人教版初中数学九年级上册期中测试题学年广东省惠州市博罗县.docx
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人教版初中数学九年级上册期中测试题学年广东省惠州市博罗县
2019-2020学年广东省惠州市博罗县
九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请将正确的选项写在答题卡相应的题号下).
1.(3分)方程x2=x的解是( )
A.x=1B.x=0C.x1=1,x2=0D.x1=﹣1,x2=0
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
3.(3分)下列所给的方程中,没有实数根的是( )
A.x2+x=0B.5x2﹣4x﹣1=0C.3x2﹣4x+1=0D.4x2﹣5x+2=0
4.(3分)抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
5.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为( )
A.(﹣2,1)B.(2,﹣1)C.(2,1)D.(﹣2,﹣1)
6.(3分)⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离为3,则弦AB的长是( )
A.4B.6C.7D.8
7.(3分)已知抛物线y=x2+4x﹣3,(1,y1)与(2,y2)是该抛物线上的两点,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.不确定
8.(3分)如图,已知在⊙O中,点A,B,C均在圆上,∠AOB=80°,则∠ACB等于( )
A.130°B.140°C.145°D.150°
9.(3分)为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据题意所列方程为( )
A.20x2=25B.20(1+x)=25
C.20(1+x)2=25D.20(1+x)+20(1+x)2=25
10.(3分)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分,请将下列各题的正确答案填写在答题卡横线上).
11.(4分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 .
12.(4分)如图,OA,OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,连接AC,BC,若∠AOB=120°,则∠ACB= 度.
13.(4分)若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为 .
14.(4分)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是 .
15.(4分)如图,⊙O的半径为2.C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,则阴影部分的面积是 .
16.(4分)如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,则∠EAF的度数是 .
17.(4分)如图所示,已知抛物线C1,抛物线C2关于原点中心对称.如果抛物线C1的解析式为y=
(x+2)2﹣1,那么抛物线C2的解析式为 .
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分).
18.(6分)解方程:
x2+4x﹣5=0.
19.(6分)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.
(1)旋转中心是点 ,旋转角度是 度.
(2)若连结EF,则△AEF是 三角形;并证明.
20.(6分)如图,AB为⊙O的弦,C,D为直线AB上的两点,OC=OD.
(1)尺规作图:
过点O作直线AB的垂线,垂足为点P(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在
(1)的条件上,求证:
AC=BD.
四、解答题
(二)(本大题3小题,毎小题8分,共24分).
21.(8分)百货商店服装柜在销售中发现:
某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
22.(8分)如图,⊙O的直径AB为5,弦AC为3,∠ABC的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长;
(2)求AD的长.
23.(8分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,2),B(4,0),C(5,﹣3)三点,当x≥0时,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象.
五、解答题(三)(本大题2小题,毎小题10分,共20分).
24.(10分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当△AOD是直角三角形且∠ADO=90°时,求a的度数;
(3)当a=110°或125°或140°时,判断△AOD的形状,请选择其中一种情况说明理由.
25.(10分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,设运动的时间为xs,四边形APQC的面积为ymm2.
(1)y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)四边形APQC的面积能否等于172mm2.若能,求出运动的时间;若不能,说明理由.
2019-2020学年广东省惠州市博罗县九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分,在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请将正确的选项写在答题卡相应的题号下).
1.(3分)方程x2=x的解是( )
A.x=1B.x=0C.x1=1,x2=0D.x1=﹣1,x2=0
【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【解答】解:
方程移项得:
x2﹣x=0,
分解因式得:
x(x﹣1)=0,
可得x=0或x﹣1=0,
解得:
x1=1,x2=0.
故选:
C.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断.
【解答】解:
A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意.
故选:
D.
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念,正确把握相关定义是解题关键.
3.(3分)下列所给的方程中,没有实数根的是( )
A.x2+x=0B.5x2﹣4x﹣1=0C.3x2﹣4x+1=0D.4x2﹣5x+2=0
【分析】分别计算出判别式△=b2﹣4ac的值,然后根据△的意义分别判断即可.
【解答】解:
A、△=12﹣4×1×0=1>0,所以方程有两个不相等的实数根;
B、△=(﹣4)2﹣4×5×(﹣1)=36>0,所以方程有两个不相等的实数根;
C、△=(﹣4)2﹣4×3×1=4>0,所以方程有两个不相等的实数根;
D、△=(﹣5)2﹣4×4×2=﹣7<0,所以方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.(3分)抛物线y=2(x﹣3)2+1的顶点坐标是( )
A.(3,1)B.(3,﹣1)C.(﹣3,1)D.(﹣3,﹣1)
【分析】已知抛物线的顶点式,可直接写出顶点坐标.
【解答】解:
由y=2(x﹣3)2+1,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,1).
故选:
A.
【点评】此题考查二次函数的性质,解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.
