届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第2讲 一元二次不等式的解法.docx

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届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第2讲一元二次不等式的解法

第2讲　一元二次不等式的解法

1．三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数

y＝ax2＋bx

＋c（a>0）的

图象

一元二次方

程ax2＋bx

＋c＝0（a>0）

的根

有两个相异

实根x1，x2

（x1

有两个相等

实根x1＝

x2＝－

没有实

数根

ax2＋bx＋c

>0（a>0）

的解集

{x|x>x2

或x

R

ax2＋bx＋c

<0（a>0）

的解集

{x|x1

∅

∅

2.常用结论

（x－a）（x－b）>0或（x－a）（x－b）<0型不等式的解法

不等式

解集

a

a＝b

a>b

（x－a）·

（x－b）>0

{x|x

或x>b}

{x|x≠a}

{x|x>a

或x

（x－a）·

（x－b）<0

{x|a

∅

{x|b

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为（x1，x2），则必有a>0.（　　）

（2）若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是（－∞，x1）∪（x2，＋∞），则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.（　　）

（3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.（　　）

（4）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.（　　）

（5）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

（教材习题改编）不等式（x＋1）（x＋2）<0的解集为（　　）

A．{x|－2

C．{x|x<－2或x>1}D．{x|x<－1或x>2}

答案：

A

（教材习题改编）不等式－2x2＋x<－3的解集为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选D.－2x2＋x<－3，

即为2x2－x－3>0，Δ＝25>0，

方程2x2－x－3＝0的两实根为x1＝－1，x2＝，

所以2x2－x－3>0的解集为

.

（教材习题改编）关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1

A．－B.－

C.D．

解析：

选D.－x2＋mx＋n>0，

即为x2－2mx－2n<0.

由题意知，x2－2mx－2n<0的解集为{x|－1

所以所以m＝，n＝1.

所以m＋n＝，故选D.

不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意得Δ＝a2－16≥0，

即a2≥16，

所以a的取值范围是（－∞，－4]∪[4，＋∞）．

答案：

（－∞，－4]∪[4，＋∞）

不等式<1的解集是________．

解析：

<1⇒<0

⇒>0⇒x>1或x<－1.

答案：

{x|x>1或x<－1}

　　　　　　一元二次不等式的解法（高频考点）

[学生用书P108]

一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：

（1）不含参数的一元二次不等式；

（2）含参数的一元二次不等式．

[典例引领]

角度一　不含参数的一元二次不等式

求不等式－x2＋8x－3>0的解集．

【解】　因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－

角度二　含参数的一元二次不等式

解关于x的不等式：

x2－（a＋1）x＋a<0.

【解】　由x2－（a＋1）x＋a＝0，

得（x－a）（x－1）＝0，

所以x1＝a，x2＝1.

①当a>1时，x2－（a＋1）x＋a<0的解集为{x|1

②当a＝1时，x2－（a＋1）x＋a<0的解集为∅；

③当a<1时，x2－（a＋1）x＋a<0的解集为{x|a

将本例中的不等式改为ax2－（a＋1）x＋1<0，如何求解？

解：

若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于（x－1）>0，

解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于（x－1）<0.

①当a＝1时，＝1，（x－1）<0无解；

②当a>1时，<1，解（x－1）<0，

得

③当01，解（x－1）<0，

得1

综上所述，当a<0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

当0

当a＝1时，解集为∅；

当a>1时，解集为.

一元二次不等式的解法

（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．

（2）含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．

①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．

②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．

③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．

（3）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．

[注意]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．　

[通关练习]

1．设实数a∈（1，2），关于x的一元二次不等式x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）＜0的解集为（　　）

A．（3a，a2＋2）B.（a2＋2，3a）

C．（3，4）D．（3，6）

解析：

选B.由x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）＜0，得（x－3a）·（x－a2－2）＜0，因为a∈（1，2），所以3a＞a2＋2，所以关于x的一元二次不等式x2－（a2＋3a＋2）x＋3a（a2＋2）＜0的解集为（a2＋2，3a）．故选B.

2．求不等式12x2－ax>a2（a∈R）的解集．

解：

因为12x2－ax>a2，

所以12x2－ax－a2>0，

即（4x＋a）（3x－a）>0，

令（4x＋a）（3x－a）＝0，

得x1＝－，x2＝.

当a>0时，－<，

解集为；

当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，－>，

解集为.

综上所述，当a>0时，不等式的解集为

；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a<0时，不等式的解集为.

　　　　　　一元二次不等式恒成立问题（高频考点）[学生用书P109]

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：

（1）在R上的恒成立问题；

（2）在给定区间上的恒成立问题；

（3）给定参数范围的恒成立问题．

[典例引领]

角度一　在R上的恒成立问题

（1）若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）

A．（－3，0）B.[－3，0）

C．[－3，0]D．（－3，0]

（2）设a为常数，对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是（　　）

A．（0，4）B.[0，4）

C．（0，＋∞）D．（－∞，4）

【解析】　

（1）当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3

综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是（－3，0]．

（2）对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则必有或a＝0，所以0≤a<4.

