第五六讲 数阵图与第七讲 最不利原则.docx
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第五六讲数阵图与第七讲最不利原则
第五讲数阵图
(一)
在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引人入胜,奇妙无穷。
它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么,到底什么是数阵呢?
我们先观察下面两个图:
左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了,1~9九个数字被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和,以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图,可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
【例1】把1~5这五个数分别填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【思路】中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也有它,我们把它叫做“重叠数”。
也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重叠了一次,其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以
(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了,其余各数就好填了(见右上图)。
同步练习1
将1~7这七个数分别填入下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于12。
【例2】把1~5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等。
【思路】与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所
以,必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知,两条直线上的三个数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线上的三个数之和都等于
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此,两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。
在剩下的四个数1,2,3,4中,只有1+4=2+3=5。
故有右上图的填法。
同步练习2
将1~9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。
【例3】把1~5这五个数填入右图中的○里,使每条直线上的三个数之和相等。
【思路】例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道,
(1+2+3+4+5)+重叠数
=每条直线上三数之和×2,
所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。
因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1,3或5。
若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。
填法见左下图;
若“重叠数”=3,则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。
填法见下中图;
若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。
填法见右下图。
由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。
【例4】将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10。
【思路】与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。
因为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到:
(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为:
[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中,两两之和等于9的有2,7;3,6;4,5。
可得右上图的填法。
如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么仿照例3,重叠数可能等于几?
怎样填?
课外作业
1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里,使每条直线上的三个数之和都等于10.
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里(其中5已填好),使每条直线上的三个数之和都相等。
3.将1~9这九个数分别填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20。
第六讲数阵图
(二)
上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。
【例1】将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
【思路】中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为
21×2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。
每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4,那么同理可得右上图的填法。
【例2】将1~6这六个自然数分别填入下图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
【思路】本题有三个重叠数,即三角形三个顶点○内的数都是重叠数,并且各重叠一次。
所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+…+6)=12。
1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。
如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左下图的填法。
容易发现,所填数不是1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不能是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。
同步练习1
把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
【例3】将1~6这六个自然数分别填入下图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
【思路】与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。
考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12.
同步练习2
把1~6这六个数填入下图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。
【例4】将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
【思路】四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于
18×4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。
由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:
“试填”的结果,只有右上图的填法符合题意。
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以:
各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。
由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
【例5】把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
【思路】这道题的“重叠数”很多。
有重叠2次的(中心数,记为a);有重叠1次的(三个数,分别记为b,c,d)。
根据题意应有
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3,
即a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分别为2,3,4才符合题意,填法见右上图。
课外作业
1.将1~8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。
2.将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
3.将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。
第七讲最不利原则
在日常生活和生产中,我们常常会遇到求最大值或最小值的问题,解答这类问题,常常需要从最不利的情况出发分析问题,这就是最不利原则。
下面通过具体例子说明最不利原则以及它的应用。
【例1】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个球,才能保证至少有4个小球颜色相同?
分析与解:
如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同,就回答是“4”,那么显然不对,因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的,但为了“保证至少有4个小球颜色相同”,就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求,那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢?
那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球,此时三种颜色的球都是3个,却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球,无论是红、黄或蓝色,都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出10个球。
由例1看出,最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。
如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”,那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。
现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”,这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。
同步练习1
1.袋子里有同样大小、质地的红、黄、绿三种颜色的小球各15个。
问:
一次最少摸出几个球,才能保证至少有3个小球颜色相同?
2.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
问:
最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子?
例2袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个,为保证这n个小球至少有5个同色,n的最小值是多少?
分析与解:
与例1类似,也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球,共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球,所以再取一个球,无论是黄球还是蓝球,都可以保证有5个球颜色相同。
因此所求的最小值是12。
同步练习2
袋子里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共22个。
其中红球4个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个,为保证这n个小球至少有6个同色,n的最小值是多少?
例3一排椅子只有15个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已就座的人相邻。
问:
在乐乐之前已就座的最少有几人?
分析与解:
将15个座位顺次编为1~15号。
如果2号位、5号位已有人就座,那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。
根据这一想法,让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座,那么乐乐无论坐在哪个座位,必将与已就座的人相邻。
因此所求的答案为5人。
同步练习3
一张圆桌有12个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已经就座的人相邻。
问:
在乐乐之前已就座的最少有几人?
例4一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
分析与解:
从最不利的情形考虑。
用10把钥匙依次去试第一把锁,最不利的情况是试验了9次,前8次都没打开,第9次无论打开或没打开,都能确定与这把锁相匹配的钥匙。
同理,第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次,共要试验:
9+8+7+…+2+1=45(次)。
所以,最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
同步练习4
一把钥匙只能开一把锁,现有10把锁和其中的9把钥匙,要保证这9把钥匙都配上锁,至少需要试验多少次?
例5在一副扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中四种花色都有?
分析与解:
一副扑克牌有大、小王牌各1张,“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张,共计有54张牌。
最不利的情形是:
取出四种花色中的三种花色的牌各13张,再加上2张王牌。
这41张牌中没有四种花色。
剩下的正好是另一种花色的13张牌,再抽1张,四种花色都有了。
因此最少要拿出42张牌,才能保证四种花色都有。
课时作业
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个,才能保证至少有5个小球颜色相同?
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个,其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问:
一次最少取出几个,才能保证至少有6个小球颜色相同?
3.一排椅子共有18个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,他无论坐在哪个座位,都将与已经就座的人相邻。
问:
在乐乐之前已就座的最少有几人?
4.一把钥匙只能开一把锁,现有12把锁和12把钥匙,要保证这9把钥匙都配上锁,至少需要试验多少次?
5.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问:
(1)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子?
(2)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子?
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