5.(3分)在平面直角坐标系中,点A(﹣2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为( )
A.(﹣2,1)B.(2,﹣1)C.(2,1)D.(﹣2,﹣1)
【分析】关于原点的对称点,横纵坐标都变成原来相反数,据此求出点B的坐标.
【解答】解:
∵点A坐标为(﹣2,1),
∴点B的坐标为(2,﹣1).
故选:
B.
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点:
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(﹣x,﹣y).
6.(3分)⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离为3,则弦AB的长是( )
A.4B.6C.7D.8
【分析】先求出半径,再利用勾股定理求出半弦长,弦长就可以求出了.
【解答】解:
如图,根据题意得,
∵OA=
×10=5,AE=
=
=4
∴AB=2AE=8.
故选:
D.
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
7.(3分)已知抛物线y=x2+4x﹣3,(1,y1)与(2,y2)是该抛物线上的两点,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.不确定
【分析】直接利用抛物线解析式得出其对称轴,进而利用二次函数增减性得出答案.
【解答】解:
∵抛物线y=x2+4x﹣3,
∴该抛物线的对称轴是:
x=﹣2,
∵a=1>0,
∴x>﹣2时,y随x的增大而增大,
∵1<2,
∴(1,y1)与(2,y2)是该抛物线上的两点,则y1与<y2.
故选:
B.
【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确掌握二次函数增减性是解题关键.
8.(3分)如图,已知在⊙O中,点A,B,C均在圆上,∠AOB=80°,则∠ACB等于( )
A.130°B.140°C.145°D.150°
【分析】设点E是优弧AB上的一点,连接EA,EB,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数,再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数.
【解答】解:
设点E是优弧AB上的一点,连接EA,EB
∵∠AOB=80°
∴∠E=
∠AOB=40°
∴∠ACB=180°﹣∠E=140°.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了利用了圆周角定理,关键是掌握圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
9.(3分)为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据题意所列方程为( )
A.20x2=25B.20(1+x)=25
C.20(1+x)2=25D.20(1+x)+20(1+x)2=25
【分析】主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),设这两年绿化投资的年平均增长率为x,根据“2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元”,可得出方程.
【解答】解:
设这两年绿化投资的年平均增长率为x,那么依题意得20(1+x)2=25
故选:
C.
【点评】本题为平均增长率问题,一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.
10.(3分)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.
【解答】解:
A、由抛物线可知,a<0,x=﹣
<0,得b>0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a<0,x=﹣
<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
C、由抛物线可知,a>0,x=﹣
>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣
<0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误.
故选:
B.
【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象,掌握抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法.
二、填空题(本大题7小题,每小题4分,共28分,请将下列各题的正确答案填写在答题卡横线上).
11.(4分)一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 (x﹣4)2=17 .
【分析】先把常数项移到方程右边,再把方程两边加上16,然后把方程左边写成完全平方形式即可.
【解答】解:
x2﹣8x=1,
x2﹣8x+16=17,
(x﹣4)2=17,
故答案为(x﹣4)2=17.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法:
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
12.(4分)如图,OA,OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,连接AC,BC,若∠AOB=120°,则∠ACB= 60 度.
【分析】根据圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案.
【解答】解:
∵∠AOB=120°,
∴∠ACB=120°×
=60°,
故答案为:
60.
【点评】此题主要考查了圆周角定理,关键是掌握圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
13.(4分)若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0,则此三角形的周长为 6,10,12 .
【分析】求△ABC的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长.首先求出方程的根,根据三角形三边关系定理列出不等式,然后解不等式即可.
【解答】解:
解方程x2﹣6x+8=0得x1=4,x2=2;
当4为腰,2为底时,4﹣2<4<4+2,能构成等腰三角形,周长为4+2+4=10;
当2为腰,4为底时4﹣2=2<4+2不能构成三角形,
当等腰三角形的三边分别都为4,或者都为2时,构成等边三角形,周长分别为6,12,故△ABC的周长是6或10或12.
【点评】本题从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
14.(4分)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点,则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是 x1=1,x2=3 .
【分析】由抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点坐标即可得到一元二次方程ax2+bx+c=0的两根.
【解答】解:
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(1,0)、(3,0),
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1,x2=3,
故答案为x1=1,x2=3.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
15.(4分)如图,⊙O的半径为2.C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,则阴影部分的面积是 2π .
【分析】根据C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可.
【解答】解:
∵C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,
∴两函数图象关于x轴对称,
∴阴影部分面积即是半圆面积,
∴面积为:
π×22=2π.
故答案为:
2π.
【点评】此题主要考查了二次函数的对称性,根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键.
16.(4分)如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,则∠EAF的度数是 60° .
【分析】根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角,进而得出∠EAF的度数.
【解答】解:
∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,
∴旋转角为60°,E,F是对应点,
则∠EAF的度数为:
60°.
