立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题含详细答案解析.docx
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立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题含详细答案解析
第二章综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线l1∥l2,在l1上取3个点,在l2上取2个点,由这5个点能确定平面的个数为
( )
A.5 B.4
C.9 D.1
[答案] D
[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面.
2.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线
( )
A.平行B.垂直
C.相交D.异面
[答案] B
[解析] 当直尺垂直于地面时,A不对;当直尺平行于地面时,C不对;当直尺位于地面上时,D不对.
3.已知m、n是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题正确的是
( )
A.若α、β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m、n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α、β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m、n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
[答案] D
[解析] A项,α、β可能相交,故错误;
B项,直线m、n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;
C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;
D项,假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.
4.已知α、β是两个平面,直线l⊄α,l⊄β,若以①l⊥α;②l∥β;③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确的命题有
( )
A.①③⇒②;①②⇒③
B.①③⇒②;②③⇒①
C.①②⇒③;②③⇒①
D.①③⇒②;①②⇒③;②③⇒①
[答案] A
[解析] 因为α⊥β,所以在β内找到一条直线m,使m⊥α,
又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β,所以l∥β,即①③⇒②;
因为l∥β,所以过l可作一平面γ∩β=n,所以l∥n,
又因为l⊥α,所以n⊥α,
又因为n⊂β,所以α⊥β,即①②⇒③.
5.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,若过C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则点H一定在
( )
A.直线AC上B.直线AB上
C.直线BC上D.△ABC的内部
[答案] B
[解析] ∵∠BAC=90°,∴BA⊥AC.
又∵BC1⊥AC,
∴AC⊥平面ABC1,∴平面ABC⊥平面ABC1.
∵平面ABC∩平面ABC1=AB,
∴C1在面ABC上的射影在直线AB上.
6.设直线l⊂平面α,过平面α外一点A与l,α都成30°角的直线有
( )
A.1条B.2条
C.3条D.4条
[答案] B
[解析] 如图,和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC=∠ACB=30°且BC∥l时,直线AC,AB都满足条件,故选B.
7.(2016·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α,n⊥β,则
( )
A.m∥lB.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
[答案] C
[解析] 选项A,只有当m∥β或m⊂β时,m∥l;选项B,只有当m⊥β时,m∥n;选项C,由于l⊂β,∴n⊥l;选项D,只有当m∥β或m⊂β时,m⊥n,故选C.
8.(2016·南安一中高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC与MN所成的角为
( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
[答案] C
[解析] 如图,连接A1C1、BC1、A1B.
∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,
∴MN∥BC1.
又A1C∥AC,
∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角.
∵△A1BC1为正三角形,
∴∠A1C1B=60°.故选C.
9.等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为
( )
A.30°B.60°
C.90°D.120°
[答案] C
[解析] 如图,由A′B=BC=1,∠A′BC=90°知A′C=
.
∵M为A′C的中点,∴MC=AM=
,且CM⊥BM,AM⊥BM,
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.
∵AC=1,MC=MA=
,∴MC2+MA2=AC2,
∴∠CMA=90°,故选C.
10.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动,并且保持AP⊥BD1,则点P的轨迹为
( )
A.线段B1C
B.BB1的中点与CC1的中点连成的线段
C.线段BC1
D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段
[答案] A
[解析] ∵AP⊥BD1恒成立,
∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.
∵AC⊥BD1,AB1⊥BD1,AC∩AB1=A,
∴BD1⊥面AB1C,∴P点在线段B1C上运动.
11.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A、B到l的距离分别是a和b,AB与α、β所成的角分别是θ和φ,AB在α、β内的射影长分别是m和n,若a>b,则
( )
A.θ>φ,m>nB.θ>φ,m<n
C.θ<φ,m<nD.θ<φ,m>n
[答案] D
[解析] 由勾股定理得a2+n2=b2+m2=AB2.
又a>b,∴m>n.
由已知得sinθ=
,sinφ=
,而a>b,
∴sinθ<sinφ,
又θ,φ∈(0,
),∴θ<φ.
12.如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则点P为
( )
A.KB.H
C.GD.B′
[答案] C
[解析] 应用验证法:
选G点为P时,EF∥A′B′且EF∥AB,此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.直线l与平面α所成角为30°,l∩α=A,m⊂α,A∉m,则m与l所成角的取值范围是________.
[答案] [30°,90°]
[解析] 直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值,当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所成角的最大值为90°.
14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN等于________.
