福建省福州市学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案.docx
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福建省福州市学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案
福建省福州市2016-2017学年高二下学期期中考试
数学(理)试题
一、选择题(60分)
1.若复数
满足
(
为虚数单位),则
()
A.
B.
C.
D.
2.某公司
位员工的月工资为
,
,…,
,其
均值和方差分别为
和
,若从下
月起每位员工的月工资增加
元,则这
位员工下月工资的均值和方差分别为()
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
3.对同一目标进行两次射击,第一、二次射击命中目标的概率分别为
和
,则两次射击中至少有一次命中目标的概率是()
A.
B.
C.
D.
4.已知双曲线过点
,渐进线方程为
,则双
曲线的标准方程是()
A.
B.
C.
D.
5.篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球。
某人从篮子
中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个红球,一个白球”,则
()
A、
B、
C、
D、
6.一次数学模块考试中约有
1000人参加考试,且考试成绩
,统计结果显示考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的
,则此次数学考试成绩不低于110分的学生数约为()
A.600B.400C.300D.200
7.春天来了,某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念,男生甲和乙要求站在一起,3位女生不全站在一起,则不同的站法种数是()
A.964
B.1080C.1152D.1296
8.下面给出了四个类比推理:
(1)由“若
则
”类比推出“若
为三个向量则
”;
(2)“a,b为实数,
则a=b=0”类比推出“
为复数,若
”
(3)“在平面内,三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中,四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
(4)“在平面内,过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中,过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”.
上述四个推理中,结论正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知
是奇函数,且
,当
时,
,则
()
A.
B.
C.
D.
10.函数
在
的图象大致为()
11.已知
是椭圆
的左焦点,
为右顶点,
是椭圆上一点,
轴,若
,则该椭圆的离心
率是()
A.
B.
C.
D.
12.定义在
上的函数
使不等式
恒成立,其中
是
的导数,则()
A.
B.
C.
D.
二、填空题(20分)
13.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,则不同的分法的总数是__________.(用数字做答)
14.若
的展开式中
项的系数为4,则
_________.
15.过抛物线
的焦点
作直线
交抛物线于
.若
,则
的斜率是_____.
16.函数
的定义域为实数集
,
对于任意的
,
,若在区间
上函数
恰有三个不同的零点,则实数
的取值范围是.
三、解答题
17.(12分)已知函数
(
),
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数
,
,求
的单调区间和最小值.
18.(12分)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(1)求图中
的值;
(2)已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为2:
1,若在满意度评分值为的人中随机抽取4人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量
,求
的分布列和数学期望.
19.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定
从全班
名男同学,
名女同学中随机抽取一个容量为
的样本进行分析.
(1)如果按性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?
(只要求写出计算式即可,不
必计算出结果)
(2)随机抽取
位,他们的数学分数从小到大排序是:
,物理分数从
小到大排序是:
.
若规定
分以上(包括
分)为
优秀,求这
位同学中恰有
位同学的数学和物理分数均
为优秀的概率;
若这
位同学的数学、物理分数事实上对应如下表:
根据上表数据,由变量
与
的相关系数可知物理成绩
与数学成绩
之间具有较强的线性相关关系,现求
与
的线性回归方程(系数精确到
).
参考公式:
回归直线的方程是:
,其中对应的回归估计值
,
参考数据:
,
,
,,
,.
20.(12分)已知两点
,动点
在
轴上的投影是
,且
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)过
作互相垂直的两条直线交轨迹
于
,且
分别是
的中点.求证:
直线
恒过定
点.
21.(12分)函数
,
.
(1)讨论
的极值点的个数;
(2)若对于任意
,总有
成立,求实数
的取值范围.
22.(10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,
以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
直线
的参数方程为
(
为参数),直线
和圆
交于
两点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)直线
与
轴的交点为
,求
.
福建省福州市2016-2017学年高二下学期期中考试
数学(理)试题参考答案
1.ADCC5.BDCB9.DCBB
13.3614.
15.
16.
17.解析:
(1)因为
,
由
即
,得
,
则
的解析式为
,即有
,
所以所求切线方程为
.
(2)∵
,∴
,
由
,得
或
,
由
,得
,∵
,
∴
的单调增区间为
,减区间为
,
∵
,∴
的最小值为
.
18.解析:
(1)
由
,解得
.
(2)满意度评分值在内有
人,
其中男生6人,女生3人.
则X的值可以为0,1,2,3.
,
,
,
.
则X分布列如下:
X
0
1
2
3
P
所以X的期望
.
19.【答案】
(1)
;
(2)①
;②线性回归方程是
.
②设
与
的线性回归方程是
,根据所给数据,可以计算出
,
,所以
与
的线性回归方程是
........12分
20.解析
(1)设点
坐标为
∴点
坐标为
∵
∴
∴点
的轨迹方程为
(2)当
两直线的斜率都存在且不为0时,设
联立方程得,
,
,∴
恒成立
∴
,
∴
中点
坐标为
同理,
中点
坐标为
∴
∴
的方程为
,∴
过点
当两直线的斜率分别为0和不存在时,
的方程为
,也过点
综上所述,
过定点
.
21.解析:
(1)
①当
,即
时,
对
恒成立,
在
单调增,
没有极值点;
②当
,即
时,方程
有两个不等正数解
,
不妨设
,则当
时,
增;
时,
减;
时,
增,所以
分别为
极大值点和极小值点,
有两个极值点.
综上,当
时
没有极值点;当
时
有两个极值点.
(2)
,由
,即
对于
恒成立,设
,
,
,
时,
减,
时,
增,
,
.
22.试题解析:
(1)由
得
得
故圆
的普通方程为
所以圆心坐标为
圆心的极坐标为
.
(2)把
代入
得
,
所以点A、B对应的参数分别为
令
得点
对应的参数为
所以
法二:
把
化为普通方程得
令
得点P坐标为
,又因为直线
恰好经过圆C的圆心,
故
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