高中数学新学案同步 必修2 人教A版 全国通用版 第四章 圆与方程疑难规律方法.docx
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高中数学新学案同步必修2人教A版全国通用版第四章圆与方程疑难规律方法
1 圆的两种方程的区别与联系
圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;而二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,表示圆心为
,半径为r=
的圆,叫做圆的一般方程.
二者的相同点表现在:
(1)二者的实质相同,可以互相转化;标准方程展开后就是一般方程,而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的.
(2)不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组,解之得到待定系数的值.
标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两点:
1.二者确定圆的条件不同
例1 圆心P在直线y=x上,且与直线x+2y-1=0相切的圆,截y轴所得的弦长|AB|=2,求此圆的方程.
解 ∵圆心P在直线y=x上,
∴可设P的坐标为(k,k),
设圆的方程为(x-k)2+(y-k)2=r2(r>0).
作PQ⊥AB于Q,连接AP,在Rt△APQ中,|AQ|=1,
|AP|=r,|PQ|=|k|,∴r=
.
又r=
,∴
=
,
整理得2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-
.
当k=2时,圆的半径为r=
=
,
故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
当k=-
时,圆的半径为r=
=
,
故圆的方程为
2+
2=
.
因此所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5或
2+
2=
.
例2 已知△ABC各顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程.
分析 可利用待定系数法,设出圆的一般方程,根据已知条件求得系数,进而得到方程.
解 设过A,B,C三点的圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5)代入,可得
解得D=-4,E=-2,F=-20,
∴其外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径,因此在题目条件中涉及到圆心坐标时,多选用标准方程;而已知条件和圆心或半径都无直接关系时,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.需要指出的是,应用待定系数法,要尽可能少设变量,从而简化计算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程,通常情况下利用一般式更简单.
2.二者的应用方面不同
例3 若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=
x(x≥0)相切,求这个圆的方程.
分析 利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标,这是本题方程求解的一个突破口.
解 由题意知,圆心的横坐标及半径为1,纵坐标大于0,设圆心纵坐标为b(b>0),则圆的方程为(x-1)2+(y-b)2=1(b>0),
∵圆与射线y=
x(x≥0)相切,∴
=1,
解得b=
,∴圆的方程为(x-1)2+(y-
)2=1.
评注 圆的标准方程明显带有几何的影子,圆心和半径一目了然,因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化;而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构,更适合方程理论的运用.
2 圆弦长的求法
1.利用两点间的距离公式
若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=
.
例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长.
解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线的方程为y=
x.
解方程组
得
或
∴|AB|=
=
=2
.
评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标,再由两点间的距离公式求解.这是一种最基本的方法,当方程组比较容易解时常用此法.
2.利用勾股定理
若弦心距为d,圆的半径为r,则弦长|AB|=2
.
例2 求直线x+2y=0被圆x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长|AB|.
解 把圆x2+y2-6x-2y-15=0化为标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25,
所以其圆心坐标为(3,1),半径为r=5.
因为圆心(3,1)到直线x+2y=0的距离为d=
=
,所以弦长|AB|=2
=4
.
3.利用弦长公式
若直线l的斜率为k,与圆相交时的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=
|x1-x2|=
.
例3 求直线2x-y-2=0被圆(x-3)2+y2=9所截得的弦长|AB|.
解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由
消去y整理得
5x2-14x+4=0,则x1+x2=
,x1x2=
.
∴|AB|=
=
=
.
评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出,即设而不求),联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程,再结合根与系数的关系即可得解.
3 妙用对策简解“圆”的问题
在学习圆的知识时,往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题,解决这类问题的关键是避开复杂运算,减少运算量.现举例介绍求解圆问题的三条简解对策.
1.合理选用方程
要学会选择合适的“圆的方程”,如果方程选择得当,运算量就会减少,解法就简捷.如果问题中给出圆心坐标关系或圆心的特殊位置或半径大小时,选用标准方程;否则,选用一般方程.
例1 求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2),B(3,-2)的圆的方程.
解 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
因为圆过点A(5,2),B(3,-2),
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
易得线段AB的垂直平分线方程为y=-
(x-4).
又因为圆心在直线2x-y-3=0上,
所以由
解得
即圆心坐标为(2,1).
