中考数学试题分类汇编《二次函数》试题含答案.docx

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中考数学试题分类汇编《二次函数》试题含答案

2018年中考数学试题分类汇编《二次函数》

第一部分：

二次函数的图象与性质

1．（2018·德州中考）给出下列函数：

①y＝－3x＋2；②y＝

；③y＝2x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）

A．①③B．③④C．②④D．②③

2．（2018·威海中考）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）

A．abc<0B．a＋c

C．b2＋8a>4acD．2a＋b>0

3．（2018·潍坊中考）已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（）

A．3或6B．1或6

C．1或3D．4或6

4．（2018·烟台中考）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）．下列结论：

①2a－b＝0；②（a＋c）2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y＝（x－2）2－2.其中正确的是（）

A．①③B．②③

C．②④D．③④

5．（2018·天津中考）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（－1，0（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：

①抛物线经过点（1，0）；

②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；

③－3＜a＋b＜3.

其中，正确结论的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

6．（2018·广州中考）已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而____________（填“增大”或“减小”）．

7．（2018·自贡中考）若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为____________．

8．（2018·淄博中考）已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m>0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为______________．

9．（2018·宁波中考）已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c经过点（1，0（0，

）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线y＝－

x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

答案

1．B　2.D　3.B　4.D　5.C

6．增大　7.－1　8.2或8

9．解：

（1）把（1，0），（0，

）代入抛物线表达式得

解得

则抛物线的函数表达式为y＝－

x2－x＋

.

（2）y＝－

x2－x＋

＝－

（x＋1）2＋2，

将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，表达式变为y＝－

x2.

第二部分：

二次函数的实际应用

1．（2018·威海中考）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－

x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝

x刻画．下列结论错误的是（）

A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．斜坡的坡度为1∶2

2．（2018·绵阳中考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______________m.

3．（2018·青岛中考）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量＝销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－x＋26.

（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．

4．（2018·威海中考）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：

提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．

（1）求该网店每月利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；

（2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？

答案

1．A　2.4

－4

3．解：

（1）W1＝（x－6）（－x＋26）－80＝－x2＋32x－236.

（2）由题意得20＝－x2＋32x－236，解得x＝16.

答：

该产品第一年的售价是16元/件．

（3）由题意得

解得14≤x≤16.

W2＝（x－5）（－x＋26）－20＝－x2＋31x－150.

∵a＝－1＜0，－

＝

，

∴当14≤x≤

时，W2随着x的增大而增大，

当

≤x≤16时，W2随着x的增大而减小，

∴当x＝14或16时，W2有最小值．

∵当x＝14时，W2＝－142＋31×14－150＝88（万元）；

当x＝16时，W2＝－162＋31×16－150＝90（万元），

∴当x＝14时，利润W2最小，最小值为88万元．

答：

该公司第二年的利润W2至少为88万元．

4．解：

（1）设直线AB的函数表达式为yAB＝kx＋b，

代入A（4，4），B（6，2）得

解得

∴直线AB的函数表达式为yAB＝－x＋8.

设直线BC的函数表达式为yBC＝k1x＋b1，

代入B（6，2），C（8，1）得

解得

∴直线BC的函数表达式为yBC＝－

x＋5.

又∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元），

∴当4≤x≤6时，w1＝（x－4）（－x＋8）－3，

即w1＝－x2＋12x－35，

∴当6

x＋5）－3，

即w2＝－

x2＋7x－23.

（2）当4≤x≤6时，w1＝－x2＋12x－35＝－（x－6）2＋1，

∴当x＝6时，w1取最大值1.

当6

x2＋7x－23＝－

（x－7）2＋

，

∴当x＝7时，w2取最大值1.5，

∴

＝

＝6

，即第7个月可以还清全部贷款．

第三部分：

二次函数的综合应用

1．（2018·莱芜中考）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？

若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝

，抛物线y＝ax2－ax－a经过点B（2，

），与y轴交于点D.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？

请说明理由；

（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

3．（2018·自贡中考）如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A（1，0），B（－3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P（m，n）是线段AD上的动点．

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

答案

1．解：

（1）由已知得

解得

∴y＝－

x2＋

x＋3.

（2）设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

∴

解得

∴y＝－

x＋3.

设D（a，－

a2＋

a＋3），（0

如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M，

∴M（a，－

a＋3），

∴DM＝（－

a2＋

a＋3）－（－

a＋3）＝－

a2＋3a.

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，

∴△DEM∽△BOC，

∴

＝

.

∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，

∴DE＝

DM，

∴DE＝－

a2＋

a＝－

（a－2）2＋

，

∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是

.

（3）假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．

∵F为AB的中点，∴OF＝

，tan∠CFO＝

＝2.

如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.

①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝

＝2，∴BG＝10.

∵△GBH∽△BCO，∴

＝

＝

，

∴GH＝8，BH＝6，

∴G（10，8）．

设直线CG的表达式为y＝kx＋b，

∴

解得

∴y＝

x＋3，

∴

解得x＝

或x＝0（舍）．

②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝

，GH＝2，

BH＝

，

∴G（

，2）．

同理可得直线CG的表达式为y＝－

x＋3，

∴

解得x＝

或x＝0（舍）．

综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是

或

.

2．解：

（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式得

＝a×22－2a－a，解得a＝

.

∴抛物线的表达式为y＝

x2－

x－

.

（2）如图，连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，

则∠BCF＋∠CBF＝90°.

∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCF＝90°，

∴∠ACO＝∠CBF.

∵∠AOC＝∠CFB＝90°，∴△AOC∽△CFB，

∴

＝

.

设OC＝m，则CF＝2－m，则有

＝

，

解得m＝1，∴OC＝CF＝1.

当x＝0时，y＝－

，∴OD＝

，∴BF＝OD.

∵∠DOC＝∠BFC＝90°，∴△OCD≌△FCB，

∴DC＝CB，∠OCD＝∠FCB，

∴点B，C，D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）如图，过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为

y＝kx＋b，

则

解得

∴直线AB的表达式为y＝－

x＋

.

代入抛物线的表达式得－

x＋

＝

x2－

x－

.

解得x＝2或x＝－2.

当x＝－2时，y＝－

x＋

＝

，

∴点E的坐标为（－2，

）．

∵tan∠EDG＝

＝

＝

，

∴∠EDG＝30°.

∵tan∠OAC＝

＝

＝

，∴∠OAC＝30°，

∴∠OAC＝∠EDG，∴ED∥AC.

3．解：

（1）把（1，0），（－3，0）代入函数表达式得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.

当x＝－2时，y＝（－2）2＋2×（－2）－3，解得y＝－3，

即D（－2，－3）．

设AD的表达式为y＝kx＋b，将A（1，0），D（－2，－3）代入得

解得

∴直线AD的表达式为y＝x－1.

（2）设P点坐标为（m，m－1），Q（m，m2＋2m－3），