【答案】　

（1）D　

（2）B

角度二　在给定区间上的恒成立问题

设函数f（x）＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f（x）<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【解】　要使f（x）<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，

即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：

令g（x）＝m＋m－6，x∈[1，3]．

当m>0时，g（x）在[1，3]上是增函数，

所以g（x）max＝g（3）⇒7m－6<0，

所以m<，

所以0

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g（x）在[1，3]上是减函数，

所以g（x）max＝g

（1）⇒m－6<0，

所以m<6，

所以m<0.

综上所述，m的取值范围是.

法二：

因为x2－x＋1＝＋>0，

又因为m（x2－x＋1）－6<0，

所以m<.

因为函数y＝

＝在[1，3]上的最小值为，

所以只需m<即可．

所以，m的取值范围是.

角度三　给定参数范围的恒成立问题

对任意m∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．

【解】　由f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m＝（x－2）m＋x2－4x＋4，

令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4.

由题意知在m∈[－1，1]上，g（m）的值恒大于零，

所以

解得x<1或x>3.

故当x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）时，对任意的m∈[－1，1]，函数f（x）的值恒大于零．

形如f（x）≥0（f（x）≤0）恒成立问题的求解思路

（1）x∈R的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解．

（2）x∈[a，b]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．

（3）已知参数m∈[a，b]的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．

[注意]　解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．　

[通关练习]

1．已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．

解析：

作出二次函数f（x）的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0，

则有

即

解得－

答案：

2．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？

若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：

不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，

即函数f（x）＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．

当m＝0时，1－2x<0，

则x>，不满足题意；

当m≠0时，函数f（x）＝mx2－2x－m＋1为二次函数．

需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即

不等式组的解集为空集，即m无解．

综上可知，不存在这样的m.

　　　　　　一元二次不等式的应用[学生用书P110]

[典例引领]

某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成＝10%），售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

（1）设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f（x），并写出定义域．

（2）若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．

【解】　

（1）由题意得y＝100·100.

因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，得x≤2.所以y＝f（x）＝20（10－x）（50＋8x），定义域为[0，2]．

（2）由题意得20（10－x）（50＋8x）≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.

所以x的取值范围是.

求解不等式应用题的四个步骤

（1）阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．

（2）引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．

（3）解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．

（4）回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．　

[通关练习]

汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．

在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：

s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：

甲、乙两车有无超速现象？

解：

由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，

即x2＋10x－1200>0，

解得x>30或x<－40（不合实际意义，舍去），

这表明甲车的车速超过30km/h.

但根据题意刹车距离略超过12m.

由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，

即x2＋10x－2000>0，

解得x>40或x<－50（不合实际意义，舍去），

这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速.

一元二次不等式的求解策略

（1）化：

把不等式化为二次项系数大于零的标准形式．

（2）判：

计算对应方程的判别式．

（3）求：

求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．

（4）写：

利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法

方法

解读

适合题型

判别式法

（1）ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是

（2）ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是

二次不等式在R上恒成立

分离参数法

如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：

a≥f（x）恒成立等价于a≥f（x）max；a≤f（x）恒成立等价于a≤f（x）min

适合参数与变量能分离且f（x）的最值易求

主参换位法

把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f（x）＝ax＋b（a≠0）在[m，n]上恒成立问题，若f（x）>0恒成立⇒

若f（x）<0恒成立⇒

若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时

[学生用书P291（单独成册）]

1．不等式（x－2）（2x－3）<0的解集是（　　）

A.∪（2，＋∞）　B.R

C.D．∅

解析：

选C.因为不等式（x－2）（2x－3）<0，

解得

所以不等式的解集是.

2．不等式≥1的解集为（　　）

A.

B.

C．（－∞，－2）∪

D．（－∞，－2]∪

解析：

选B.≥1⇔－1≥0⇔≥0

⇔≥0⇔≤0⇔

⇔－2

3．已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

选C.由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3，2，于是

⇒

则不等式bx2－5x＋a>0，

即为30x2－5x－5>0，

即（3x＋1）（2x－1）>0，

⇒x<－或x>.故选C.

4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b（a，b为非负实数），若1⊙k2<3，则k的取值范围是（　　）

A．（－1，1）B.（0，1）

C．（－1，0）D．（0，2）

解析：

选A.因为定义a⊙b＝＋a＋b（a，b为非负实数），1⊙k2<3，所以＋1＋k2<3，

化为（|k|＋2）（|k|－1）<0，所以|k|<1，

所以－1

5．若不等式x2－（a＋1）x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是（　　）

A．[－4，1]B.[－4，3]

C．[1，3]D．[－1，3]

解析：

选B.原不等式为（x－a）（x－1）≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1

6．若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．

解析：

由已知ax>b的解集为，可知a<0，且＝，将不等式ax2＋bx－a>0两边同除以a，得x2＋x－<0，即x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，解得－1

答案：

7．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为________．

解析：

令f（x）＝x2－ax＋1，由题意可得，解得2≤a＜.