故答案为:
60°.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质,得出旋转角的度数是解题关键.
17.(4分)如图所示,已知抛物线C1,抛物线C2关于原点中心对称.如果抛物线C1的解析式为y=
(x+2)2﹣1,那么抛物线C2的解析式为 y=﹣
(x﹣2)2+1 .
【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可.
【解答】解:
根据题意,﹣y=
(﹣x+2)2﹣1,得y=﹣
(x﹣2)2+1.
故答案为:
y=﹣
(x﹣2)2+1.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键.
三、解答题
(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分).
18.(6分)解方程:
x2+4x﹣5=0.
【分析】通过观察方程形式,利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单.
【解答】解:
原方程变形为(x﹣1)(x+5)=0
∴x1=﹣5,x2=1.
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.
19.(6分)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转△ABF的位置.
(1)旋转中心是点 A ,旋转角度是 90 度.
(2)若连结EF,则△AEF是 等腰直角 三角形;并证明.
【分析】
(1)根据旋转变换的定义,即可解决问题;
(2))根据旋转变换的定义,即可解决问题.
【解答】解:
(1)如图,由题意得:
旋转中心是点A,旋转角度是90度.
故答案为A、90.
(2)等腰直角三角形
由旋转得:
AF=AE,∠FAB=∠EAD
∴∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE
即∠FAE=∠BAD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠FAE=∠BAD=90°
∴△AEF是等腰直角三角形
故答案为等腰直角.
【点评】本题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质及其应用问题;解题的关键是牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质,这是灵活运用、解题的基础和关键.
20.(6分)如图,AB为⊙O的弦,C,D为直线AB上的两点,OC=OD.
(1)尺规作图:
过点O作直线AB的垂线,垂足为点P(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在
(1)的条件上,求证:
AC=BD.
【分析】
(1)依据垂线的尺规作图方法进行作图即可;
(2)依据三线合一以及垂径定理即可得到PC=PD,PA=PB,进而得出AC=BD.
【解答】解:
(1)如图所示,OP即为所求.
(2)∵OC=OD,OP⊥AB于点P,
∴PC=PD,PA=PB,
∴PC﹣PA=PD﹣PB,
即AC=BD,
【点评】本题考查了作图﹣基本作图,解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
四、解答题
(二)(本大题3小题,毎小题8分,共24分).
21.(8分)百货商店服装柜在销售中发现:
某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:
如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可;
【解答】解:
设每件童装应降价x元,根据题意列方程得,
(40﹣x)(20+2x)=1200,
解得x1=20,x2=10(因为尽快减少库存,不合题意,舍去),
答:
每件童装降价20元;
【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题,考查了一元二次方程的解法和基本数量关系:
平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用.
22.(8分)如图,⊙O的直径AB为5,弦AC为3,∠ABC的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长;
(2)求AD的长.
【分析】
(1)根据圆周角定理和勾股定理即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义和等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
在Rt△ACB中,由勾股定理,得
(2)∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∵∠ADB=90°,
∴△ADB是等腰直角三角形,
∴
.
【点评】此题考查了圆周角定理,勾股定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
23.(8分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,2),B(4,0),C(5,﹣3)三点,当x≥0时,其图象如图所示.
(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;
(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象.
【分析】
(1)将A(0,2)、B(4,0)、C(5,﹣3三点的坐标代入y=ax2+bx+c求得抛物线的解析式;
(2)令﹣
x2+
x+2=0即可求得抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),然后用光滑的曲线将(0,2)和(﹣1,0)连接即可.
【解答】
(1)解:
依题意,得
解得
,
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+2,
∴h=﹣
,k=
=
,
∴顶点坐标为(
);
(2)令﹣
x2+
x+2=0,
解得,x1=﹣1,x2=4,
∴图象与x轴的另一个交点为(﹣1,0),并依题意画图象.
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式的基本方法,同时也考查了根据抛物线解析式画图象的能力.熟练掌握待定系数法是解题的关键.
五、解答题(三)(本大题2小题,毎小题10分,共20分).
24.(10分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当△AOD是直角三角形且∠ADO=90°时,求a的度数;
(3)当a=110°或125°或140°时,判断△AOD的形状,请选择其中一种情况说明理由.
【分析】
(1)根据旋转得出CO=CD,∠DCO=60°,根据等边三角形的判定推出即可;
(2)根据等边三角形的性质得到∠CDO=60°,由∠ADO=90°,得到∠ADC=∠CDO+∠ADO=60°+90°=150°,根据旋转的性质即可得到结论;
(3)根据角的和差得到∠ADO=110°﹣60°=50°,根据周角的定义得到∠AOD=360°﹣110°﹣110°﹣50°=80°.根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴∠OCD=60°,OC=DC,
∴△COD是等边三角形;
(2)解:
∵△COD是等边三角形
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