又圆的半径为r=
=
.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
2.数形结合,充分运用圆的几何性质
求解直线与圆的位置关系问题时,为避免计算量过大,可以数形结合,充分运用圆的几何性质求解.比如,圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上;计算弦长时,可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形;涉及圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径等.
例2 已知直线l:
y=kx+1,圆C:
(x-1)2+(y+1)2=12.
(1)证明:
不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
方法一
(1)证明 由
消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,
因为Δ=[-(2-4k)]2+28(k2+1)>0,
所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.
(2)解 设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则直线l被圆C截得的弦长为|AB|=
|x1-x2|
=2
=2
,
令t=
,则tk2-4k+(t-3)=0,
当t=0时,k=-
,
当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4t(t-3)≥0,
解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=
的最大值为4,
此时|AB|最小为2
.
方法二
(1)证明 圆心C(1,-1)到直线l的距离为d=
,圆C的半径为R=2
,
R2-d2=12-
=
,
而在S=11k2-4k+8中,Δ=(-4)2-4×11×8<0,
故11k2-4k+8>0对k∈R恒成立,
所以R2-d2>0,即d (2)解 由平面几何知识, 知|AB|=2 =2 ,下同方法一. 方法三 (1)证明 因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|= <2 =R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P. 所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知,过圆内定点P(0,1)的弦,只有和AC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2 =2 , 即直线l被圆C截得的最短弦长为2 . 评注 在直线与圆的位置关系中,直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容.解决这类弦长问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一结论. 3.设而不求,整体代入 对于圆的一些综合问题,比如弦的中点问题,常运用整体思想.整体思想就是在处理问题时,利用问题中整体与部分的关系,灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法,常可以简化运算过程,提高解题速度,并从中感受到整体思维的和谐美. 例3 已知圆C: x2+(y-1)2=5,直线l: mx-y+1-m=0,设l与圆C交于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程. 解 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y). 当直线l不垂直于x轴时, 依题意,得 x +(y1-1)2=5,① x +(y2-1)2=5.② 由①-②,可得(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2-2)(y1-y2),所以 = = = . 而直线恒过点(1,1),所以 = , 所以 = ,即x2-x+(y-1)2=0, 即 2+(y-1)2= . 当直线l垂直于x轴时,点M(1,1)也适合方程 2+(y-1)2= . 综上所述,点M的轨迹方程是 2+(y-1)2= . 评注 本题中设出A,B两点的坐标,但求解过程中并不需要求出来,只是起到了中介桥梁的作用,简化了解题过程.这种设而不求,整体处理的技巧,常能起到减少运算量、提高运算效率的作用. 4 解析几何中数学思想的应用 1.数形结合思想 数形结合的思想,其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,实现代数问题几何化,几何问题代数化. 例1 已知点P(x,y)在圆O: x2+y2=1上,求(x+2)2+(y-3)2的最小值. 分析 从(x+2)2+(y-3)2的几何意义打开思维,通过数形结合,辅之以临界点来求解. 解 如图,设点M(-2,3), 则(x+2)2+(y-3)2表示|PM|2. 因为|MO|2=(-2)2+32=13>1,所以点M在圆O外. 连接MO并延长,顺次交圆O于D,E两点,则|MD|≤|PM|≤|ME|, 即|MO|-r≤|PM|≤|MO|+r. 所以|PM|的最小值为|MO|-r= -1,即(x+2)2+(y-3)2的最小值为( -1)2=14-2 . 评注 本例从运动变化的角度出发(让点P在圆上运动),在运动中寻找最值取得的条件,从而使问题获解. 2.方程思想 通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题,利用方程的性质,实现问题与方程的互相转化,达到解决问题的目的. 例2 已知过点(3,0)的直线l与圆x2+y2+x-6y+3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(其中O为原点),求直线l的方程. 分析 由条件OP⊥OQ,若设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 · =-1.由P,Q在圆及直线上,可借助方程求解. 解 设直线l的方程为x+ay-3=0(a≠0), 则点P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐标满足方程组 消去y,得x2+ 2+x-6· +3=0, 即 x2+ x+ - +3=0, 所以x1x2= .① 由方程组消去x,得(3-ay)2+y2+(3-ay)-6y+3=0, 即(a2+1)y2-(7a+6)y+15=0,所以y1y2= .
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