答案：

[2，）

8．当且仅当a∈（m，n）时，<3对x∈R恒成立，则m＋n＝________．

解析：

因为1－x＋x2>0恒成立，

所以原不等式等价于2－ax＋x2<3（1－x＋x2），

即2x2＋（a－3）x＋1>0恒成立．

所以Δ＝（a－3）2－8<0，3－2

依题意有m＝3－2，n＝3＋2，所以m＋n＝6.

答案：

6

9．已知函数f（x）＝ax2＋（b－8）x－a－ab，当x∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f（x）<0，当x∈（－3，2）时，f（x）>0.

（1）求f（x）在[0，1]内的值域；

（2）若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．

解：

（1）因为当x∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f（x）<0，

当x∈（－3，2）时，f（x）>0.

所以－3，2是方程ax2＋（b－8）x－a－ab＝0的两根，

所以

所以a＝－3，b＝5.

所以f（x）＝－3x2－3x＋18

＝－3＋.

因为函数图象关于x＝－对称且抛物线开口向下，

所以f（x）在[0，1]上为减函数，

所以f（x）max＝f（0）＝18，

f（x）min＝f

（1）＝12，故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]．

（2）由

（1）知不等式ax2＋bx＋c≤0可化为－3x2＋5x＋c≤0，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需

即25＋12c≤0，所以c≤－，

所以实数c的取值范围为.

10．解关于x的不等式ax2－（2a＋1）x＋2<0（a∈R）．

解：

原不等式可化为（ax－1）（x－2）<0.

（1）当a>0时，原不等式可以化为a（x－2）<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于（x－2）·<0.

因为方程（x－2）＝0的两个根分别是2，，所以当0

当a>时，<2，则原不等式的解集是.

（2）当a＝0时，原不等式为－（x－2）<0，

解得x>2，

即原不等式的解集是{x|x>2}．

（3）当a<0时，原不等式可以化为

a（x－2）<0，

根据不等式的性质，这个不等式等价于（x－2）·>0，

由于<2，

故原不等式的解集是.

综上所述，当a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；

当0

当a＝时，不等式的解集为∅；

当a>时，不等式的解集为.

1．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）B.（－2，＋∞）

C．（－6，＋∞）D．（－∞，－6）

解析：

选A.不等式x2－4x－2－a>0在区间（1，4）

内有解等价于a<（x2－4x－2）max.

令g（x）＝x2－4x－2，x∈（1，4），

所以g（x）

所以a<－2，故选A.

2．在关于x的不等式x2－（a＋1）x＋a<0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（　　）

A．（3，4）B.（－2，－1）∪（3，4）

C．（3，4]D．[－2，－1）∪（3，4]

解析：

选D.由题意得，原不等式化为

（x－1）（x－a）<0.

当a>1时，解得1

则3

解得a

此时解集中的整数为0，－1，

则－2≤a<－1.

故a∈[－2，－1）∪（3，4]，

故选D.

3．在R上定义运算：

＝ad－bc，若不等式≥1对x∈R恒成立，则实数a的最大值为________．

解析：

原不等式等价于x（x－1）－（a－2）（a＋1）≥1，

即x2－x－1≥（a－2）（a＋1）对x∈R恒成立，

因为x2－x－1＝－≥－，

所以（a－2）（a＋1）≤－，

解得－≤a≤，

所以amax＝.

答案：

4．函数f（x）＝对任意x∈[1，＋∞），f（x）>0恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析：

因为x∈[1，＋∞）时，f（x）＝>0恒成立，即x2＋2x＋a>0恒成立．

即当x≥1时，a>－（x2＋2x）恒成立．

设g（x）＝－（x2＋2x），

而g（x）＝－（x2＋2x）＝－（x＋1）2＋1在[1，＋∞）上单调递减，所以g（x）max＝g

（1）＝－3，故a>－3.

所以，实数a的取值范围是（－3，＋∞）．

答案：

（－3，＋∞）

5．求使不等式x2＋（a－6）x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．

解：

将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x－3）a＋x2－6x＋9>0.

令f（a）＝（x－3）a＋x2－6x＋9.

因为f（a）>0在|a|≤1时恒成立，所以

（1）若x＝3，

则f（a）＝0，不符合题意，应舍去．

（2）若x≠3，则由一次函数的单调性，可得

即

解得x<2或x>4.

所以x的取值范围是{x|x<2或x>4}．

6．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，函数F（x）＝f（x）－x的两个零点为m，n（m

（1）若m＝－1，n＝2，求不等式F（x）>0的解集；

（2）若a>0，且0

解：

（1）由题意知，F（x）＝f（x）－x

＝a（x－m）（x－n）．

当m＝－1，n＝2时，不等式F（x）>0，

即a（x＋1）（x－2）>0.

当a>0时，不等式F（x）>0的解集为{x|x<－1或x>2}；

当a<0时，不等式F（x）>0的解集为{x|－1

（2）f（x）－m＝F（x）＋x－m＝a（x－m）（x－n）＋x－m＝（x－m）（ax－an＋1），

因为a>0，且0

所以x－m<0，1－an＋ax>0.

所以f（x）－m<0，即f（x）