[答案] 90°
[解析] 因为C1B1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,所以C1B1⊥MN.
又因为MN⊥MB1,MB1,C1B1⊂平面C1MB1,MB1∩C1B1=B1,所以MN⊥平面C1MB1,
所以MN⊥C1M,所以∠C1MN=90°.
15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).
[答案] DM⊥PC(或BM⊥PC)
[解析] 连接AC,则BD⊥AC,由PA⊥底面ABCD,可知BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,平面MBD⊥平面PCD.
16.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.
[答案] a>6
[解析] 由题意知:
PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P,
所以DE⊥平面PAE,∴DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE=x,则
=
,即
=
.
∴x2-ax+9=0,由Δ>0,解得a>6.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)(2016·江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别为AB、BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[解析]
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D、E分别为AB、BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,
A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
18.(本小题满分12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:
AC⊥BC1;
(2)求证:
AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
[解析]
(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1⊂平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交点为E,连接DE,又四边形BCC1B1为正方形.
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,
∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1,
∴∠CED为AC1与B1C所成的角.
在△CED中,ED=
AC1=
,
CD=
AB=
,CE=
CB1=2
,
∴cos∠CED=
=
.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
.
19.(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的左视图、俯视图,在直观图中,N是BC的中点,M是BD的中点,左视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
(1)求出该几何体的体积;
(2)求证:
AN∥平面CME;
(3)求证:
平面BDE⊥平面BCD.
[解析]
(1)由题意可知,四棱锥B-ACDE中,
平面ABC⊥平面ACDE,AB⊥AC,
∴AB⊥平面ACDE.
又AC=AB=AE=2,CD=4,
则四棱锥B-ACDE的体积为
V=
SACDE·AB=
×
×2=4.
(2)连接MN,则MN∥CD.
∵AE∥CD,∴MN∥AE.
又MN=AE=
CD,∴四边形ANME为平行四边形,
∴AN∥EM.
∵AN⊄平面CME,EM⊂平面CME,
∴AN∥平面CME.
(3)∵AC=AB,N是BC的中点,
∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCD.
∴AN⊥平面BCD.
由
(2)知:
AN∥EM,
∴EM⊥平面BCD.
又EM⊂平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCD.
20.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请按字母F、G、H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论;
(3)证明:
直线DF⊥平面BEG.
[解析]
(1)点F、G、H的位置如图所示.
(2)平面BEC∥平面ACH.证明如下:
因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,
于是四边形BCEH为平行四边形,
所以BE∥CH,
又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,
所以BE∥平面ACH,
同理,BG∥平面ACH,
又BE∩BG=B,
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)连接FH交EG于点O,连接BD.
因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,
因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG,
又EG⊥FH,EG∩FH=O,
所以EG⊥平面BFHD,
又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG,
同理DF⊥BG,
又EG∩BG=G,
所以DF⊥平面BEG.
21.(本小题满分12分)(2016·浙江文)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:
BF⊥平面ACFD;
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.
[解析]
(1)延长AD、BE、CF相交于一点K,如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2)因为BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.
在Rt△BFD中,BF=
,DF=
,
∴BD=
=
,
得cos∠BDF=
,
所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为
.
22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
,∠PAB=60°.
(1)求证:
AD⊥平面PAB;
(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值;
(3)求二面角P-BD-A的正切值.
[解析]
(1)证明:
在△PAD中,∵PA=2,AD=2,PD=2
,
∴PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PD.
在矩形ABCD中,AD⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB.
(2)∵BC∥AD,∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角.
在△PAB中,由余弦定理得
PB=
=
.
由
(1)知AD⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
∴AD⊥PB,∴BC⊥PB,
则△PBC是直角三角形,
故tan∠PCB=
=
.
∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为
.
(3)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作HE⊥BD于点E,连结PE.
∵AD⊥平面PAB,PH⊂平面ABCD,∴AD⊥PH.
又∵AD∩AB=A,∴PH⊥平面ABCD.
又∵PH⊂平面PHE,∴平面PHE⊥平面ABCD.
又∵平面PHE∩平面ABCD=HE,BD⊥HE,
∴BD⊥平面PHE.
而PE⊂平面PHE,∴BD⊥PE,
故∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.
由题设可得,PH=PA·sin60°=
,
AH=PA·cos60°=1,BH=AB-AH=2,
BD=
=
,HE=
·BH=
.
∴在Rt△PHE中,tan∠PEH=
=
.
∴二面角P-BD-A的正切值为
.
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