt△ACD,Rt△BCD,再解这两个Rt△。
解:
自C点作AB的垂线,垂足为D,∵南北方向⊥AB,∴∠CAD=30º,∠CBD=45º在等腰Rt△BCD中,BC=12×1.5=18,∴CD=18sin45º=,在Rt△ACD中,CD=AC×sin30º,∴AC=(海里)答:
我渔政船的航行路程是海里。
点评:
解决问题的关键在于将斜三角形转化为两个直角三角形,而转化的关键又在于自C点作AB的垂线。
14.(2012•黔东南州)如图,一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船,立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号,并向海警舰靠拢,海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援,此时距货轮200海里,并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处.
(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离.
(2)若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢,海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截,问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮?
(结果保留根号)解析:
(1)作CD⊥AB于点D,在直角三角形ADC中,∵∠CAD=45°,∴AD=CD.在直角三角形CDB中,∵∠CBD=30°,∴=tan30°,∴BD=CD.∵AD+BD=CD+CD=200,∴CD=100(�1);
(2)∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截,∴海盗到达D处用的时间为100(�1)÷50=2(�1),∴警舰的速度应为[200�100(�1)]÷2(�1)=50千米/时.15.(2012•湛江)某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度.如图,在距主塔从AE60米的D处.用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°,已知测量仪器的高CD=1.3米,求主塔AE的高度(结果精确到0.1米)(参考数据:
sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48)解:
根据题意得:
在Rt△ABC中,AB=BC•tan68°≈60×2.48=148.8(米),∵CD=1.3米,∴BE=1.3米,∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1(米).∴主塔AE的高度为150.1米.16.(2012•珠海)如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A、B(不计大小),树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.(结果精确到1米)(参考数据:
)
解:
设OC=x,在Rt△AOC中,∵∠ACO=45°,∴OA=OC=x,在Rt△BOC中,∵∠BCO=30°,∴OB=OC•tan30°=x,∵AB=OA�OB=x�x=2,解得x=3+≈3+1.73=4.73≈5米,∴OC=5米.答:
C处到树干DO的距离CO为5米.
17.(2012六盘水)如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:
小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度.考点:
解直角三角形的应用。
专题:
应用题。
分析:
先根据题意画出示意图,过点C作CE⊥AD于点E,设BE=x,则在RT△ACE中,可得出CE,利用等腰三角形的性质可得出BC,继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值,也可得出CE的长度.解答:
解:
过点C作CE⊥AD于点E,由题意得,AB=30m,∠CAD=30°,∠CBD=60°,故可得∠ACB=∠CAB=30°,即可得AB=BC=30m,设BE=x,在Rt△BCE中,可得CE=x,又∵BC2=BE2+CE2,即900=x2+3x2,解得:
x=15,即可得CE=15m.答:
小丽自家门前的小河的宽度为15m.点评:
此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是画出示意图,将实际问题转化为解直角三角形的问题,注意直角三角形的构造,难度一般.
18.(2012攀枝花)如图,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上.问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近?
(假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值.)考点:
解直角三角形的应用-方向角问题。
分析:
过点C作AB的垂线,设垂足为D.由题易知∠CAB=45°,∠CBD=60°.先在Rt△BCD中,得到CD=BD,再在Rt△ACD中,得到CD=AD,据此得出=,然后根据匀速航行的渔船其时间之比等于路程之比,从而求出渔船行驶BD的路程所需的时间.解答:
解:
作CD⊥AB于D.∵A地观测到渔船C在东北方向上,渔船C在北偏东30°方向上∴∠CAB=45°,∠CBD=60°.在Rt△BCD中,∵∠CDB=90°,∠CBD=60°,∴CD=BD.在Rt△ACD中,∵∠CDA=90°,∠CAD=45°,∴CD=AD,∴BD=AB+BD,∴==,∵渔政310船匀速航行,设渔政310船再航行t分钟,离我渔船C的距离最近,∴=,∴t=15(+1).答:
渔政310船再航行15(+1)分钟,离我渔船C的距离最近.点评:
本题主要考查了解直角三角形的应用�方向角问题,正确理解方向角的定义是解决本题的关键.
19.(2012山西)如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A.B的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°,然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米,在点D测得端点B的俯角为45°,求岛屿两端A.B的距离(结果精确到0.1米,参考数据:
)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
解答:
解:
过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE为矩形.∴AB=EF,AE=BF.由题意可知:
AE=BF=100米,CD=500米.…2分在Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100米.∴CE===(米).…4分在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100.∴DF===100(米).…6分∴AB=EF=CD+DF�CE=500+100�≈600�×1.73≈600�57.67≈542.3(米).…8分答:
岛屿两端A.B的距离为542.3米.…9分20.(2012黄石)(本小题满分8分)如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:
先安装支架和(均与水平面垂直),再将集热板安装在上.为使集热板吸热率更高,公司规定:
与水平面夹角为,且在水平线上的射影为.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为,并已知,。
如果安装工人确定支架高为,求支架的高(结果精确到)?
【考点】解直角三角形的应用.【分析】过A作AE∥BC,则∠EAF=∠CBG=θ2,EC=AB=25cm,再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,再根据DC=DE+EC进行解答即可.【解答】解:
如图所示,过点作∥,则,且(2分)在△中:
(1分)在△中,(1分)∴又∵,,∴(2分)∴(1分)答:
支架的高约为.(1分)【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键.
21.(2012广安)如图,2012年4月10日,中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业,中国海监船在A地侦查发现,在南偏东60°方向的B地,有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶,企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民,此时,C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处,中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民,能不能及时赶到?
(≈1.41,≈1.73,=2.45).
考点:
解直角三角形的应用-方向角问题。
专题:
探究型。
分析:
过点A作AD⊥BC的延长线于点D,则△ACD是等腰直角三角形,根据AC=10海里可求出AD即CD的长,在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长,再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行,国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间,进而得出结论.解答:
解:
过点A作AD
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