浙江省20xx年中考数学复习题方法技巧专题十最短距离训练doc.docx

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方法技巧专题（十）最短距离训练

【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:

一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.

立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、

平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.

1

.

矩形

在平面直角坐标系中的位置如图

F101,点

B

的坐标为（3,4）,

D

是

的中点,点

E

在

上,当△

CDE

OABC

-

OA

AB

的周长最小时,点E的坐标为（）

图F10-1

A.（3,1）B.（3,）

C.（3,）D.（3,2）

2

2

2

2

2.[2018·宜宾]在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:

AB+AC=2AO+2BO成立.依据以上结论,解决如下问题:

如图F102,在矩形

中,已知

4,3,点

P

在以

为直径的半圆上运动,则

22的最小值为（）

-

DEFG

DE=EF=

DE

PF+PG

图F10-2

A.B.

C.34D.10

3.[2017·天津]如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段

1

的长等于BP+EP最小值的是（）

图F10-3

A.BCB.CEC.ADD.AC

4.[2017·莱芜]如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上

的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是（）

图F10-4

A.B.C.D.

5

.

[2017·乌鲁木齐]如图F10

-

5,点（,3）,

（,1）都在双曲线

y=

上,点

分别是

x

轴、

y

轴上的动点,则四

Aa

Bb

CD

边形

周长的最小值为（

）

ABCD

图F10-5

A

5

B6

.

.

C

2

2

D8

.

+

.

6.

[2018·泰安]如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,

点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB

2

与

x

轴分别交于

两点,若点

关于原点

O

对称,则

的最小值为（）

AB

AB

AB

图F10-6

A.3B.4

C.6D.8

7

.

[2018·滨州]如图F10

-

7,∠

60°,点

P

是∠

内的定点且

OP=

若点

分别是射线

上异于

AOB=

AOB

MN

OAOB

点O的动点,则△PMN周长的最小值是

（

）

图F10-7

A.B.

C.6D.3

8.[2018·遵义]如图F10-8,抛物线

y=x2+2x-3与x轴交于

A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上

任意一点,若点

,

分别是

,

的中点,连结

,

则

的最小值为

.

DEF

BCBPPC

DEDF

DE+DF

图F10-8

9.[2018·黑龙江龙东]如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点B作BG

⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为.

3

图F10-9

10.[2018·广安改编]如图F10-10,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,

连结AC,BC,已知A（0,3）,C（-3,0）.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.

图F10-10

4

11.[2018·广州]如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE（保留作图痕迹,不写作法）;

（2）在

（1）的条件下,

①证明:

AE⊥DE;

②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.

图F10-11

5

参考答案

1.B[解析]如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵

D（,0）,A（3,0）,

∴H（,0）,

可求得直线CH的解析式为y=-x+4.

当x=3

时,y=,∴点E的坐标为（3,

）.故选B.

2

.

D[

解析]取

的中点

连结

则根据材料可知

222

2222

22

2

2

822,若使

22

的值

GF

O

PO

PF+PG=PO+OG=PO+×

=+OP

PF+PG

最小,则必须

的值最小,所以

垂直于

时

的值最小,此时

1,所以

2

2的最小值为10

故选D

OP

PO

GF

PO

PO=

PF+PG

.

.

3.B[解析]连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C

关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.

4.A[解析]如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E

.

∵∠ABC=120°,

∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.

6

∴BF=CF=BC=3.

∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=BF=3.

∴

DM=

2

=.

∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.

∴===.

又∵OB=OD,∴=.

∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.

∴==,∴PM=DM=×2=.

故选A.

5.B[解析]

∵点A（a,3）,

B（b,1）

都在双

曲线y=

上,

∴a=1,b=3,

∴A（1,3）,B（3,1）,

则

AB=

2

.

作点

A

关于

y

轴的对称点

1,作点

B

关于

x

轴的对称点

1,连结

11,交

y

轴于点

==

A

B

AB

D

交x轴于点C,则A1（-1,3）,

B1（3,-1）,

A1B1=

=

=4

根据轴对称的性质,

四边形

ABCD周长

的最小值是AB+A1B1=2+4=6.故选B.

6.C[解析]连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO,

∴AB=2PO.

若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小

7

值,

过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5.

又∵MP'=2,∴OP'=3,

∴AB=2OP'=6.

故选C.

7.D[解析]如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点

M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P12N+MN,根据轴对称的性质可

知,

1

2

∠12120°,∠

1

30°,过点

O

作

的垂线段,垂足为

在△

1

中,可知

1

所以

OP=OP=OP=

POP=

OPM=

MN

Q

OPQ

PQ=

122

1

3,故△

周长的最小值为

3故选D

PP=

PQ=

PMN

.

.

8

.

[解析]因为点

,

分别是

,的中点,所以

是△

的中位线,所以

所以

DEF

BCBPPC

DEDF

PBC

DE=PCDF=PB

DE+DF=（PC+PB）,即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可

得,A（-3,0）,C（0,-3）,AC=3,所以DE+DF=（PC+PB）=.

9.2-2[解析]由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关

于AB轴对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP根.据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即DP+PG>MG;当M,P,G三点在同一条直线上时,PM+PG=MG,即DP+PG=MG,因此,当PD+PG取最小值时,M,P,G三点在同一条直线上,此时DP+PG=MG进.一步得到:

当MG取得最小值时,DP+PG随之取得最小值.下面

8

分析MG何时取得最小值.注意到问题与点G有关,点G是△BCG的直角顶点,△BCG的斜边为定值,因此,其斜边的一半也为定值,因此取BC中点N,连结GN,则GN的长为2.连结MN,结合定点M,可知MN也为定值.再分析点G,无论点E怎样变化,点G始终在以N为圆心,NG长为半径的圆上.根据三角形两边之差小于第三边,可知,当点

M,G,N不在同一直线上时,MG>MN-GN,进一步可知,当点G在线段MN上时,MG=MN-GN,此时MG最小,最小值为MN-GN.

如图②,易知MN的长,进一步可得结果.

如图②,作点D关于AB轴对称的点M,取BC中点N,连结MN,交AB于点P,

以BC为直径画圆,交MN于点G,则DP=MP,

∴DP+PG=MP+PG=MG=MN-GN.

作NQ⊥AD于Q,则MN==2,∴MN-GN=2-2,∴PD+PG的最小值为2-2.

10

.

解:

（1）∵抛物线

2

经过点（0,3）,

（

3,0）,∴

解得

y=x+bx+c

A

C-

∴抛物线的解析式为

2

3

y=x+x+.

（2）根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要求|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之

差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大.由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,

得x2+x+3=x+3,解得x=-4或x=0.当x=-4时,y=1,即点B（-4,1）.

∵点C（-3,0）,∴BC==,

∴|MB-MD|的最大值为.

9

11.解:

（1）如图:

（2）①证明:

如图,延长DE,AB相交于点F.

∵∠ABC=∠C=90°,

∴∠ABC+∠C=180°.

∴AB∥CD.∴∠CDE=∠F.

∵DE平分∠ADC,

∴∠ADE=∠CDE.

∴∠ADE=∠F.

∴AD=AF=AB+BF.

又AD=AB+CD,

∴AB+BF=AB+CD∴.BF=CD.

在△CED和△BEF中,

10

∴△CED≌△BEF.∴DE=EF.

又AD=AF,∴AE⊥DE.

②如图,作DH垂直AB于点H,作点N关于AE的对称点N',连结MN',则MN=MN'∴.BM+MN=BM+MN'由①.可得AE平分∠DAB,∴点N'在AD上.∴当点B,M,N'共线且BN'⊥AD时,BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.在Rt△ADH

中,

6,

2,由勾股定理可得,

DH=

4

AD=AB+CD=AH=AB-BH=

==.

∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',

∴△DAH∽△BAN',∴=,∴=.

∴BN'=.∴BM+MN的最小值为.

11

12

13

14

15